Bijles

Home › Goniometrie › Formules herleiden

Goniometrische formules herleiden

Herleiden met sinus en cosinus lijkt een doolhof van formules. Maar je hebt er maar twee soorten, en zodra je ziet welke soort je nodig hebt, schrijft de herleiding zichzelf.

Wat betekent "herleiden" hier?

Herleiden betekent: een formule stap voor stap omschrijven naar een andere vorm, zonder dat de waarde verandert (precies zoals bij de algebrafouten, maar nu met sin en cos erin). Je gebruikt het om een lelijke uitdrukking op te schonen, of om een vergelijking in een vorm te krijgen die je kunt oplossen.

De formules die je daarbij gebruikt komen uit twee bronnen, en dat verschil is handig om te weten:

Nog niet vertrouwd met de cirkel? Lees dan eerst De eenheidscirkel & exacte waarden.

Symmetrie: partnerpunten op de cirkel

Elk punt op de eenheidscirkel heeft een paar "partners": punten op een spiegelplek, met dezelfde of tegengestelde sinus en cosinus. Onthoud even: de cosinus is hoe ver het punt naar rechts staat (de x-waarde), de sinus is hoe hoog het staat (de y-waarde). Kies hieronder een partner en sleep het blauwe punt: je ziet meteen welke van de twee gelijk blijft en welke van teken wisselt.

x = partner =

Blauw is x, groen is de gekozen partner. Kijk of het punt naar links/rechts spiegelt (dan verandert de cosinus van teken) of omhoog/omlaag (dan verandert de sinus).

💡 De symmetrie- en translatieformules

Alles wat je in de cirkel ziet, op een rij. Je hoeft ze niet stom uit je hoofd te leren: lees ze af van de partnerpunten.

sin(π − x) = sin(x)    cos(π − x) = −cos(x)   (spiegel in de verticale as)

sin(−x) = −sin(x)    cos(−x) = cos(x)   (spiegel in de horizontale as)

sin(π + x) = −sin(x)    cos(π + x) = −cos(x)   (halve slag om het midden)

sin(12π − x) = cos(x)    cos(12π − x) = sin(x)   (sin en cos wisselen)

En de translatie die sinus en cosinus koppelt (een kwart cirkel opschuiven): cos(x) = sin(x + 12π) en sin(x) = cos(x − 12π).

De formulekaart: som, verschil en verdubbeling

Deze krijg je bij het examen, dus uit je hoofd leren hoeft niet. Wél moet je ze vlot kunnen gebruiken. De som- en verschilformules:

sin(t ± u) = sin(t)cos(u) ± cos(t)sin(u)

cos(t ± u) = cos(t)cos(u) ∓ sin(t)sin(u)   (let op: bij cos draaien de tekens om)

Neem je u = t, dan krijg je de verdubbelingsformules, veruit het vaakst gebruikt:

sin(2t) = 2 sin(t)cos(t)

cos(2t) = cos²(t) − sin²(t) = 2cos²(t) − 1 = 1 − 2sin²(t)

Die drie vormen van cos(2t) zijn allemaal gelijk (via sin²(t) + cos²(t) = 1). Je kiest telkens de vorm die het beste past: heb je alleen cosinussen nodig, pak dan 2cos²(t) − 1; wil je juist naar sinus toe, pak 1 − 2sin²(t).

⚠️ Waar het misgaat

1. Je "verdeelt" de functie over de plus of min. sin(π − x) is níét sin(π) − sin(x), en cos(a + b) is níét cos(a) + cos(b). Een sinus of cosinus mag je nooit zomaar uit elkaar trekken. Dit is dezelfde valkuil als bij de algebrafouten: gebruik de juiste formule, verzin er geen.

2. Het minteken bij cosinus vergeten. Bij π − x blijft de sinus gelijk, maar de cosinus wisselt van teken: cos(π − x) = −cos(x). Precies dat ene minteken kost punten. De cirkel laat zien waarom: het punt spiegelt naar links, dus de x-waarde (de cosinus) klapt om.

3. cos(2x) = 2cos(x) denken. Nee: cos(2x) en sin(2x) hebben hun eigen verdubbelingsformules. Vul maar een getal in om jezelf te betrappen: bij x = 12π is cos(2x) = cos(π) = −1, maar 2cos(x) = 2·0 = 0. Niet gelijk.

📋 Welke formule pak je?

  1. Staat er een dubbele hoek (2x binnen een sin of cos)? Gebruik de verdubbelingsformule. Kies bij cos(2x) de vorm die de rest van de som het beste laat wegvallen.
  2. Staat er een som of verschil van twee hoeken (zoals sin(x + a))? Gebruik de som- of verschilformule van de kaart.
  3. Staat er π − x, π + x, −x of 12π − x? Gebruik de symmetrie- of translatieformule (lees af van de cirkel).
  4. Zie je sin²(x) + cos²(x)? Vervang het door 1. En sin(x)cos(x) is gewoon tan(x).
  5. Controleer met een getal (de invultest): vul bijvoorbeeld x = 14π links en rechts in. Komt hetzelfde eruit, dan klopt je herleiding vrijwel zeker.

Uitgewerkte examenopgave

Herleid tot een zo eenvoudig mogelijke vorm: sin(2x)1 + cos(2x).

Stap 1: dubbele hoeken wegwerken. Er staat overal 2x, dus dit vraagt om de verdubbelingsformules. Voor de teller:

sin(2x) = 2 sin(x)cos(x)

Stap 2: kies de handige vorm van cos(2x). In de noemer staat 1 + cos(2x). Kies daarom de vorm met de +1 erin, zodat de 1 wegvalt: cos(2x) = 2cos²(x) − 1. Dan:

1 + cos(2x) = 1 + 2cos²(x) − 1 = 2cos²(x)

Stap 3: de breuk vereenvoudigen.

sin(2x)1 + cos(2x) = 2 sin(x)cos(x)2cos²(x) = sin(x)cos(x) = tan(x)

🔎 Controle (stap 5)

Vul x = 14π in. Links: sin(12π) gedeeld door 1 + cos(12π) = 11 + 0 = 1. Rechts: tan(14π) = 1. Gelijk. ✓

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen, anders leer je alleen dat je het kunt lézen.

Opgave 1. Vereenvoudig: cos(π − x) + cos(x)

Dit vraagt om een symmetrieformule. Bij π − x wisselt de cosinus van teken:

cos(π − x) = −cos(x)

cos(π − x) + cos(x) = −cos(x) + cos(x) = 0

De twee heffen elkaar precies op. Op de cirkel: de partnerpunten liggen even ver links als rechts van de verticale as, dus hun x-waarden (cosinussen) zijn elkaars tegengestelde.

Opgave 2. Toon aan dat cos(x + 12π) = −sin(x)

Hier staat een som van hoeken binnen de cosinus, dus gebruik de som­formule cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u) met t = x en u = 12π:

cos(x + 12π) = cos(x)cos(12π) − sin(x)sin(12π)

Vul de exacte waarden in: cos(12π) = 0 en sin(12π) = 1:

= cos(x)·0 − sin(x)·1 = −sin(x)  ✓

Dit is precies de translatie die je in de widget ziet: cosinus is de sinus, een kwart cirkel opgeschoven.

Opgave 3 (kies de juiste vorm!). Herleid: 1 − cos(2x)2

Weer een dubbele hoek. Nu staat er 1 − cos(2x), dus kies de vorm van cos(2x) waarmee de 1 wegvalt: cos(2x) = 1 − 2sin²(x). Dan:

1 − cos(2x) = 1 − (1 − 2sin²(x)) = 2sin²(x)

1 − cos(2x)2 = 2sin²(x)2 = sin²(x)

Had je de vorm 2cos²(x) − 1 gekozen, dan bleef er 1 − (2cos²(x) − 1) = 2 − 2cos²(x) staan: ook goed, maar minder mooi. De juiste vorm kiezen scheelt werk.

Deze formules komen ook terug bij het oplossen van vergelijkingen: eerst herleiden, dan oplossen. Zie Goniometrische vergelijkingen oplossen.

Kom je er niet uit?

Weten wélke formule je moet pakken, dat is de hele kunst. In de bijles oefenen we net zo lang tot je het patroon vanzelf ziet. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking