Bijles

Home › Goniometrie › Vergelijkingen oplossen

Goniometrische vergelijkingen oplossen: het stappenplan

Elke gonio-vergelijking op het examen kun je oplossen met hetzelfde stappenplan. Als je één ding uit dit hoofdstuk echt goed leert, laat het dan dit zijn.

Wat is een goniometrische vergelijking?

Een goniometrische vergelijking is een vergelijking waarin de onbekende x binnen een sinus, cosinus of tangens staat, zoals sin(x) = 12. "Oplossen" betekent hetzelfde als bij elke andere vergelijking: alle waarden van x vinden waarvoor het klopt.

Op het examen staat er meestal "los exact op". Dan mag je geen afgerond getal van je rekenmachine opschrijven, maar geef je de oplossingen precies, met π (en soms een wortel) erin: bijvoorbeeld x = 16π. Het bijzondere aan deze vergelijkingen: er is nooit maar één oplossing. Hieronder zie je eerst waarom, daarna volgt het stappenplan.

Wat vraagt zo'n vergelijking eigenlijk?

Nog niet vertrouwd met de eenheidscirkel? Lees dan eerst De eenheidscirkel & exacte waarden.

Een vergelijking als sin(x) = 12 stelt gewoon een vraag: op welke plekken op de cirkel is de hoogte precies 12?

Kijk in het plaatje hieronder. De stippellijn op die hoogte raakt de cirkel op twee plekken: het blauwe punt én het groene spiegelpunt. Allebei zijn ze een oplossing. En in de grafiek eronder zie je hetzelfde: de horizontale lijn snijdt de sinusgolf twee keer per golf.

hoek x: sin: spiegelpunt:

Dezelfde hoogte in de grafiek van sin(x)

Sleep het blauwe punt op de cirkel, of sleep in de grafiek. Het groene punt heeft dezélfde sinus: dat is je tweede oplossing (π − x).

💡 Dus onthoud

Twee plekken op de cirkel + elk rondje herhaling (2π) = twee families van oplossingen. Daarom horen bij sin(A) = sin(B) altijd deze twee regels:

A = B + k·2π   (zelfde plek op de cirkel)

A = π − B + k·2π   (het spiegelpunt)

En bij cos(A) = cos(B) (daar spiegel je in de horizontale as):

A = B + k·2π   of   A = −B + k·2π

⏱️ Voor de tangens

De tangens herhaalt zich al elke π (niet 2π) en heeft maar één familie: tan(A) = tan(B) ⟺ A = B + k·π.

⚠️ Waar het misgaat

De twee klassieke fouten waarmee je punten verliest:

1. Je vindt maar één oplossing. Wie sin(x) = 12 beantwoordt met alleen x = 16π mist de helft. De sinus is op twee plekken op de cirkel gelijk aan 12, en allebei die plekken komen elk rondje (2π) opnieuw terug.

2. Je deelt door cos(x) of sin(x). Daarmee gooi je oplossingen weg (precies de x-en waarvoor die factor nul is). Ontbinden, nooit delen. Dit is dezelfde valkuil als fout 9 van de algebrafouten.

📋 Het stappenplan

  1. Herleid naar de vorm sin(...) = sin(...) of cos(...) = cos(...). Staat er een getal? Schrijf het als sinus of cosinus van een bekende hoek (exacte waarden!). Staan er factoren? Ontbinden, niet delen. Staan er links en rechts verschillende hoeken die je niet aan elkaar gelijk krijgt, zoals in sin(2x) = cos(x)? Schrijf er dan eerst één om met de som- en verdubbelingsformules van Formules herleiden.

    Let op: staat er maar één soort hoek, zoals in sin(2x) = 12, dan hoef je niets om te schrijven. Je behandelt 2x dan gewoon als "de hoek", precies zoals in de uitgewerkte opgave hieronder. Omschrijven naar 2·sin(x)·cos(x) maakt het daar juist moeilijker.

  2. Pas de twee regels toe (zie hierboven): je krijgt twee vergelijkingen met + k·2π.
  3. Los beide op naar x. Deel je door een getal? Deel dan óók de k·2π-term!
  4. Vul k in (…, −1, 0, 1, 2, …) en houd alleen de oplossingen die in het gevraagde interval liggen.
  5. Controleer met de cirkel: klopt het aantal oplossingen met wat je verwacht?

Uitgewerkte examenopgave

Los exact op: sin(2x) = 12 op het interval [0, 2π].

De grafiek van sin(2x) met een stippellijn op hoogte 12. De groene punten zijn de oplossingen die we zoeken; de oranje pijl is één volledige golf.

Stap 1: herleiden. Schrijf 12 als de sinus van een bekende hoek. Uit de exacte waarden weet je: sin(16π) = 12. Zo staat er links en rechts een sinus:

sin(2x) = sin(16π)

Stap 2: de twee families. In de figuur zie je waarom één antwoord nooit genoeg is: de stippellijn snijdt de golf twee keer per golf, en de golf herhaalt zich steeds. De twee regels geven precies al die snijpunten:

2x = 16π + k·2π   of   2x = π − 16π + k·2π = 56π + k·2π

Stap 3: los op naar x. Deel beide kanten door 2, en denk erom: óók de k·2π-term wordt gehalveerd.

x = 112π + k·π   of   x = 512π + k·π

Stap 4: vul k in. k = 0 geeft 112π en 512π: de eerste twee groene punten in de figuur. k = 1 geeft dezelfde twee punten een afstand π verder naar rechts. k = 2 valt al buiten het interval [0, 2π], dus je hebt ze allemaal:

x = 112π, 512π, 1112π, 1512π

🔎 Controle (stap 5)

Vier oplossingen, klopt dat? Kijk naar de oranje pijl in de figuur: één golf van sin(2x) duurt maar π, dus op [0, 2π] passen twee volledige golven. Per golf snijdt de stippellijn de grafiek twee keer. 2 × 2 = 4. ✓

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen, anders leer je alleen dat je het kunt lézen.

Opgave 1. Los exact op: cos(x) = −12√2 op [0, 2π]

cos(x) = cos(34π)

x = 34π + k·2π   of   x = −34π + k·2π

In [0, 2π]: x = 34π   of   x = 114π (−34π + 2π)

De grafiek van cos(x) met een stippellijn op hoogte −12√2. Precies twee snijpunten in [0, 2π] (de groene punten): bij x = 34π en x = 114π. ✓

Opgave 2. Los exact op: sin(3x) = sin(x) op [0, π]

3x = x + k·2π   of   3x = π − x + k·2π

2x = k·2π   of   4x = π + k·2π

x = k·π   of   x = 14π + k·12π

In [0, π]: x = 0, 14π, 34π, π

De grafieken van sin(3x) (blauw) en sin(x) (oranje) op [0, π]. Ze snijden elkaar in de vier groene punten: precies de vier gevonden oplossingen. ✓

Opgave 3 (instinker!). Los exact op: 2 sin(x)·cos(x) = cos(x) op [0, 2π]

Niet delen door cos(x)! Alles naar één kant en ontbinden:

2 sin(x)·cos(x) − cos(x) = 0

cos(x)·(2 sin(x) − 1) = 0

cos(x) = 0   of   sin(x) = 12

x = 12π + k·π   of   x = 16π + k·2π  of  x = 56π + k·2π

In [0, 2π]: x = 16π, 12π, 56π, 112π

Wie deelde door cos(x), verloor de oplossingen 12π en 112π, en de bijbehorende punten.

De grafieken van 2 sin(x)·cos(x) (blauw) en cos(x) (oranje). De vier groene punten zijn de oplossingen. Kijk naar de punten bij x = 12π en x = 112π: daar is cos(x) = 0. Deel je door cos(x), dan gooi je precies die twee weg.

En als er een ongelijkheid staat? sin(x) > c oplossen

Soms vraagt het examen niet waar sin(x) precies gelijk is aan een waarde, maar waar hij groter of kleiner is. Dan zoek je geen losse punten, maar een heel stuk van de x-as. De aanpak bouwt recht op het stappenplan hierboven voort.

📋 Zo pak je een ongelijkheid aan

  1. Los eerst de vergelijking op (met = in plaats van > of <). Dat geeft de grenzen: de x-waarden waar de grafiek de lijn precies raakt.
  2. Kijk in de grafiek (of op de cirkel) tussen welke grenzen de functie boven of onder de lijn ligt. Dat stuk is je oplossing.
  3. Schrijf het interval op. Let op de tekens: bij > en < doen de grenzen zelf niet mee (open), bij ≥ en ≤ wel (dicht).

Los op: sin(x) > 12 op [0, 2π].

De grafiek van sin(x) met de stippellijn op hoogte 12. Tussen de twee groene grenspunten (16π en 56π) ligt de golf bóven de lijn: dat groene gebied is de oplossing.

Stap 1: de grenzen. Los sin(x) = 12 op met het stappenplan hierboven: dat geeft x = 16π en x = 56π.

Stap 2: aflezen. In de figuur zie je dat sin(x) alleen tussen die twee grenzen boven 12 uitkomt (de bult bovenaan).

Stap 3: opschrijven. Er staat > (niet ≥), dus de grenzen zelf doen niet mee:

16π < x < 56π

⚠️ Waar het misgaat

1. Stoppen na de vergelijking. De grenspunten 16π en 56π zijn nog niet het antwoord. Een ongelijkheid vraagt om een interval, niet om losse getallen.

2. Het gebied bestaat soms uit twee stukken. Vraagt de opgave juist waar sin(x) < 12? Dan pak je het gebied buiten de bult, en dat valt op [0, 2π] in twee stukken uiteen. Zie de oefenopgave.

3. Open en dicht verwisselen. Bij > en < horen open grenzen, bij ≥ en ≤ dichte. Dat ene teken is zomaar een half punt.

Oefen: los op sin(x) < 12 op [0, 2π]

Zelfde grenzen als in het voorbeeld (sin(x) = 12 bij 16π en 56π), maar nu zoek je waar de golf onder de lijn ligt. Dat is overal behalve de bult, dus in twee stukken:

0 ≤ x < 16π   of   56π < x ≤ 2π

Nu is het gebied ónder de lijn groen: twee stukken, aan het begin en aan het eind. De randen 0 en 2π horen erbij (het interval loopt tot daar), de grenzen 16π en 56π niet. ✓

Op het examen komt dit stappenplan meestal niet los voor: je krijgt een golvende grafiek of een verhaal over eb en vloed, stelt daar eerst een formule bij op en lost die daarna op. Hoe je aan zo'n formule komt, lees je bij Het voorschrift van een sinusoïde opstellen.

Kom je er niet uit?

Goniometrie is hét onderwerp waar één uur persoonlijke uitleg meer doet dan een week zelf staren. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking