Home › Differentiëren en integreren › De afgeleide
De afgeleide: helling, raaklijn en hellinggrafiek
De afgeleide is één gereedschap met één doel: uitrekenen hoe steil een grafiek ergens is. Snap je dat, dan zijn raaklijnen, toppen en dalen daarna gewoon invulwerk.
Waar gaat dit over?
Een rechte lijn is overal even steil. Een kromme grafiek niet: die is op de ene plek bijna vlak en op de andere plek loeisteil. De vraag "hoe steil is deze grafiek hier?" heeft dus voor elke x een ander antwoord.
De afgeleide geeft precies dat antwoord. Het is een nieuwe formule die bij elke x vertelt hoe steil de grafiek daar is. Differentiëren betekent: die afgeleide bepalen. Op deze pagina leer je wat dat getal betekent en hoe je het gebruikt; de rekenregels om ingewikkelde formules te differentiëren komen op de volgende pagina.
Eerst: wat is helling?
De helling van een rechte lijn is: hoeveel de lijn omhoog gaat als je één stapje naar rechts loopt. Ga je 2 naar rechts en kom je 6 omhoog, dan is de helling 62 = 3. Bij elke stap naar rechts kom je 3 omhoog.
Je schrijft dat vaak met de Griekse letter Δ (spreek uit: delta). Δ betekent gewoon het verschil in. Dus Δx is het verschil in x (hoeveel je naar rechts gaat) en Δy het verschil in y (hoeveel je omhoog gaat):
helling = ΔyΔx = verschil in hoogteverschil in x
Gaat de lijn omlaag, dan is Δy negatief en is de helling dus ook negatief. Een horizontale lijn heeft helling 0.
Van gemiddelde helling naar de helling in één punt
Bij een kromme grafiek werkt dat trucje niet zomaar, want de steilheid verandert onderweg. Wat je wél kunt doen: twee punten op de grafiek pakken en de rechte lijn daartussen tekenen. Zo'n verbindingslijntje heet een koorde. De helling van die koorde noemen we de gemiddelde verandering over dat stuk (je ziet ook wel het woord differentiequotiënt, dat betekent hetzelfde):
gemiddelde verandering op [a, b] = ΔyΔx = f(b) − f(a)b − a
Dat is dus de gemiddelde steilheid over een heel stuk, niet de steilheid op één plek. Maar nu komt de truc waar alles op draait: schuif het tweede punt steeds dichter naar het eerste toe. Het stukje grafiek dat je bekijkt wordt dan zó klein dat het bijna een rechte lijn is, en de koorde gaat steeds meer lijken op de lijn die de grafiek in dat ene punt netjes volgt.
Schuif het tweede punt hieronder maar eens naar het eerste toe en kijk wat er met de helling van de groene koorde gebeurt.
💡 De raaklijn en de afgeleide
De lijn waar de koorde naartoe kruipt heet de raaklijn: de rechte lijn die de grafiek in dat ene punt aanraakt en daar precies dezelfde richting op gaat. De helling van de grafiek in een punt is per afspraak de helling van die raaklijn.
In de widget zie je het gebeuren: bij Δx = 1 is de gemiddelde helling nog 3, bij Δx = 0,1 al 2,1, en hoe kleiner het stapje, hoe dichter je bij 2 komt. Die 2 is de helling van de grafiek van x² in het punt x = 1. En precies dát getal levert de afgeleide je: f'(1) = 2.
✏️ Hoe je het opschrijft
De afgeleide van f schrijf je als f'(x), uitgesproken als "f accent". Let op het verschil:
f'(x) is een hele formule: hij geeft de helling bij elke x. f'(1) is één getal: de helling op de plek x = 1. Je krijgt dat getal door in de formule f'(x) de waarde x = 1 in te vullen.
In plaats van f'(x) zie je soms dydx staan (spreek uit: "de y de x"). Dat is dezelfde afgeleide, alleen anders opgeschreven: het is de ΔyΔx van hierboven, met een oneindig klein stapje.
🧰 Gereedschap: de afgeleide van machten
Om de voorbeelden op deze pagina te kunnen volgen heb je maar drie regeltjes nodig:
f(x) = xn geeft f'(x) = n·xn−1 (de macht komt ervoor, en gaat zelf één omlaag)
f(x) = een getal geeft f'(x) = 0 (een horizontale lijn heeft helling 0)
plussen en minnen: differentieer term voor term; een getal vóór de x blijft gewoon staan
Voorbeeld: f(x) = x³ − 6x² + 9x geeft f'(x) = 3x² − 12x + 9. Staat er een wortel, een breuk of een sinus in de formule, dan heb je meer regels nodig; die staan allemaal bij Productregel, quotiëntregel en kettingregel.
De hellinggrafiek: f en f' onder elkaar
Omdat f'(x) voor élke x een helling geeft, kun je van die hellingen zelf ook een grafiek tekenen. Die heet de hellinggrafiek: de grafiek van f'. De hoogte van de hellinggrafiek bij een bepaalde x is de steilheid van de bovenste grafiek bij diezelfde x.
Sleep het blauwe punt hieronder heen en weer. De rode raaklijn draait mee, en de hellinggrafiek eronder kleurt zichzelf in terwijl je sleept.
💡 Zo lees je een hellinggrafiek
Vier dingen, en je kunt f en f' altijd naast elkaar leggen:
1. Stijgt f? Dan ligt f' bóven de x-as (de helling is positief).
2. Daalt f? Dan ligt f' ónder de x-as (de helling is negatief).
3. Heeft f een top of een dal? Daar is de raaklijn horizontaal, dus daar snijdt f' de x-as: f'(x) = 0.
4. Hoe steiler f loopt, hoe verder f' van de x-as af ligt. Een bijna vlak stuk van f geeft een f' vlak bij nul.
Andersom werkt het net zo goed: krijg je alleen de hellinggrafiek te zien, dan lees je daaruit af waar f stijgt, daalt en een top heeft.
⚠️ Waar het misgaat
1. Gemiddelde helling verwarren met de helling in een punt. "De gemiddelde snelheid tussen t = 0 en t = 4" is een koorde: je rekent ΔyΔx met de twee eindpunten. "De snelheid op t = 4" is een raaklijn: daar heb je de afgeleide voor nodig. Lees dus goed of er gemiddeld staat.
2. Vergeten het getal in te vullen. f'(x) is een formule, geen helling. Wie de raaklijn in x = 4 wil opstellen en f'(x) = 3x² − 12x + 9 laat staan, heeft de helling nog niet: je moet er nog x = 4 in stoppen (dat geeft 9).
3. Denken dat een raaklijn de grafiek maar één keer mag raken. Een raaklijn hoort alleen ter plekke van het raakpunt dezelfde richting te hebben als de grafiek. Verderop mag hij de grafiek gerust weer tegenkomen. Bij de grafiek van sin(x) is de lijn y = 1 de raaklijn in de top, en die raakt de grafiek in élke volgende top opnieuw.
📋 Een raaklijn opstellen in 4 stappen
De vraag luidt meestal: "stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt met x = a."
- Bepaal het raakpunt. Vul a in de functie in: het raakpunt is (a, f(a)). Dit is het punt waar je lijn doorheen moet.
- Differentieer: bepaal de formule f'(x).
- Reken de helling uit: vul a in de afgeleide in. Het getal f'(a) is de helling van de raaklijn.
- Zet het in de formule van de raaklijn: y = f'(a)·(x − a) + f(a). Werk daarna de haakjes weg, zodat er y = … x + … staat.
- Controleer: vul x = a in jouw lijn in. Er moet f(a) uitkomen, want de lijn gaat door het raakpunt. Klopt het teken van de helling met de figuur (stijgende grafiek = stijgende lijn)?
Uitgewerkte examenopgave
Gegeven is de functie f(x) = x³ − 6x² + 9x. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt met x = 4.
Stap 1: het raakpunt. Vul x = 4 in de functie in:
f(4) = 4³ − 6·4² + 9·4 = 64 − 96 + 36 = 4
Het raakpunt is dus (4, 4), het blauwe punt in de figuur.
Stap 2: differentiëren. Term voor term, met de machtregel:
f'(x) = 3x² − 12x + 9
Stap 3: de helling uitrekenen. Nu vul je x = 4 in de afgeleide in (niet in f):
f'(4) = 3·4² − 12·4 + 9 = 48 − 48 + 9 = 9
De raaklijn heeft dus helling 9: vanaf het raakpunt 1 naar rechts betekent 9 omhoog. Dat zijn de grijze stippellijnen in de figuur.
Stap 4: de vergelijking opschrijven. Vul in y = f'(a)·(x − a) + f(a) in: a = 4, f'(4) = 9 en f(4) = 4.
y = 9(x − 4) + 4
y = 9x − 36 + 4 = 9x − 32
🔎 Controle (stap 5)
Vul x = 4 in de gevonden lijn in: 9·4 − 32 = 4. Dat is precies f(4), dus de lijn gaat door het raakpunt. ✓ En de helling is positief, wat klopt met de figuur: de grafiek loopt daar flink omhoog.
Zelf oefenen
Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen, anders leer je alleen dat je het kunt lézen.
Opgave 1. Gegeven is f(x) = x². Bereken de gemiddelde verandering op het interval [1, 4], en daarna de helling in het punt x = 1.
De gemiddelde verandering is de helling van de koorde tussen de punten bij x = 1 en x = 4:
f(4) − f(1)4 − 1 = 16 − 13 = 5
De helling in x = 1 vraagt om de afgeleide. Met de machtregel: f'(x) = 2x, dus
f'(1) = 2·1 = 2
Twee heel verschillende antwoorden op één grafiek, en dat hoort ook: over het hele stuk van 1 tot 4 wordt de grafiek steeds steiler, dus gemiddeld is hij veel steiler dan aan het begin.
Opgave 2. Hieronder zie je de grafiek van f(x) = x³ − 3x². Bij welke x is f'(x) = 0? Waar is f'(x) negatief? Schets daarna de hellinggrafiek.
Waar is f'(x) = 0? Op de plekken waar de raaklijn horizontaal ligt, dus in de top en in het dal: bij x = 0 en bij x = 2.
Waar is f'(x) negatief? Daar waar de grafiek daalt, en dat is precies het stuk tussen de top en het dal: voor 0 < x < 2. Links van 0 en rechts van 2 stijgt de grafiek, dus daar is f' positief.
De hellinggrafiek gaat dus door nul bij x = 0 en x = 2, ligt daartussen onder de x-as en daarbuiten erboven. Met de machtregel kun je hem ook uitrekenen: f'(x) = 3x² − 6x, een dalparabool met nulpunten 0 en 2. Precies wat je uit de figuur afleest:
Opgave 3. Gegeven is f(x) = x³ − 3x + 1. Stel een vergelijking op van de raaklijn in het punt met x = −1.
stap 1: f(−1) = (−1)³ − 3·(−1) + 1 = −1 + 3 + 1 = 3, dus het raakpunt is (−1, 3)
stap 2: f'(x) = 3x² − 3
stap 3: f'(−1) = 3·(−1)² − 3 = 3 − 3 = 0
De helling is 0, dus de raaklijn is horizontaal. Invullen in de formule:
stap 4: y = 0·(x + 1) + 3, dus y = 3
Dat de helling 0 is, is geen fout maar informatie: het raakpunt is een top van de grafiek. Kijk ook naar de figuur: deze raaklijn komt de grafiek verderop bij x = 2 gewoon weer tegen, en dat mag (zie misvatting 3 hierboven).
Je weet nu wat de afgeleide betekent en wat je ermee doet. De volgende stap is het rekenwerk: hoe bepaal je f' als de formule uit meerdere stukken bestaat, zoals x²·sin(3x) of een breuk met x onder de streep? Dat leer je bij Productregel, quotiëntregel en kettingregel.
Blijft het abstract?
De afgeleide is zo'n onderwerp dat ineens klikt als iemand het één keer met de juiste tekening uitlegt. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.
Plan een gratis kennismaking