Home › Examen › Uitwerkingen › havo wiskunde B 2026, 2e tijdvak

Examen havo wiskunde B 2026 uitgewerkt (2e tijdvak)

Het centraal examen havo wiskunde B van donderdag 18 juni 2026 (het tweede tijdvak), helemaal uitgewerkt. Niet in de korte taal van een correctievoorschrift, maar zoals je het zelf zou kunnen bedenken: wat wordt er gevraagd, wat is het idee, en hoe schrijf je het op.

Het examen bestaat uit 8 opgaven met samen 18 vragen, goed voor 72 punten. Je had er drie uur voor.

Leg de opgaven ernaast. De opgaveteksten zelf staan hier niet: die zijn van de examenmakers. Je vindt ze gratis als PDF op examenblad.nl, samen met een erratum dat bij vraag 6 een hint toevoegt. Een formulelijst zit er níét bij: alle formules hieronder moest je zelf kennen. Wat dat allemaal is, staat in de checklist op De formulelijst.

🎯 Zo haal je er het meeste uit

1. Eerst zelf. Lees de vraag en het idee, en probeer het dan eerst zelf. De uitwerking staat steeds achter een knop.

2. Loop je vast? Bij elke vraag staat een link naar de pagina waar het onderwerp wordt uitgelegd. Lees die, en probeer het daarna opnieuw.

3. Pas dan de uitwerking. Kijk niet alleen of je antwoord klopt, maar ook of je het net zo volledig hebt opgeschreven. Op het examen krijg je punten voor de stappen, niet alleen voor het eindantwoord.

Wat er in dit examen zit

Door punt P (vraag 1 en 2, 7 punten): een raaklijn aan een wortelfunctie en een parabool. → De afgeleide
Twee sinusoïden (vraag 3 en 4, 9 punten): nulpunten, exacte waarden en een differentiequotiënt. → Sinusoïde
Raaklijn door een punt aan een cirkel (vraag 5 en 6, 9 punten). → De cirkel
Twee punten op een parabool (vraag 7 en 8, 6 punten): een stelsel uit twee hellingen. → Stelsels
Tekenrobot (vraag 9 tot en met 11, 11 punten): cosinusregel en een gelijkbenige driehoek. → Rekenen in driehoeken
Exponentiële functies (vraag 12 en 13, 9 punten): transformaties en logaritmen. → Exponentiële & logaritmische functies
Product van functies (vraag 14 tot en met 16, 11 punten): toppen en nulpunten. → Extremen
Auto's in Nederland (vraag 17 en 18, 10 punten): procenten, lineaire en exponentiële groei. → Groeifactoren

Twee woorden komen steeds terug: exact (geen afgeronde kommagetallen, wortels en π laten staan) en algebraïsch (met een berekening op papier, niet met de rekenmachine iets opzoeken). Wat die precies van je vragen, staat op Examenwerkwoorden.

Opgave 1: Door punt P

De functie is f(x) = √(3x + 6), met het punt P(1, 3) op de grafiek. De grafiek begint in een randpunt: het punt waar de wortel net nog bestaat, dus waar 3x + 6 = 0.

Vraag 1 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? De lijn k raakt de grafiek in P. Stel op exacte wijze een vergelijking van k op.

Het idee. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is f'(1). Voor de afgeleide van een wortel met iets anders dan x eronder heb je de kettingregel nodig. Daarna vul je P in om het getal achteraan te vinden.

Opfrissen: de raaklijn in een punt en de kettingregel.

Bekijk de uitwerking van vraag 1

De afgeleide. Schrijf √(3x + 6) = (3x + 6)¹². Buitenkant differentiëren, keer de afgeleide van de binnenkant (die is 3):

f'(x) = 12(3x + 6)⁻¹² · 3 = 32√(3x + 6)

f'(1) = 32√9 = 36 = 12

Het getal achteraan. k is y = 12x + b en gaat door P(1, 3):

3 = 12 + b → b = 212 dus k: y = 12x + 212

Vraag 2 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? De grafiek van g is een parabool met zijn top precies in het randpunt van f, en hij gaat ook door P(1, 3). Stel op exacte wijze een voorschrift van g op.

Het idee. Van een parabool met top (p, q) ken je de vorm al: g(x) = a(x − p)² + q. Vul de top in, en gebruik P om a te vinden.

Opfrissen: de topvorm van een parabool.

Bekijk de uitwerking van vraag 2

Het randpunt. 3x + 6 = 0 geeft x = −2, en daar is f(x) = 0. De top is dus (−2, 0):

g(x) = a(x + 2)²

a uit P.

3 = a(1 + 2)² = 9a → a = 13 dus g(x) = 13(x + 2)²

Let op het teken: de top ligt bij x = −2, dus er staat (x + 2) en niet (x − 2). Twijfel je, vul dan x = −2 in: dan moet het haakje 0 worden.

Opgave 2: Twee sinusoïden

De functie is

f(x) = 212 · sin(12x)

De grafiek snijdt de x-as achtereenvolgens in O, A, B en C (de punten op de evenwichtsstand). De punten D en E liggen op de grafiek op hoogte 114√3.

Vraag 3 · 5 punten

Wat wordt er gevraagd? OA is een aantal keer zo lang als DE. Bereken exact hoeveel keer.

Het idee. OA is een halve periode. Voor D en E los je een sinusvergelijking op; 12√3 is een exacte waarde die je van de eenheidscirkel kent.

Opfrissen: de periode van een sinusoïde en Goniometrische vergelijkingen oplossen.

Bekijk de uitwerking van vraag 3

OA. De periode is 2π12 = 4π. Van O naar A is een halve periode: OA = 2π.

D en E.

212 sin(12x) = 114√3 → sin(12x) = 12√3

12x = 13π + k · 2π of 12x = 23π + k · 2π

x = 23π + k · 4π of x = 113π + k · 4π

D en E liggen in de eerste bult: x_D = 23π en x_E = 113π, dus DE = 23π.

OADE = 2π23π = 3

OA is 3 keer zo lang als DE.

Vraag 4 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Een tweede sinusoïde g(x) = v · sin(16x) gaat ook door O en C. In O heeft hij dezelfde helling als f, namelijk 1,25. Bereken v met het differentiequotiënt op [0; 0,01], in één decimaal.

Een differentiequotiënt is de helling tussen twee punten die dicht bij elkaar liggen: ΔyΔx, het verschil in hoogte gedeeld door het verschil in x. Hoe kleiner het stukje, hoe dichter het bij de echte helling komt.

Het idee. Schrijf het differentiequotiënt van g op [0; 0,01] op met v erin, stel het gelijk aan 1,25 en los v op.

Opfrissen: van koorde naar raaklijn.

Bekijk de uitwerking van vraag 4

ΔyΔx = g(0,01) − g(0)0,01 = v · sin(0,016) − 00,01 = 1,25

v = 1,25 · 0,01sin(0,016) ≈ 7,5

Zet je rekenmachine op radialen: dit is een sinus met x in radialen, geen graden. Controle met de echte afgeleide: g'(0) = 16v = 1,25 geeft ook v = 7,5.

Opgave 3: Raaklijn door een punt aan een cirkel

Gegeven is A(25, 0). De cirkel c heeft middellijn OA (een lijnstuk dwars door het middelpunt, van rand tot rand), met middelpunt M. De cirkel d heeft middelpunt O en vergelijking y² = 225 − x².

Vraag 5 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat c de vergelijking y² = 25x − x² heeft.

Het idee. Het middelpunt ligt midden op OA, de straal is de helft van OA. Schrijf de gewone cirkelvergelijking op en werk de haakjes uit.

Opfrissen: De cirkel: vergelijking.

Bekijk de uitwerking van vraag 5

Middelpunt en straal. M(1212, 0) en straal 1212.

(x − 1212)² + y² = (1212)²

x² − 25x + (1212)² + y² = (1212)² → x² − 25x + y² = 0 → y² = 25x − x²

Het handige is dat (1212)² links en rechts wegvalt; je hoeft het dus niet eens uit te rekenen.

Vraag 6 · 6 punten

Wat wordt er gevraagd? P en Q zijn de snijpunten van c en d (P boven, Q onder de x-as). De lijn k gaat door A en Q. Bewijs dat k de cirkel d raakt. Het erratum gaf erbij: P en Q hebben dezelfde x-coördinaat, en die vind je met 25x − x² = 225 − x².

Het idee. Een lijn door een punt van een cirkel raakt die cirkel precies als hij loodrecht staat op de straal naar dat punt. Bereken dus Q, en laat zien dat k loodrecht op OQ staat (product van de rc's is −1).

Opfrissen: raaklijn staat loodrecht op de straal en loodrecht: m₁ · m₂ = −1.

Bekijk de uitwerking van vraag 6

Q. Allebei y² = …, dus stel de rechterkanten gelijk:

25x − x² = 225 − x² → 25x = 225 → x = 9

y² = 225 − 81 = 144 → y = 12 of y = −12

Q ligt onder de x-as: Q(9, −12).

De twee richtingscoëfficiënten.

rc van OQ: −12 − 09 − 0 = −43 rc van k (door Q en A): 0 − −1225 − 9 = 1216 = 34

−43 · 34 = −1

k staat dus loodrecht op de straal OQ, in het punt Q dat op d ligt. Daarmee is k een raaklijn aan d.

Het kan ook met de discriminant: vul k in de vergelijking van d in en laat zien dat D = 0. Dat is meer rekenwerk; de loodrecht-route is korter.

Opgave 4: Twee punten op een parabool

De parabool is f(x) = cx² + dx. Op de grafiek liggen A (x = 2) en B (x = 6). In A is de helling van de raaklijn −12, in B is die 312.

Vraag 7 · 2 punten

Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat uit de gegevens het stelsel 4c + d = −12 en 12c + d = 312 volgt.

Het idee. Een helling is de afgeleide. Differentieer f en vul x = 2 en x = 6 in.

Opfrissen: De afgeleide.

Bekijk de uitwerking van vraag 7

f'(x) = 2cx + d

f'(2) = 4c + d = −12 f'(6) = 12c + d = 312

Dat is precies het gegeven stelsel.

Vraag 8 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? A en B lijken even ver van de x-as te liggen. Onderzoek op exacte wijze of dat zo is.

Het idee. Los het stelsel op (trek de vergelijkingen van elkaar af, dan valt d weg), en reken f(2) en f(6) uit. "Even ver van de x-as" betekent: dezelfde afstand, dus hetzelfde getal zonder op het teken te letten.

Opfrissen: een stelsel van twee vergelijkingen.

Bekijk de uitwerking van vraag 8

Het stelsel. Trek de eerste vergelijking van de tweede af:

8c = 4 → c = 12 d = −12 − 4 · 12 = −212

De hoogtes. f(x) = 12x² − 212x:

f(2) = 2 − 5 = −3 f(6) = 18 − 15 = 3

A ligt 3 onder de x-as en B 3 erboven: ze liggen even ver van de x-as.

Opgave 5: Tekenrobot

Een tekenrobot heeft een arm van twee delen: OB draait om het vaste punt O, en BP draait in het scharnier B. De pen zit in P. De hoek tussen OB en BP in B heet α.

Vraag 9 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? OB = 10 cm en BP = 5 cm. Bij een vaste α tekent de pen een cirkelboog om O. Voor welke α (in hele graden) is de straal OP gelijk aan 14 cm?

Het idee. Driehoek OBP heeft twee bekende zijden (10 en 5), de hoek α ertussen, en de derde zijde 14. Dat is precies het geval voor de cosinusregel.

Opfrissen: de cosinusregel.

Bekijk de uitwerking van vraag 9

OP² = OB² + BP² − 2 · OB · BP · cos(α)

196 = 100 + 25 − 100 cos(α) → cos(α) = 125 − 196100 = −0,71

α = cos⁻¹(−0,71) ≈ 135°

Een negatieve cosinus betekent een stompe hoek: de arm staat bijna gestrekt. Dat klopt, want 14 is bijna 10 + 5.

Vraag 10 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Bij een tweede robot zijn beide delen 10 cm. De pen tekent het lijnstuk OR, dat een hoek van 50° maakt met de positieve x-as. Op een bepaald moment staat OB precies verticaal (hoek β met de x-as is 90°). Bereken dan OP, in één decimaal.

Het idee. Driehoek OBP is gelijkbenig (OB = BP = 10). De hoek bij O is het verschil tussen de richting van OB (90°) en die van OP (50°). Knip de gelijkbenige driehoek doormidden, dan heb je een rechthoekige driehoek waarin cos helpt.

Opfrissen: de gelijkbenige driehoek en SOS CAS TOA.

Bekijk de uitwerking van vraag 10

De hoek bij O. ∠BOP = 90° − 50° = 40°.

Doormidden knippen. Laat vanuit B een loodlijn neer op OP. Omdat de driehoek gelijkbenig is, komt die precies in het midden van OP uit. In de rechthoekige driehoek die dan links ontstaat, is de schuine zijde OB = 10 en de aanliggende zijde de helft van OP:

cos(40°) = 12OP10 → OP = 20 · cos(40°) ≈ 15,3 cm

Met de cosinus- of sinusregel kom je er ook, maar dan moet je eerst de hoek bij B uitrekenen (180° − 2 · 40° = 100°).

Vraag 11 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Een lijnstuk OR wordt ingevoerd met lengte 20 cm en richtingscoëfficiënt 2. Bereken algebraïsch de coördinaten van R, in één decimaal.

Het idee. Richtingscoëfficiënt 2 betekent: R ligt op de lijn y = 2x, dus R = (x, 2x). En de afstand tot O is 20: Pythagoras.

Opfrissen: de richtingscoëfficiënt en Pythagoras.

Bekijk de uitwerking van vraag 11

x² + (2x)² = 20² → 5x² = 400 → x² = 80 → x = √80 ≈ 8,94

y = 2x ≈ 17,89

R ≈ (8,9; 17,9).

x = −√80 valt af: dan ligt R linksonder, terwijl R in de opgave rechtsboven ligt.

Opgave 6: Exponentiële functies

De functie is

f(x) = 2 · (12)^{1 − 2x}

Schuif de grafiek 2 naar rechts en vermenigvuldig hem daarna ten opzichte van de x-as met 83. Zo ontstaat de functie g.

Vraag 12 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat g(x) = 16 · 4^x.

Het idee. Schrijf f eerst zo simpel mogelijk: alles als macht van 2, en dan blijkt f gewoon 4^x te zijn. Daarna de twee transformaties: 2 naar rechts is x vervangen door x − 2, en vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as is de hele functie keer 83.

Opfrissen: de rekenregels voor machten en Grafieken transformeren.

Bekijk de uitwerking van vraag 12

f vereenvoudigen. Met 12 = 2⁻¹:

f(x) = 2 · 2^{−(1 − 2x)} = 2¹ · 2^{2x − 1} = 2^2x = 4^x

2 naar rechts.

y = 4^{x − 2} = 4^x4² = 116 · 4^x

Keer 83.

g(x) = 83 · 116 · 4^x = 848 · 4^x = 16 · 4^x

Vraag 13 · 5 punten

Wat wordt er gevraagd? Op de grafiek van g ligt S met y-coördinaat 5, en P, waarvan de afstand tot de y-as de helft is van die van S. Bewijs dat de y-coördinaat van P gelijk is aan 16√30.

Het idee. Zoek eerst de x van S met een logaritme. Die van P is de helft. En een halve exponent betekent een wortel: a¹² = √a.

Opfrissen: de logaritme.

Bekijk de uitwerking van vraag 13

16 · 4^x = 5 → 4^x = 30 → x_S = ⁴log(30)

P. x_P = 12 · ⁴log(30), dus

y_P = 16 · 4^{12 · ⁴log(30)} = 16 · (4^⁴log(30))¹² = 16 · 30¹² = 16√30

De sleutel is 4^⁴log(30) = 30: machtsverheffen en logaritme nemen met hetzelfde grondtal heffen elkaar op. Je kunt het ook zonder logaritme zien: 4^12x_S = √(4^x_S) = √30.

Opgave 7: Product van functies

De functie is f(x) = x³ − 6x² + 9x. Die heeft één maximum en één minimum, en raakt of snijdt de x-as bij x = 0 en x = 3.

Vraag 14 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Bereken exact het minimum.

Het idee. Toppen zitten waar f'(x) = 0. Van de twee kandidaten is de ene het maximum en de andere het minimum; vul ze allebei in.

Opfrissen: Extremen.

Bekijk de uitwerking van vraag 14

f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 of x = 3

f(1) = 1 − 6 + 9 = 4 f(3) = 27 − 54 + 27 = 0

Het maximum is 4 (bij x = 1), het minimum is 0 (bij x = 3).

Dat de grafiek bij x = 3 de x-as alleen raakt, zie je ook aan f(x) = x(x − 3)²: de factor (x − 3) staat er in het kwadraat.

Vraag 15 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Vermenigvuldig f met h(x) = x² − 2x − 1:

v(x) = (x³ − 6x² + 9x)(x² − 2x − 1)

De grafiek van v heeft vier punten met de x-as gemeen. Bereken exact hun x-coördinaten.

Het idee. Een product is 0 als (minstens) één van de factoren 0 is. Van f ken je de nulpunten al; voor h gebruik je de abc-formule.

Opfrissen: de abc-formule en exact oplossen.

Bekijk de uitwerking van vraag 15

f(x) = 0 geeft x = 0 en x = 3 (gegeven).

h(x) = 0: D = (−2)² − 4 · 1 · (−1) = 8, dus

x = 2 ± √82 = 1 ± √2

De vier x-coördinaten zijn 0, 3, 1 − √2 en 1 + √2.

√8 = 2√2, dus 2 ± 2√22 = 1 ± √2. Laten staan als 1 ± 12√8 is ook exact en dus ook goed.

Vraag 16 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? De grafiek van v heeft vier toppen (op het examen betekent top: hoogste óf laagste punt). Een horizontale lijn y = p heeft 1 tot 5 punten met de grafiek gemeen, afhankelijk van p. Voor welke p zijn dat er vijf? Geef je antwoord zo nodig in één decimaal.

Het idee. Schuif een horizontale lijn in gedachten van onder naar boven over de grafiek. Het aantal snijpunten verandert alleen bij de hoogte van een top. Zoek de hoogtes van de toppen met je rekenmachine, en kijk tussen welke twee er vijf snijpunten zijn.

Bekijk de uitwerking van vraag 16

Laat de rekenmachine de vier toppen berekenen (maximum en minimum). Van links naar rechts:

top bij x ≈ −0,23 met y ≈ 1,17 dal bij x = 1 met y = −8 top bij x ≈ 2,63 met y ≈ 0,24 dal bij x = 3 met y = 0

Vijf snijpunten krijg je alleen als de lijn tussen het rechterdal (0) en de rechtertop (0,24) ligt: dan snijdt hij elke "golf" één keer. Dus

0 < p < 0,2

Waarom niet ≤? Bij p = 0 raakt de lijn het dal alleen, en bij p ≈ 0,24 raakt hij de top alleen: dan vallen twee snijpunten samen en tel je er maar vier. De bovengrens 0,2365… wordt in één decimaal 0,2.

Opgave 8: Auto's in Nederland

Vraag 17 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Een toenamediagram laat per maand zien hoeveel er méér of minder nieuwe auto's zijn verkocht dan de maand ervoor. Uit het diagram van januari tot en met maart 2015 lees je af: in februari 15 duizend minder dan in januari, en in maart 4 duizend minder dan in februari. Verder werden er in februari 31,25% minder auto's verkocht dan in januari. Bereken het totaal van de eerste drie maanden.

Het idee. De daling van 15 duizend ís die 31,25% van januari. Daarmee reken je januari terug, en dan volgen februari en maart uit het diagram.

Opfrissen: rekenen met procenten.

Bekijk de uitwerking van vraag 17

0,3125 · januari = 15 000 → januari = 15 0000,3125 = 48 000

februari = 48 000 − 15 000 = 33 000 maart = 33 000 − 4000 = 29 000

totaal = 48 000 + 33 000 + 29 000 = 110 000

De valkuil: 15 000 aanzien voor het aantal in februari. Een toenamediagram laat alleen de verschillen zien, nooit de aantallen zelf.

Vraag 18 · 6 punten

Wat wordt er gevraagd? Het totale aantal auto's groeit lineair: 5,2 miljoen op 1 januari 1990, 8,1 miljoen op 1 januari 2016. Het aantal elektrische auto's groeit exponentieel: 40 duizend op 1 januari 2010, 211 duizend op 1 januari 2016. Toon aan dat op 1 januari 2027 bijna de helft van de auto's elektrisch is, door het percentage in hele procenten te berekenen.

Het idee. Twee modellen, apart doorrekenen tot 2027. Lineair betekent: elk jaar evenveel erbij. Exponentieel betekent: elk jaar keer hetzelfde getal (de groeifactor). Daarna deel je het ene door het andere.

Opfrissen: lineair verband (rc) en groeifactor uit twee waarden.

Bekijk de uitwerking van vraag 18

Alle auto's (lineair). Van 1990 tot 2016 is 26 jaar:

toename per jaar = 8,1 − 5,226 ≈ 0,1115 miljoen

2027 is 37 jaar na 1990: 5,2 + 37 · 0,1115… ≈ 9,33 miljoen

Elektrische auto's (exponentieel). Van 2010 tot 2016 is 6 jaar, dus de groeifactor per jaar is

g = (21140)¹⁶ ≈ 1,319

2027 is 17 jaar na 2010: 40 · g¹⁷ ≈ 4450 duizend ≈ 4,45 miljoen

Het percentage.

4,459,33 · 100% ≈ 48%

Bijna de helft: de uitspraak klopt.

Reken door met de onafgeronde groeifactor. Met 1,32 in plaats van 1,319… komt er na 17 keer vermenigvuldigen al een merkbaar ander getal uit.

Wat dit examen je leert

Een paar dingen die in dit examen steeds terugkwamen, en die je op elk examen punten opleveren:

Raaklijn = loodrecht op de straal. Vraag 6 was met die ene eigenschap in drie regels klaar.
Vereenvoudig eerst. In vraag 12 bleek f gewoon 4^x te zijn; daarna was de rest makkelijk.
Een product is 0 als één factor 0 is. Vraag 15 werd daardoor twee kleine vergelijkingen in plaats van één grote.
Een toenamediagram geeft verschillen, geen aantallen. Vraag 17 draaide daarom.
Lineair is plus, exponentieel is keer. Vraag 18 zette die twee naast elkaar.

Andere uitgewerkte examens vind je bij de uitwerkingen per examen, en een week-voor-week-planning naar je examen toe in het leerschema.

Hetzelfde examen, maar dan het andere tijdvak: havo wiskunde B 2026, 1e tijdvak uitgewerkt.

Liep je bij een paar vragen vast?

Dat is precies de informatie die je nu nodig hebt: het laat zien welke onderwerpen nog niet zitten. In een kennismaking kijken we samen naar waar het misging, en maken we een plan voor de tijd die je nog hebt. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking