Home › Goniometrie › Voorschrift opstellen

Het voorschrift van een sinusoïde opstellen

Een golvende grafiek ziet er ingewikkeld uit, maar achter elke sinusoïde zitten maar vier getallen. Lees ze één voor één af en het voorschrift schrijft zichzelf.

Wat is een sinusoïde?

Een sinusoïde is een grafiek in de vorm van een golf die zich steeds op dezelfde manier herhaalt. Je komt ze overal tegen: de waterhoogte bij eb en vloed, de temperatuur door het jaar heen, de hoogte van een zitje in een draaiend reuzenrad. Al die golven kun je beschrijven met een formule waar sinus of cosinus in zit.

Een voorschrift is gewoon de formule die bij een grafiek hoort, zoals y = x² het voorschrift van een parabool is. "Het voorschrift opstellen" betekent dus: je krijgt een grafiek (of een verhaaltje met getallen) en jij vindt de formule die daar precies bij past. Het goede nieuws: daar bestaat een vast recept voor, want elke sinusoïde wordt volledig bepaald door maar vier getallen.

De vier variabelen van een sinusoïde

Elke sinusoïde kun je schrijven in de standaardvorm y = a + b·sin(c(x − d)). De letters a, b, c en d zijn de vier getallen die samen de golf vastleggen. Zo lees je ze af uit een grafiek:

• a is het evenwicht. De evenwichtslijn is de horizontale lijn die precies midden tussen het hoogste en het laagste punt van de golf ligt: de golf slingert er evenveel boven als onder. a is de hoogte van die lijn.
• b is de amplitude: de afstand van de evenwichtslijn tot een top. (Of tot een dal, dat is precies even ver.)
• c bepaalt de periode. De periode is de lengte van één volledige golf langs de x-as: loop van een top naar de eerstvolgende top en je hebt precies één periode afgelegd. Let op: c is níét zelf de periode, maar volgt eruit via c = 2πperiode.
• d is de horizontale verschuiving. Een gewone sinus start in de oorsprong: op de evenwichtslijn, op weg omhoog. d vertelt hoe ver dat startpunt naar rechts is geschoven.

Probeer het zelf: schuif aan de vier variabelen en kijk wat er met de grafiek gebeurt. (Weten waar die sinus eigenlijk vandaan komt? Lees De eenheidscirkel & exacte waarden.)

Uitgewerkte examenopgave

In de figuur zie je een sinusoïde. Stel het voorschrift op in de vorm y = a + b·sin(c(x − d)).

Stap 1: het evenwicht. Zoek het hoogste en het laagste punt van de golf. De toppen liggen op hoogte 3 (de bovenste stippellijn, het maximum) en de dalen op hoogte −1 (de onderste stippellijn, het minimum). Het evenwicht ligt daar precies tussenin:

a = 3 + (−1)2 = 1 (de grijze middenlijn in de figuur ligt op hoogte 1)

Stap 2: de amplitude. Vanaf de evenwichtslijn (hoogte 1) is het 2 omhoog naar een top (hoogte 3). Dat is de rode pijl in de figuur:

b = 3 − 1 = 2 (max − a, dus níét de 3 van de top zelf)

Stap 3: de periode. De grafiek gaat stijgend door de evenwichtslijn bij x = 14π en doet dat daarna voor het eerst opnieuw bij x = 114π (de twee groene punten). Eén volledige golf duurt dus π: de oranje pijl. Pas op: die π is de periode, nog niet c. Die reken je uit:

periode = 114π − 14π = π, dus c = 2ππ = 2

Stap 4: de verschuiving. Bij x = 14π gaat de grafiek stijgend door de evenwichtslijn (het eerste groene punt). Daar ligt het startpunt van de golf:

d = 14π

Alles invullen in y = a + b·sin(c(x − d)) geeft het antwoord:

y = 1 + 2 sin(2(x − 14π))

En met cosinus?

Sinus en cosinus zijn precies dezelfde golf; ze starten alleen op een andere plek. Een sinus start op de evenwichtslijn, op weg omhoog. Een cosinus start bovenaan, op een top, want cos(0) = 1. De cosinus loopt daardoor een kwart golf vóór op de sinus. In formulevorm: cos(x) = sin(x + 12π), een van de translatieformules van Formules herleiden. Schuif de grafiek van sin(x) een afstand 12π naar links en je krijgt precies cos(x). Probeer het maar in de widget hierboven: zet sinus om naar cosinus en kijk hoe het groene startpunt naar de top springt terwijl de golfvorm hetzelfde blijft.

Voor het voorschrift verandert er daardoor maar één ding. a, b en c bepaal je exact hetzelfde, alleen kijk je voor d niet naar een stijgende doorgang maar naar een top: d is de x-coördinaat van een top. De figuur hierboven heeft een top in (12π, 3), dus:

y = 1 + 2 cos(2(x − 12π)) (zelfde a, b en c; d wijst nu naar de top)

Twee formules, één grafiek: allebei volledig goed.

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen, anders leer je alleen dat je het kunt lézen.

Opgave 3 (van grafiek naar voorschrift). Hieronder zie je een sinusoïde. Lees max, min, periode en een stijgende doorgang af uit de figuur en stel het voorschrift op.

Heb je het voorschrift staan en moet je daarna uitrekenen wanneer de sinusoïde een bepaalde waarde bereikt? Dat is een goniometrische vergelijking: gebruik het stappenplan van Goniometrische vergelijkingen oplossen.

Sinusoïden als trilling: trillingstijd en frequentie

Een harmonische trilling is gewoon een sinusoïde, maar dan met de tijd op de horizontale as: een massa aan een veer die op en neer wipt, een slinger, of de luchtdruk bij een zuivere toon. Alles wat je hierboven leerde geldt nog steeds; er komen alleen twee woorden bij.

Een massa aan een veer trilt met een frequentie van 2 Hz. De uitwijking gaat van −3 cm tot +3 cm. Op t = 0 is de massa in de evenwichtsstand en beweegt omhoog. Stel een formule op voor de uitwijking u (in cm) als functie van de tijd t (in s).

Stap 1: a en b. De uitwijking slingert tussen −3 en 3, symmetrisch rond 0. Dus het evenwicht a = 0 en de amplitude b = 3.

Stap 2: c uit de frequentie. Eerst de trillingstijd: T = 1f = 12 = 0,5 s. En dan c = 2π·f = 2π·2 = 4π (of net zo goed c = 2πT = 2π0,5 = 4π).

Stap 3: d. Op t = 0 gaat de massa stijgend door het evenwicht, precies zoals een gewone sinus start. Dus d = 0.

Alles invullen in u = a + b·sin(c(t − d)) geeft:

u = 3 sin(4π t)