Home › Goniometrie › Vergelijkingen oplossen

Goniometrische vergelijkingen oplossen: het stappenplan

Elke gonio-vergelijking op het examen is met hetzelfde stappenplan op te lossen. Als je één ding uit dit onderwerp echt moet beheersen, is het dit.

⚠️ Waar het misgaat

De twee klassieke fouten waarmee je punten verliest:

1. Je vindt maar één oplossing. Wie sin(x) = ½ beantwoordt met alleen x = ⅙π vergeet dat de sinus die waarde op twee plekken op de cirkel aanneemt — en dat beide plekken zich elke 2π herhalen.

2. Je deelt door cos(x) of sin(x). Daarmee gooi je oplossingen weg (namelijk precies de x-en waarvoor die factor nul is). Ontbinden, nooit delen.

Het inzicht: de eenheidscirkel

Nog niet vertrouwd met de eenheidscirkel? Lees dan eerst De eenheidscirkel & exacte waarden.

Een vergelijking als sin(x) = ½ stelt een vraag: voor welke draaihoeken is de hoogte op de eenheidscirkel gelijk aan ½? Sleep het punt hieronder en kijk zelf: er zijn altijd twee plekken op de cirkel met dezelfde sinus (dezelfde hoogte) — gespiegeld in de verticale as.

hoek: ⅙π sin: ½ cos: ½√3

Sleep het blauwe punt. Het groene punt heeft dezélfde sinus: dat is je tweede oplossing (π − x).

💡 Dus onthoud

Twee plekken op de cirkel + herhaling elke rondje (2π) = twee families van oplossingen. Daarom horen bij sin(A) = sin(B) altijd deze twee regels:

A = B + k·2π   (zelfde plek op de cirkel)

A = π − B + k·2π   (het spiegelpunt)

En bij cos(A) = cos(B) (spiegeling in de horizontale as):

A = B + k·2π   of   A = −B + k·2π

📋 Het stappenplan

  1. Herleid naar de vorm sin(...) = sin(...) of cos(...) = cos(...). Staat er een getal? Schrijf het als sinus of cosinus van een bekende hoek (exacte waarden!). Staan er factoren? Ontbinden, niet delen.
  2. Pas de twee standaardregels toe (zie hierboven) — je krijgt twee vergelijkingen met + k·2π.
  3. Los beide op naar x. Deel óók de k·2π-term mee als je door een getal deelt!
  4. Vul k in (…, −1, 0, 1, 2, …) en houd alleen de oplossingen in het gevraagde interval.
  5. Controleer met de cirkel: klopt het aantal oplossingen met wat je verwacht?

Uitgewerkte examenopgave

Los exact op: sin(2x) = ½ op het interval [0, 2π].

sin(2x) = sin(⅙π) — stap 1: ½ geschreven als sinus van een bekende hoek

2x = ⅙π + k·2π   of   2x = π − ⅙π + k·2π = ⅚π + k·2π — stap 2: beide families

x = ¹⁄₁₂π + k·π   of   x = ⁵⁄₁₂π + k·π — stap 3: gedeeld door 2, óók de k-term!

x = ¹⁄₁₂π, ⁵⁄₁₂π, 1¹⁄₁₂π, 1⁵⁄₁₂π — stap 4: k = 0 en k = 1 vallen in [0, 2π]

🔎 Let op

Vier oplossingen — klopt dat? Check (stap 5): sin(2x) doorloopt op [0, 2π] twéé volledige perioden, en per periode zijn er twee oplossingen. 2 × 2 = 4. ✓

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen — anders leer je alleen dat je het kunt lézen.

Opgave 1 — Los exact op: cos(x) = −½√2 op [0, 2π]

cos(x) = cos(¾π)

x = ¾π + k·2π   of   x = −¾π + k·2π

In [0, 2π]: x = ¾π   of   x = 1¼π (−¾π + 2π)

Opgave 2 — Los exact op: sin(3x) = sin(x) op [0, π]

3x = x + k·2π   of   3x = π − x + k·2π

2x = k·2π   of   4x = π + k·2π

x = k·π   of   x = ¼π + k·½π

In [0, π]: x = 0, ¼π, ¾π, π

Opgave 3 (instinker!) — Los exact op: 2 sin(x)·cos(x) = cos(x) op [0, 2π]

Niet delen door cos(x)! Alles naar één kant en ontbinden:

2 sin(x)·cos(x) − cos(x) = 0

cos(x)·(2 sin(x) − 1) = 0

cos(x) = 0   of   sin(x) = ½

x = ½π + k·π   of   x = ⅙π + k·2π  of  x = ⅚π + k·2π

In [0, 2π]: x = ⅙π, ½π, ⅚π, 1½π

Wie deelde door cos(x), verloor de oplossingen ½π en 1½π — en de bijbehorende punten.

⏱️ Voor de tangens

De tangens herhaalt zich al elke π (niet 2π) en heeft maar één familie: tan(A) = tan(B) ⟺ A = B + k·π.

Kom je er niet uit?

Goniometrie is hét onderwerp waar één uur persoonlijke uitleg meer doet dan een week zelf staren. Ik geef bijles in wiskunde B — online of in Delft. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking