Home › Differentiëren en integreren › Product-, quotiënt- en kettingregel

Productregel, quotiëntregel en kettingregel: welke gebruik je wanneer?

Differentiëren gaat zelden mis op de regels zelf, maar op het kiezen ervan. Leer de vorm van de functie herkennen en de rest is invullen.

Wat is de afgeleide ook alweer?

De afgeleide van een functie is een nieuwe formule die voor elke x vertelt hoe steil de grafiek daar is: de helling. Gaat de grafiek omhoog, dan is de helling positief; gaat hij omlaag, dan is hij negatief; op een top of in een dal is hij precies 0. De afgeleide van f schrijf je als f'(x) (spreek uit: "f accent"), en differentiëren betekent: die afgeleide bepalen.

Wil je eerst rustig zien wat dat getal betekent, met een raaklijn die meedraait en een hellinggrafiek die zichzelf tekent? Begin dan bij De afgeleide: helling, raaklijn en hellinggrafiek. Op deze pagina gaat het om het rekenwerk: hoe bepaal je f' als de formule uit meerdere stukken bestaat?

De afgeleiden die je uit je hoofd moet kennen

De drie regels op deze pagina combineren steeds een paar basisafgeleiden. Die moet je dus paraat hebben:

f(x)	f'(x)
getal (bijv. 5)	0
xⁿ	n·xⁿ⁻¹
√x	12√x
1x	−1x²
sin(x)	cos(x)
cos(x)	−sin(x)
tan(x)	1 + tan²(x) = 1cos²(x)
e^x	e^x
b^x	(ln b)·b^x
ln(x)	1x
^blog(x)	1(ln b)·x

Zie je een wortel of een breuk met een getal erboven? Schrijf hem eerst als macht: √x = x¹² en 1x³ = x⁻³. Daarna kun je gewoon de regel voor xⁿ gebruiken. Gaat dat herschrijven nog stroef? Fris het dan eerst op bij de 10 algebrafouten. De e-macht e^x en de logaritme ln(x) krijgen verderop hun eigen uitleg: die verschijnen in examens bijna altijd samen met de kettingregel. De grondtal-varianten b^x en ^blog(x) en de tangens tan(x) kom je een stuk minder vaak tegen; hun afgeleide hoef je niet uit je hoofd te leren, want die mag je op het examen gewoon van de formulekaart aflezen.

Drie vormen, drie regels

Met alleen de tabel kom je er niet: examenfuncties zijn bijna altijd opgebouwd uit twee kleinere functies. Voor elke manier van samenbouwen is er één regel, en de kunst is dus niet de regels uit je hoofd leren, maar de bouw herkennen. Stel jezelf altijd deze vraag: hoe zit de formule in elkaar?

Twee stukken keer elkaar, zoals x²·sin(x)? Dan de productregel.
Een breuk met x onder de deelstreep? Dan de quotiëntregel.
Een functie ín een andere functie, zoals sin(2x) of (3x² + 1)⁵? Dan de kettingregel.

De productregel

Voor een functie die uit twee stukken keer elkaar bestaat, h(x) = f(x)·g(x), geldt:

h'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

In woorden: differentieer om de beurt één van de twee stukken, laat het andere stuk staan, en tel de twee resultaten op. Voorbeeld: h(x) = x·sin(x) geeft h'(x) = 1·sin(x) + x·cos(x).

De quotiëntregel

Voor een breuk h(x) = f(x)g(x) (met de teller f bóven en de noemer g ónder de streep) geldt:

h'(x) = f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)(g(x))²

In woorden: de afgeleide van de teller keer de noemer, mín de teller keer de afgeleide van de noemer, en alles gedeeld door de noemer in het kwadraat. Voorbeeld: h(x) = sin(x)x geeft h'(x) = x·cos(x) − sin(x)x².

De kettingregel

Reken sin(2x) eens uit voor x = 1: éérst doe je 2·1 = 2, en dáárna neem je daar de sinus van. Er gebeuren dus twee dingen ná elkaar, als een ketting. De functie die je als eerste uitrekent heet de binnenste functie (hier 2x), de functie die daarna komt de buitenste functie (hier de sinus). Voor zo'n samengestelde functie h(x) = f(g(x)) geldt:

h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

In woorden: differentieer de buitenste functie en laat de binnenste daarbij gewoon staan, en vermenigvuldig daarna met de afgeleide van de binnenste. Voorbeeld: bij sin(2x) wordt de buitenste sinus een cosinus (met 2x er nog gewoon in), keer de afgeleide van 2x:

h(x) = sin(2x) geeft h'(x) = cos(2x) · 2 = 2·cos(2x)

💡 Waarom die extra factor?

sin(2x) is dezelfde golf als sin(x), maar alles gebeurt twee keer zo snel: elke top, elk dal en elke klim zit in de helft van de ruimte geperst. Een klim die in de helft van de ruimte moet gebeuren, is twee keer zo steil. Dáárom komt er bij de afgeleide een factor 2 bij: de binnenste functie 2x "versnelt" de golf, en de afgeleide van de binnenste functie is precies die versnellingsfactor.

Je kunt het ook zien: zet de widget op De afgeleide van sin(x) naar sin(2x) en kijk naar de groene hellinggrafiek. Zelfde vorm, maar alle hellingen zijn twee keer zo groot.

De afgeleide van e^x en ln(x)

Twee functies duiken in bijna elk examen op en verdienen daarom aparte aandacht: de e-macht e^x en de natuurlijke logaritme ln(x). Even kort wat ze zijn: e is een vast getal, ongeveer 2,718, en e^x is daar de macht van (net als 2^x, maar met dat speciale grondtal e). ln is de omgekeerde bewerking van e^x: ln(x) vertelt tot welke macht je e moet verheffen om x te krijgen. Hun afgeleiden moet je uit je hoofd kennen:

e^x → e^x (blijft precies zichzelf!)

ln(x) → 1x

💡 Waarom is e^x zijn eigen afgeleide?

Het getal e is juist zó gekozen dat de grafiek van e^x op elk punt precies zo steil is als hij hoog is. Staat de grafiek op hoogte 5, dan is de helling daar ook 5; op hoogte 20 is de helling 20. Hoogte en steilheid zijn overal aan elkaar gelijk, en dat is nu precies wat de afgeleide meet. Daarom verandert e^x niet als je 'm differentieert. Geen enkele andere functie doet dit, en juist dáárom is e zo'n bijzonder grondtal.

Net als de sinus of een macht komen e^x en ln bijna nooit met een kale x, maar met iets anders erin: e^2x, e^x², ln(3x). Dan gebruik je er de kettingregel bij, en worden de patronen:

e^(binnenste) → e^(binnenste) · (afgeleide van het binnenste)

ln(binnenste) → afgeleide van het binnenstebinnenste

Twee voorbeelden, helemaal uitgewerkt:

e^x² → e^x² · 2x = 2x·e^x²

ln(x² + 1) → 2xx² + 1

Bij de e-macht blijft de hele e^… dus gewoon staan; je plakt er alleen de afgeleide van het binnenste stuk achter. Bij ln deel je de afgeleide van het binnenste door het binnenste zelf.

Een snelle route: van f(x) naar f(cx + d)

Soms ken je de afgeleide van een functie f al, en wordt gevraagd naar de afgeleide van diezelfde f, maar met cx + d op de plek van x: bijvoorbeeld f(2x + 1). Dat is niets nieuws, het is gewoon de kettingregel met een extra makkelijk binnenste stuk. De binnenste functie cx + d is een rechte lijn, en de afgeleide daarvan is simpelweg het getal c. Daarom:

h(x) = f(cx + d) geeft h'(x) = c · f'(cx + d)

In woorden: bepaal f' zoals je gewend bent, zet overal cx + d op de plek van x, en vermenigvuldig het geheel met c. Voorbeeld met de e-macht van hierboven, want de afgeleide van e^x is e^x:

h(x) = e^3x → h'(x) = 3·e^3x (hier is c = 3)

En omdat de afgeleide van sin(x) gelijk is aan cos(x):

h(x) = sin(4x − 1) → h'(x) = 4·cos(4x − 1) (hier is c = 4)

Herken je hierin de sin(2x) van eerder op deze pagina? Dat wás al dit trucje: c = 2 leverde die factor 2 op. Alles met een rechte binnenkant (een getal keer x, plus of min een getal) geeft simpelweg dat getal als extra factor.

⚠️ Waar het misgaat

1. Stuk voor stuk differentiëren. De verleidelijkste nepregel: "de afgeleide van f·g is f'·g'." Klinkt logisch, is fout. Kijk maar: x·x = x² heeft afgeleide 2x, maar de nepregel geeft 1·1 = 1. Het is dezelfde valkuil als bij de algebrafouten: een echte regel (differentiëren mag term voor term bij een plus) op de verkeerde plek (een keer) toepassen.

2. De kettingregel vergeten. Wie sin(2x) beantwoordt met cos(2x) mist de factor 2. Check jezelf bij elke functie: zit er iets anders dan een kale x ín de sinus, de macht of de wortel? Dan móét je nog met de afgeleide van dat binnenste stuk vermenigvuldigen.

3. De quotiëntregel omdraaien. In de teller staat een minteken, dus de volgorde is belangrijk: éérst f'·g (afgeleide van de teller voorop). Draai je de twee termen om, dan krijg je precies het tegengestelde van het goede antwoord.

4. e^x als een gewone macht behandelen. De afgeleide van xⁿ is n·xⁿ⁻¹, maar bij e^x zit de x in de exponent, niet in het grondtal. De afgeleide is dus niet x·e^x−1, maar gewoon e^x zelf. En de afgeleide van ln(x) is geen logaritme, maar 1x.

📋 Het stappenplan

Herken de vorm: twee stukken keer elkaar → productregel; x onder de deelstreep → quotiëntregel; functie ín een functie → kettingregel. Staat er een e-macht of ln met iets anders dan een kale x erin (zoals e^2x of ln(3x))? Dan hoort daar óók de kettingregel bij. Zie je meerdere vormen tegelijk? Begin bij de vorm van het geheel en werk naar binnen.
Schrijf de onderdelen apart op: f(x) = …, g(x) = …, en meteen f'(x) en g'(x) ernaast (bij de kettingregel: de binnenste en de buitenste functie). Dit voelt langzaam, maar voorkomt vrijwel elke fout.
Vul de regel letterlijk in, zonder al iets te vereenvoudigen.
Herleid pas daarna: factoren samennemen, machten netjes schrijven.
Controleer met de grafiek: plot de functie op je rekenmachine. Waar de grafiek een top of dal heeft, moet jouw afgeleide precies 0 zijn.

Uitgewerkte examenopgave

Gegeven is de functie f(x) = x²·sin(3x). Bepaal de afgeleide f'(x).

Stap 1: herken de vorm. Er staan twee stukken keer elkaar: x² en sin(3x). Dat betekent productregel. En kijk goed naar het tweede stuk: in de sinus zit geen kale x maar 3x, dus dáár komt straks óók de kettingregel bij kijken.

Stap 2: schrijf de onderdelen op. Het eerste stuk is x², met afgeleide 2x. Het tweede stuk is sin(3x): een functie in een functie. De buitenste sinus wordt een cosinus (met 3x er nog gewoon in), keer de afgeleide van het binnenste stuk 3x, en die is 3:

eerste stuk: x² → 2x

tweede stuk: sin(3x) → cos(3x)·3 = 3·cos(3x) (kettingregel)

Stap 3: vul de productregel in. Afgeleide van het eerste stuk keer het tweede, plus het eerste stuk keer de afgeleide van het tweede:

f'(x) = 2x·sin(3x) + x²·3·cos(3x)

Stap 4: schrijf het netjes op.

f'(x) = 2x·sin(3x) + 3x²·cos(3x)

🔎 Controle (stap 5)

Bij de top van f (het blauwe punt in de figuur) hoort de helling 0 te zijn, en inderdaad: precies daaronder snijdt onze f' de x-as. Ook bij x = 0 is de afgeleide 0, en dat klopt óók: vul maar in, 2·0·sin(0) + 3·0²·cos(0) = 0. De grafiek vertrekt daar heel even vlak.

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen, anders leer je alleen dat je het kunt lézen.

Opgave 1. Differentieer: f(x) = (3x² + 1)⁵

Er zit een functie ín een functie: het binnenste stuk is 3x² + 1, de buitenste functie is "tot de macht 5". Dus kettingregel:

binnenste: 3x² + 1 → 6x

buitenste: ( … )⁵ → 5·( … )⁴ (regel voor xⁿ, met het binnenste stuk op de plek van de …)

f'(x) = 5·(3x² + 1)⁴ · 6x = 30x·(3x² + 1)⁴

De haakjes uitwerken hoeft niet en moet je ook niet willen: dit ís het antwoord. Wie de kettingregel vergat en alleen 5(3x² + 1)⁴ opschreef, miste de factor 6x.

Opgave 2. Differentieer: f(x) = xx² + 1 en laat zien waar de grafiek een top of dal heeft.

Een breuk met x onder de deelstreep: quotiëntregel. Teller x (afgeleide 1), noemer x² + 1 (afgeleide 2x):

f'(x) = 1·(x² + 1) − x·2x(x² + 1)² = 1 − x²(x² + 1)²

Een top of dal vind je waar de afgeleide nul is. Een breuk is nul als de teller nul is: 1 − x² = 0, dus x = 1 of x = −1.

Opgave 3 (instinker!). Differentieer: f(x) = sin²(x)

sin²(x) betekent (sin(x))². Zo opgeschreven zie je de bouw ineens: het binnenste stuk is sin(x), de buitenste functie is het kwadraat. Dus kettingregel, niet alleen "2 keer sinus":

binnenste: sin(x) → cos(x)

buitenste: ( … )² → 2·( … )

f'(x) = 2·sin(x) · cos(x)

Je kunt hem ook met de productregel doen, want sin²(x) = sin(x)·sin(x): dat geeft cos(x)·sin(x) + sin(x)·cos(x), hetzelfde antwoord. Kies wat je fijn vindt.

Leuk detail: op de formulelijst staat de verdubbelingsformule 2·sin(x)·cos(x) = sin(2x). De afgeleide van sin²(x) is dus gewoon een sinusgolf! Diezelfde vorm 2·sin(x)·cos(x) kwam je misschien al tegen als instinker bij goniometrische vergelijkingen oplossen.

Opgave 4. Differentieer: f(x) = x²·e^x en bepaal waar de grafiek een top of dal heeft.

Twee stukken keer elkaar: productregel. Eerste stuk x² (afgeleide 2x), tweede stuk e^x (afgeleide e^x, blijft zichzelf):

f'(x) = 2x·e^x + x²·e^x

Nu netjes opschrijven: beide termen hebben een e^x, dus die zetten we buiten haakjes:

f'(x) = (x² + 2x)·e^x = x(x + 2)·e^x

Een top of dal zit waar f'(x) = 0. Een e-macht is nooit nul (e^x is altijd positief), dus alleen het andere stuk telt: x(x + 2) = 0, dus x = 0 of x = −2.

Wie e^x als een gewone macht behandelde en x·e^x−1 opschreef, zit meteen mis: de afgeleide van e^x is en blijft e^x.

Opgave 5. Differentieer: f(x) = ln(x² + 1)

Een ln met iets anders dan een kale x erin, dus de kettingregel. Het binnenste stuk is x² + 1 (afgeleide 2x). Bij ln deel je de afgeleide van het binnenste door het binnenste zelf:

f'(x) = 2xx² + 1

Handig om te checken: de noemer x² + 1 is altijd positief, dus f' heeft hetzelfde teken als de teller 2x. Links van de y-as (x < 0) daalt de grafiek, rechts stijgt hij, en bij x = 0 zit het laagste punt.

Opgave 6. Differentieer: (a) f(x) = x·2^x, (b) g(x) = tan(3x), (c) h(x) = ⁵log(x).

(a) f(x) = x·2^x. Twee stukken keer elkaar, dus de productregel. Het eerste stuk is x (afgeleide 1), het tweede stuk is 2^x. Let op: 2^x is géén e-macht, dus de afgeleide is niet 2^x zelf, maar (ln 2)·2^x, mét die extra factor ln 2:

f'(x) = 1·2^x + x·(ln 2)·2^x = 2^x(1 + x·ln 2)

(b) g(x) = tan(3x). Een functie ín een functie, dus de kettingregel. De afgeleide van de tangens is 1cos²(…), en die keer de afgeleide van het binnenste stuk 3x (dat is 3):

g'(x) = 1cos²(3x) · 3 = 3cos²(3x)

Je mag het antwoord ook als 3·(1 + tan²(3x)) schrijven: dat is precies hetzelfde, want 1 + tan²(3x) = 1cos²(3x).

(c) h(x) = ⁵log(x). Hier pas je de nieuwe standaardregel rechtstreeks toe: de afgeleide van ^blog(x) is 1(ln b)·x, hier met grondtal b = 5:

h'(x) = 1(ln 5)·x

Alle drie de afgeleiden staan op de formulekaart, dus je hoeft ze niet uit je hoofd te kennen. Waar het om gaat: herken dat 2^x die factor ln 2 meekrijgt, en dat tan(3x) en ^blog nog een binnenste stuk hebben waar de kettingregel op los moet.

Nu je vlot kunt differentiëren, kun je de afgeleide inzetten om de bijzondere punten van een grafiek te vinden: de toppen, dalen en buigpunten, en daarmee ook optimaliseringsproblemen ("hoe groot kan die oppervlakte maximaal worden?"). Dat leer je bij Extremen, buigpunten en optimaliseren.

Kom je er niet uit?

Differentiëren is vormen leren herkennen, en dat gaat het snelst met iemand die live meekijkt waar jij de mist in gaat. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking