Home › Wiskunde B › De 10 algebrafouten

De 10 algebrafouten waardoor je punten verliest

Niet de nieuwe stof, maar het rekenwerk met letters kost de meeste punten. Dit zijn de tien klassiekers: waarom je brein erin trapt, en de test waarmee je jezelf altijd kunt controleren.

Waarom juist algebra punten kost

Algebra is rekenen met letters: haakjes wegwerken, breuken vereenvoudigen, machten herschrijven. Het is nooit een aparte examenvraag, maar het zit verstopt in élke opgave. Of je nu een goniometrische vergelijking oplost of een afgeleide uitrekent: tussen de eerste regel en het antwoord zitten altijd een paar algebrastappen. Gaat één van die stappen mis, dan is je antwoord fout, hoe goed je de rest ook snapt.

Het goede nieuws: het zijn bijna altijd dezélfde fouten. Wie ze eenmaal herkent, maakt ze daarna zelden nog. Maar eerst de belangrijkste vraag: wat betekent "herleiden" eigenlijk?

Herleiden betekent: een formule in een andere vorm schrijven, zonder dat de waarde verandert. Zo is 2(x + 3) precies hetzelfde als 2x + 6: vul welk getal je maar wilt in voor x, er komt altijd hetzelfde uit. Dát is de hele afspraak. Elke fout op deze pagina breekt die afspraak: er komt een vorm te staan die stiekem een ándere waarde heeft.

Hieronder staan de tien fouten, verdeeld over vier families: haakjes en mintekens, breuken, machten en wortels, en vergelijkingen. Bij elke fout zie je hoe hij eruitziet, waarom hij fout is, en wat wél mag.

Fouten met haakjes en mintekens

Fout 1: het kwadraat term voor term nemen

❌ (x + 3)² = x² + 9

✓ (x + 3)² = x² + 6x + 9

Kwadrateren betekent: iets met zichzélf vermenigvuldigen. Dus (x + 3)² = (x + 3)(x + 3), en bij het uitwerken moet elke term uit de linkerhaakjes één keer langs elke term uit de rechterhaakjes: x·x + x·3 + 3·x + 3·3. De middelste twee zijn samen 6x. Die 6x heet de kruisterm, en precies die vergeet je als je term voor term kwadrateert. De algemene regel: (a + b)² = a² + 2ab + b².

Je kunt de kruisterm ook gewoon zíén. (a + b)² is de oppervlakte van een vierkant met zijde a + b. Schuif aan a en b:

Fout 2: het minteken maar op één term loslaten

❌ 8 − 2(x − 3) = 8 − 2x − 6 = 2 − 2x

✓ 8 − 2(x − 3) = 8 − 2x + 6 = 14 − 2x

De −2 hoort bij álles binnen de haakjes. Dus −2 keer x geeft −2x, én −2 keer −3 geeft +6, want min keer min is plus. De fout ontstaat doordat je in je hoofd alleen "2 keer" zegt en het minteken kwijtraakt bij de tweede term. Zeg daarom bij élke term hardop "mín twee keer".

Invultest met x = 3: het origineel geeft 8 − 2·0 = 8. De foute vorm geeft 2 − 6 = −4, de goede geeft 14 − 6 = 8. ✓

Fouten met breuken

Voor breuken heb je twee woorden nodig. Een term is iets dat wordt opgeteld of afgetrokken: in x² + 6 zijn x² en 6 de termen. Een factor is iets dat wordt vermenigvuldigd: in 2x(x + 3) zijn 2, x en (x + 3) de factoren. Onthoud de hoofdregel van deze familie: met factoren mag bijna alles, met termen bijna niets.

Fout 3: termen wegstrepen in een breuk

❌ x² + 6x = x + 6

✓ 2x² + 6x2x = 2x(x + 3)2x = x + 3

Wegstrepen is stiekem delen: je deelt boven en onder door hetzelfde. Dat mag alleen met een factor van de héle teller en de héle noemer. In x² + 6 is x geen factor van het geheel: de 6 doet niet mee. Invultest met x = 3: links (9 + 6)/3 = 5, rechts 3 + 6 = 9. Fout dus.

Wil je wél wegstrepen? Ontbind eerst: ontbinden betekent een som schrijven als een product, dus de haakjes er juist wéér in. In het goede voorbeeld wordt de teller eerst 2x(x + 3); nu is 2x een factor van boven én onder, en mag hij weg.

Fout 4: de noemer splitsen

❌ 6x + 2 = 6x + 62

✓ x + 6x = xx + 6x = 1 + 6x

Een breuk mag je alleen in losse breuken splitsen als de plus boven de streep staat. De teller splitsen: mag altijd. De noemer splitsen: mag nooit. Invultest bij de foute regel, met x = 4: links 6/6 = 1, rechts 1,5 + 3 = 4,5.

Fout 5: breuken optellen door boven en onder apart op te tellen

❌ 12 + 13 = 25

✓ 12 + 13 = 36 + 26 = 56

Kijk goed naar de foute regel: de uitkomst 25 is kléíner dan 12, terwijl je er juist iets bij optelt. Dat kan dus nooit kloppen. Breuken optellen mag pas als de noemers gelijk zijn: gelijknamig maken, door elke breuk boven én onder met hetzelfde getal te vermenigvuldigen.

Met letters werkt het precies zo: 1x + 1x + 2 = x + 2x(x + 2) + xx(x + 2) = 2x + 2x² + 2x.

Fouten met machten en wortels

Fout 6: de wortel term voor term nemen

❌ √(x² + 9) = x + 3

✓ √(9x) = √9 · √x = 3√x

Dit is dezelfde valkuil als fout 1, maar dan andersom: worteltrekken verdeelt zich niet over een plus. Over een kéér wel: √(a·b) = √a · √b. Invultest met x = 4: links √(16 + 9) = √25 = 5, rechts 4 + 3 = 7. Niet gelijk, dus fout.

Fout 7: exponenten vermenigvuldigen bij x³ · x⁴

❌ x³ · x⁴ = x¹²

✓ x³ · x⁴ = x⁷   en   (x³)⁴ = x¹²

De exponent (het kleine getal rechtsboven) telt hoe vaak je x met zichzelf vermenigvuldigt. Schrijf het maar uit: x³ · x⁴ = (x·x·x)·(x·x·x·x), dat zijn zeven x'en achter elkaar, dus x⁷. Bij vermenigvuldigen tel je de exponenten dus óp. Alleen bij een macht ván een macht vermenigvuldig je ze: (x³)⁴ = x³·x³·x³·x³ = x¹².

En let op: bij optellen gebeurt er níéts met de exponenten. x³ + x⁴ kun je niet korter schrijven; dat blijft gewoon x³ + x⁴.

Fout 8: het getal mee de macht in nemen

❌ 12x³ = 2x⁻³

✓ 12x³ = 12x⁻³

Eerst de regels die je hiervoor nodig hebt, allebei onmisbaar zodra je gaat differentiëren. Een breuk met een macht in de noemer kun je schrijven als negatieve macht: 1x³ = x⁻³. En een wortel als gebroken macht: √x = x¹².

De fout zit in het getal. In 12x³ staat de 2 óók in de noemer, dus die blijft delen: 12x³ = 12 · 1x³ = 12x⁻³. Alleen wat er echt tot de macht staat (hier: x³) verhuist als negatieve macht naar boven. Invultest met x = 1: het origineel geeft 12, de foute vorm geeft 2.

Fouten bij vergelijkingen oplossen

Fout 9: delen door x

❌ x² = 5x, deel door x, dus x = 5

✓ x² − 5x = 0, dus x(x − 5) = 0, dus x = 0 of x = 5

Controleer zelf: x = 0 invullen in x² = 5x geeft 0 = 0. Klopt! Dus x = 0 is óók een oplossing, en die ben je kwijt zodra je door x deelt. Delen door x mag namelijk alleen als x niet nul is, en je gooit daarmee precies het geval x = 0 weg.

De vaste aanpak: breng alles naar één kant en ontbind. Dezelfde instinker is favoriet op het examen bij goniometrie: deel nooit door cos(x) of sin(x). Zie Goniometrische vergelijkingen oplossen.

Fout 10: splitsen zonder nul

❌ x(x − 3) = 10, dus x = 10 of x − 3 = 10

✓ x² − 3x − 10 = 0, dus (x − 5)(x + 2) = 0, dus x = 5 of x = −2

De splitsregel "als A·B = 0, dan A = 0 of B = 0" werkt alleen bij nul. Nul is namelijk het enige getal dat je met vermenigvuldigen alléén kunt maken als één van de factoren zelf nul is. Een product van 10 kan op oneindig veel manieren: 2 · 5, maar ook 4 · 2,5 of 100 · 0,1. Dat er 10 uitkomt zegt dus niets over de losse factoren. Invultest: x = 10 invullen in x(x − 3) = 10 geeft 10 · 7 = 70, en dat is geen 10.

De goede route: werk de haakjes uit, breng alles naar één kant zodat er wél nul staat, en ontbind dan opnieuw.

Uitgewerkte examenopgave

Los exact op: x³ = 4x.

Zo gaat het mis. De verleiding is groot om links en rechts door x te delen:

❌ x³ = 4x, deel door x: x² = 4, dus x = 2 of x = −2

Het ziet er netjes uit en er komen zelfs twee antwoorden uit. Maar dit is fout 9: door x delen gooit de oplossing x = 0 weg, en dat kost een punt.

Stap 1: breng alles naar één kant. Je wilt nul aan de rechterkant, want alleen bij nul mag je straks splitsen (fout 10) en hoef je nergens te delen (fout 9):

x³ − 4x = 0

Stap 2: ontbind. Beide termen bevatten een factor x, dus die kan buiten de haakjes. Wat overblijft, x² − 4, kun je nóg een keer ontbinden: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Controleer dat gerust door de haakjes weer uit te werken: de kruistermen −2x en +2x vallen precies tegen elkaar weg.

x(x² − 4) = 0, dus x(x − 2)(x + 2) = 0

Stap 3: splits. Nu staat er een product dat nul is, dus één van de drie factoren moet nul zijn:

x = 0  of  x = 2  of  x = −2

Controle: 0³ = 4·0 ✓, 2³ = 8 = 4·2 ✓ en (−2)³ = −8 = 4·(−2) ✓. Drie oplossingen, alle drie goed.

Test jezelf: goed of fout?

Twaalf herleidingen. Zeg bij elke: goed of fout? Je krijgt meteen de uitleg erbij.

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen, anders leer je alleen dat je het kunt lézen.