Home › Differentiëren en integreren › Product-, quotiënt- en kettingregel

Productregel, quotiëntregel en kettingregel: welke gebruik je wanneer?

Differentiëren gaat zelden mis op de regels zelf, maar op het kiezen ervan. Leer de vorm van de functie herkennen en de rest is invullen.

Wat is de afgeleide ook alweer?

De afgeleide van een functie is een nieuwe formule die voor elke x vertelt hoe steil de grafiek daar is. Die steilheid heet de helling: hoeveel de grafiek stijgt als je één stapje naar rechts gaat. Gaat de grafiek omhoog, dan is de helling positief. Gaat hij omlaag, dan is de helling negatief. En op een top of in een dal is de helling precies 0.

Je ziet de helling het makkelijkst met een raaklijn: de rechte lijn die de grafiek in één punt net raakt en daar precies dezelfde richting op gaat. De helling van de grafiek in een punt is de helling van die raaklijn. De afgeleide van f schrijf je als f'(x) (spreek uit: "f accent"), en differentiëren betekent: de afgeleide bepalen.

Sleep het punt hieronder en kijk hoe de rode raaklijn meedraait. De groene grafiek eronder tekent de helling voor élke x, en dat is precies de afgeleide.

De afgeleiden die je uit je hoofd moet kennen

De drie regels op deze pagina combineren steeds een paar basisafgeleiden. Die moet je dus paraat hebben:

f(x)	f'(x)
getal (bijv. 5)	0
xⁿ	n·xⁿ⁻¹
√x	12√x
1x	−1x²
sin(x)	cos(x)
cos(x)	−sin(x)

Zie je een wortel of een breuk met een getal erboven? Schrijf hem eerst als macht: √x = x¹² en 1x³ = x⁻³. Daarna kun je gewoon de regel voor xⁿ gebruiken. Gaat dat herschrijven nog stroef? Fris het dan eerst op bij de 10 algebrafouten.

Drie vormen, drie regels

Met alleen de tabel kom je er niet: examenfuncties zijn bijna altijd opgebouwd uit twee kleinere functies. Voor elke manier van samenbouwen is er één regel, en de kunst is dus niet de regels uit je hoofd leren, maar de bouw herkennen. Stel jezelf altijd deze vraag: hoe zit de formule in elkaar?

Twee stukken keer elkaar, zoals x²·sin(x)? Dan de productregel.
Een breuk met x onder de deelstreep? Dan de quotiëntregel.
Een functie ín een andere functie, zoals sin(2x) of (3x² + 1)⁵? Dan de kettingregel.

De productregel

Voor een functie die uit twee stukken keer elkaar bestaat, h(x) = f(x)·g(x), geldt:

h'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

In woorden: differentieer om de beurt één van de twee stukken, laat het andere stuk staan, en tel de twee resultaten op. Voorbeeld: h(x) = x·sin(x) geeft h'(x) = 1·sin(x) + x·cos(x). Dat is precies de groene grafiek die je in de widget hierboven bij x·sin(x) ziet.

De quotiëntregel

Voor een breuk h(x) = f(x)g(x) (met de teller f bóven en de noemer g ónder de streep) geldt:

h'(x) = f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)(g(x))²

In woorden: de afgeleide van de teller keer de noemer, mín de teller keer de afgeleide van de noemer, en alles gedeeld door de noemer in het kwadraat. Voorbeeld: h(x) = sin(x)x geeft h'(x) = x·cos(x) − sin(x)x².

De kettingregel

Reken sin(2x) eens uit voor x = 1: éérst doe je 2·1 = 2, en dáárna neem je daar de sinus van. Er gebeuren dus twee dingen ná elkaar, als een ketting. De functie die je als eerste uitrekent heet de binnenste functie (hier 2x), de functie die daarna komt de buitenste functie (hier de sinus). Voor zo'n samengestelde functie h(x) = f(g(x)) geldt:

h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

In woorden: differentieer de buitenste functie en laat de binnenste daarbij gewoon staan, en vermenigvuldig daarna met de afgeleide van de binnenste. Voorbeeld: bij sin(2x) wordt de buitenste sinus een cosinus (met 2x er nog gewoon in), keer de afgeleide van 2x:

h(x) = sin(2x) geeft h'(x) = cos(2x) · 2 = 2·cos(2x)

💡 Waarom die extra factor?

sin(2x) is dezelfde golf als sin(x), maar alles gebeurt twee keer zo snel: elke top, elk dal en elke klim zit in de helft van de ruimte geperst. Een klim die in de helft van de ruimte moet gebeuren, is twee keer zo steil. Dáárom komt er bij de afgeleide een factor 2 bij: de binnenste functie 2x "versnelt" de golf, en de afgeleide van de binnenste functie is precies die versnellingsfactor.

Je kunt het zien in de widget bovenaan: schakel van sin(x) naar sin(2x) en kijk naar de groene hellinggrafiek. Zelfde vorm, maar alle hellingen zijn twee keer zo groot.

⚠️ Waar het misgaat

1. Stuk voor stuk differentiëren. De verleidelijkste nepregel: "de afgeleide van f·g is f'·g'." Klinkt logisch, is fout. Kijk maar: x·x = x² heeft afgeleide 2x, maar de nepregel geeft 1·1 = 1. Het is dezelfde valkuil als bij de algebrafouten: een echte regel (differentiëren mag term voor term bij een plus) op de verkeerde plek (een keer) toepassen.

2. De kettingregel vergeten. Wie sin(2x) beantwoordt met cos(2x) mist de factor 2. Check jezelf bij elke functie: zit er iets anders dan een kale x ín de sinus, de macht of de wortel? Dan móét je nog met de afgeleide van dat binnenste stuk vermenigvuldigen.

3. De quotiëntregel omdraaien. In de teller staat een minteken, dus de volgorde is belangrijk: éérst f'·g (afgeleide van de teller voorop). Draai je de twee termen om, dan krijg je precies het tegengestelde van het goede antwoord.

📋 Het stappenplan

Herken de vorm: twee stukken keer elkaar → productregel; x onder de deelstreep → quotiëntregel; functie ín een functie → kettingregel. Zie je meerdere vormen tegelijk? Begin bij de vorm van het geheel en werk naar binnen.
Schrijf de onderdelen apart op: f(x) = …, g(x) = …, en meteen f'(x) en g'(x) ernaast (bij de kettingregel: de binnenste en de buitenste functie). Dit voelt langzaam, maar voorkomt vrijwel elke fout.
Vul de regel letterlijk in, zonder al iets te vereenvoudigen.
Herleid pas daarna: factoren samennemen, machten netjes schrijven.
Controleer met de grafiek: plot de functie op je rekenmachine. Waar de grafiek een top of dal heeft, moet jouw afgeleide precies 0 zijn.

Uitgewerkte examenopgave

Gegeven is de functie f(x) = x²·sin(3x). Bepaal de afgeleide f'(x).

Stap 1: herken de vorm. Er staan twee stukken keer elkaar: x² en sin(3x). Dat betekent productregel. En kijk goed naar het tweede stuk: in de sinus zit geen kale x maar 3x, dus dáár komt straks óók de kettingregel bij kijken.

Stap 2: schrijf de onderdelen op. Het eerste stuk is x², met afgeleide 2x. Het tweede stuk is sin(3x): een functie in een functie. De buitenste sinus wordt een cosinus (met 3x er nog gewoon in), keer de afgeleide van het binnenste stuk 3x, en die is 3:

eerste stuk: x² → 2x

tweede stuk: sin(3x) → cos(3x)·3 = 3·cos(3x) (kettingregel)

Stap 3: vul de productregel in. Afgeleide van het eerste stuk keer het tweede, plus het eerste stuk keer de afgeleide van het tweede:

f'(x) = 2x·sin(3x) + x²·3·cos(3x)

Stap 4: schrijf het netjes op.

f'(x) = 2x·sin(3x) + 3x²·cos(3x)

🔎 Controle (stap 5)

Bij de top van f (het blauwe punt in de figuur) hoort de helling 0 te zijn, en inderdaad: precies daaronder snijdt onze f' de x-as. Ook bij x = 0 is de afgeleide 0, en dat klopt óók: vul maar in, 2·0·sin(0) + 3·0²·cos(0) = 0. De grafiek vertrekt daar heel even vlak.

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen, anders leer je alleen dat je het kunt lézen.

Opgave 1. Differentieer: f(x) = (3x² + 1)⁵

Er zit een functie ín een functie: het binnenste stuk is 3x² + 1, de buitenste functie is "tot de macht 5". Dus kettingregel:

binnenste: 3x² + 1 → 6x

buitenste: ( … )⁵ → 5·( … )⁴ (regel voor xⁿ, met het binnenste stuk op de plek van de …)

f'(x) = 5·(3x² + 1)⁴ · 6x = 30x·(3x² + 1)⁴

De haakjes uitwerken hoeft niet en moet je ook niet willen: dit ís het antwoord. Wie de kettingregel vergat en alleen 5(3x² + 1)⁴ opschreef, miste de factor 6x.

Opgave 2. Differentieer: f(x) = xx² + 1 en laat zien waar de grafiek een top of dal heeft.

Een breuk met x onder de deelstreep: quotiëntregel. Teller x (afgeleide 1), noemer x² + 1 (afgeleide 2x):

f'(x) = 1·(x² + 1) − x·2x(x² + 1)² = 1 − x²(x² + 1)²

Een top of dal vind je waar de afgeleide nul is. Een breuk is nul als de teller nul is: 1 − x² = 0, dus x = 1 of x = −1.

Opgave 3 (instinker!). Differentieer: f(x) = sin²(x)

sin²(x) betekent (sin(x))². Zo opgeschreven zie je de bouw ineens: het binnenste stuk is sin(x), de buitenste functie is het kwadraat. Dus kettingregel, niet alleen "2 keer sinus":

binnenste: sin(x) → cos(x)

buitenste: ( … )² → 2·( … )

f'(x) = 2·sin(x) · cos(x)

Je kunt hem ook met de productregel doen, want sin²(x) = sin(x)·sin(x): dat geeft cos(x)·sin(x) + sin(x)·cos(x), hetzelfde antwoord. Kies wat je fijn vindt.

Leuk detail: op de formulelijst staat de verdubbelingsformule 2·sin(x)·cos(x) = sin(2x). De afgeleide van sin²(x) is dus gewoon een sinusgolf! Diezelfde vorm 2·sin(x)·cos(x) kwam je misschien al tegen als instinker bij goniometrische vergelijkingen oplossen.

Kom je er niet uit?

Differentiëren is vormen leren herkennen, en dat gaat het snelst met iemand die live meekijkt waar jij de mist in gaat. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking