Home › Examen › Uitwerkingen › vwo wiskunde B 2025, 1e tijdvak

Examen vwo wiskunde B 2025 uitgewerkt (1e tijdvak)

Het centraal examen vwo wiskunde B van woensdag 14 mei 2025, helemaal uitgewerkt. Niet in de korte taal van een correctievoorschrift, maar zoals je het zelf zou kunnen bedenken: wat wordt er gevraagd, wat is het idee, en hoe schrijf je het op.

Het examen bestaat uit 7 opgaven met samen 18 vragen, goed voor 77 punten. Je had er drie uur voor. Voorin zat de formulelijst met de gonioformules; die heb je bij vraag 3 nodig.

Leg de opgaven ernaast. De opgaveteksten zelf staan hier niet: die zijn van de examenmakers. Je vindt ze gratis als PDF op examenblad.nl. Hieronder staat per vraag in een paar woorden wat er gevraagd wordt, met de formules die je nodig hebt en een eigen figuur, zodat je ook zonder de PDF kunt volgen.

🎯 Zo haal je er het meeste uit

1. Eerst zelf. Lees de vraag en het idee, en probeer het dan eerst zelf. De uitwerking staat steeds achter een knop.

2. Loop je vast? Bij elke vraag staat een link naar de pagina waar het onderwerp wordt uitgelegd. Lees die, en probeer het daarna opnieuw.

3. Pas dan de uitwerking. Kijk niet alleen of je antwoord klopt, maar ook of je het net zo volledig hebt opgeschreven. Op het examen krijg je punten voor de stappen, niet alleen voor het eindantwoord.

Wat er in dit examen zit

Vierdegraadsfunctie (vraag 1 en 2, 8 punten): buigpunten en de lijn erdoor. → Extremen & buigpunten
Druppel (vraag 3 tot en met 5, 14 punten): verticale raaklijnen en een omwentelingslichaam. → Bewegende punten en Oppervlakte & inhoud
Cirkels in een cirkel (vraag 6 en 7, 9 punten): rakende cirkels en Pythagoras. → Stellingen & bewijzen
Een wortelfunctie en haar inverse (vraag 8 tot en met 10, 14 punten): inverse, een kortste afstand en een oppervlakte. → Inverse functies en Oppervlakte & inhoud
Op en neer (vraag 11 tot en met 13, 9 punten): een blokje aan een veer. → Sinusoïde en het zwaartepunt
Een raaklijn met twee cirkels (vraag 14 en 15, 9 punten): loodrechte projectie en twee middelpunten. → Lijnen en De cirkel
Logaritmische functies (vraag 16 tot en met 18, 14 punten): afstanden, een limiet en twee grafieken die elkaar raken. → Logaritmen en Limieten

Twee woorden komen steeds terug: exact (geen afgeronde kommagetallen, wortels en π laten staan) en algebraïsch (met een berekening op papier, niet met de rekenmachine iets opzoeken). En zes vragen beginnen met bewijs of laat zien: dan staat het antwoord er al, en gaat het erom dat elke stap uit de vorige volgt. Wat die woorden precies van je vragen, staat op Examenwerkwoorden.

Opgave 1: Vierdegraadsfunctie

De functie is

f(x) = x⁴ − 30x²

De grafiek heeft twee buigpunten, B en C. Een buigpunt is een punt waar de bocht van de grafiek van richting wisselt: van een bocht die naar boven open is (zoals een dal) naar een bocht die naar beneden open is (zoals een berg), of andersom. De lijn door B en C snijdt de grafiek nog in twee andere punten: A en D.

Vraag 1 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat de y-coördinaat van de buigpunten −125 is.

Het idee. In een buigpunt is de tweede afgeleide f''(x) gelijk aan 0, en wisselt hij daar van teken. Dus: twee keer differentiëren, f''(x) = 0 oplossen en de gevonden x invullen in f.

Opfrissen: Extremen, buigpunten & optimaliseren. "Bewijs" betekent dat je elke stap opschrijft, ook de laatste conclusie: zie Examenwerkwoorden.

Bekijk de uitwerking van vraag 1

Twee keer differentiëren.

f'(x) = 4x³ − 60x f''(x) = 12x² − 60

Waar is f''(x) = 0?

12x² − 60 = 0 → x² = 5 → x = √5 of x = −√5

De grafiek van f'' is een parabool die de x-as op die twee plekken snijdt. Daar wisselt f'' dus echt van teken, en het zijn echte buigpunten.

Invullen. Reken met x² = 5, dan is x⁴ = (x²)² = 5² = 25:

f(√5) = 25 − 30 · 5 = 25 − 150 = −125

Bij x = −√5 komt er precies hetzelfde uit, want in f staan alleen even machten. De y-coördinaat van beide buigpunten is dus −125.

Rekenen met x² = 5 in plaats van met √5 scheelt werk: zo hoef je √5 nooit tot de vierde macht te nemen.

Vraag 2 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Bereken exact de lengte van AD.

Het idee. B en C liggen allebei op hoogte −125. De lijn door B en C is dus de horizontale lijn y = −125. A en D zijn de andere snijpunten van die lijn met de grafiek: los f(x) = −125 op. Omdat de lijn horizontaal is, is AD gewoon het verschil in x.

Opfrissen: Vergelijkingen exact oplossen.

Bekijk de uitwerking van vraag 2

x⁴ − 30x² = −125 → x⁴ − 30x² + 125 = 0

Dat lijkt een lastige vierdegraadsvergelijking, maar er staan alleen x⁴ en x² in. Noem x² even u. Dan is x⁴ = u², en staat er een gewone kwadratische vergelijking:

u² − 30u + 125 = 0 → (u − 5)(u − 25) = 0 → u = 5 of u = 25

Terug naar x:

x² = 5 → x = −√5 of x = √5 (dat zijn B en C)

x² = 25 → x = −5 of x = 5 (dat zijn A en D)

AD = 5 − (−5) = 10

Controle: f(5) = 625 − 750 = −125 ✓. Dat x = ±√5 er ook uitkomt, is een goed teken: B en C liggen natuurlijk zelf ook op de lijn.

Opgave 2: Druppel

De kromme K wordt gegeven door de bewegingsvergelijkingen

x(t) = sin(t) · (cos(t) − 1) y(t) = cos(t) met 0 ≤ t ≤ 2π

Zie t als de tijd: op elk tijdstip staat er een punt op de kromme, en terwijl t van 0 tot 2π loopt, tekent dat punt een druppel met de punt naar boven.

Vraag 3 · 6 punten

Wat wordt er gevraagd? In drie punten van K loopt de raaklijn verticaal. Bereken exact de coördinaten van die drie punten.

Het idee. De raaklijn heeft de richting van de snelheidsvector (x'(t), y'(t)). Die wijst recht omhoog of omlaag als het punt even niet naar links of rechts beweegt: x'(t) = 0. Differentieer x(t) met de productregel, maak er met de formulelijst een gonio-vergelijking van, en los die op.

Opfrissen: Bewegende punten (de raaklijn aan de baan), de productregel, Goniometrische vergelijkingen en De formulelijst.

Bekijk de uitwerking van vraag 3

Differentiëren. x(t) is een product van sin(t) en cos(t) − 1. Met de productregel (afgeleide van de eerste maal de tweede, plus de eerste maal de afgeleide van de tweede):

x'(t) = cos(t) · (cos(t) − 1) + sin(t) · (−sin(t)) = cos²(t) − sin²(t) − cos(t)

De formulelijst. cos²(t) − sin²(t) is precies cos(2t); dat staat op de formulelijst. Dus

x'(t) = cos(2t) − cos(t)

Oplossen.

cos(2t) − cos(t) = 0 → cos(2t) = cos(t)

Twee cosinussen zijn gelijk als de hoeken gelijk zijn óf elkaars tegengestelde, telkens op een veelvoud van 2π na. Vergeet die tweede familie niet:

2t = t + k · 2π → t = k · 2π

2t = −t + k · 2π → 3t = k · 2π → t = k · 23π

Op 0 ≤ t ≤ 2π geeft dat t = 0, t = 23π, t = 113π en t = 2π. Maar t = 0 en t = 2π geven hetzelfde punt (daar begint en eindigt de kromme), dus het zijn drie punten.

De punten. Gebruik de exacte waarden van sin en cos:

t = 0: x = 0 · (1 − 1) = 0, y = 1 → (0, 1)

t = 23π: sin = 12√3, cos = −12 → x = 12√3 · (−112) = −34√3, y = −12

t = 113π: sin = −12√3, cos = −12 → x = −12√3 · (−112) = 34√3, y = −12

De drie punten zijn (0, 1), (−34√3, −12) en (34√3, −12).

Bij t = 23π en t = 113π is y'(t) = −sin(t) niet 0, dus daar beweegt het punt echt recht omhoog of omlaag. Bij t = 0 is ook y'(t) gelijk aan 0: het punt staat daar even helemaal stil, in de punt van de druppel. Daar lopen beide kanten van de druppel steil omhoog en sluiten ze aan op de y-as (kijk in de widget), dus ook daar is de raaklijn verticaal: het is de y-as zelf.

Ook goed: schrijf cos(2t) als 2cos²(t) − 1 (ook van de formulelijst). Dan krijg je 2cos²(t) − cos(t) − 1 = 0, oftewel (2cos(t) + 1)(cos(t) − 1) = 0, dus cos(t) = −12 of cos(t) = 1. Dat geeft dezelfde vier waarden van t.

Vraag 4 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat voor de punten van K geldt:

x² = −y⁴ + 2y³ − 2y + 1

Het idee. Hier moet de t verdwijnen: je wilt een verband tussen alleen x en y. Kwadrateer x(t) en schrijf alles om naar cos(t), met de regel sin²(t) + cos²(t) = 1. Omdat y = cos(t), kun je daarna overal cos(t) vervangen door y.

Opfrissen: Parametervoorstellingen (t wegwerken, en de regel sin² + cos² = 1, die níét op de formulelijst staat).

Bekijk de uitwerking van vraag 4

x² = sin²(t) · (cos(t) − 1)²

Vervang sin²(t) door 1 − cos²(t):

x² = (1 − cos²(t)) · (cos(t) − 1)²

Vervang cos(t) door y:

x² = (1 − y²)(y − 1)²

Haakjes wegwerken. Eerst (y − 1)² = y² − 2y + 1, dan elke term met (1 − y²) vermenigvuldigen:

x² = (1 − y²)(y² − 2y + 1) = y² − 2y + 1 − y⁴ + 2y³ − y²

x² = −y⁴ + 2y³ − 2y + 1

Dit geldt voor elke t, dus voor alle punten van K.

Controle met een punt uit vraag 3, (−34√3, −12): links staat 916 · 3 = 2716, rechts −116 − 416 + 1616 + 1616 = 2716 ✓

Vraag 5 · 4 punten

K sluit een vlakdeel in dat symmetrisch is in de y-as. Draai je dat vlakdeel rond de y-as, dan ontstaat een driedimensionale druppel: een omwentelingslichaam.

Wat wordt er gevraagd? Bereken exact de inhoud van dit omwentelingslichaam.

Het idee. Bij wentelen om de x-as snijd je het lichaam in dunne rechtopstaande schijfjes, elk met oppervlakte π · straal². Om de y-as werkt het precies zo, alleen liggen de schijfjes nu plat en tel je ze op van onder naar boven: je integreert naar y in plaats van naar x. De straal van het schijfje op hoogte y is de x van de kromme, dus de oppervlakte is π · x². En x² ken je al uit vraag 4.

Opfrissen: Oppervlakte & inhoud met integralen en Primitiveren.

Bekijk de uitwerking van vraag 5

De grenzen. y = cos(t) loopt van −1 (de onderkant) tot 1 (de punt).

I = π∫1−1 x² dy = π∫1−1 (−y⁴ + 2y³ − 2y + 1) dy

Primitiveren. Elke macht één hoger, en delen door de nieuwe macht:

F(y) = −15y⁵ + 12y⁴ − y² + y

Grenzen invullen.

F(1) = −15 + 12 − 1 + 1 = −210 + 510 = 310

F(−1) = 15 + 12 − 1 − 1 = 210 + 510 − 2010 = −1310

I = π(310 − (−1310)) = π · 1610 = 135π

Waarom niet keer 2 voor de linker- en de rechterhelft? Draai je alleen de rechterhelft rond, dan krijg je al het hele lichaam; de linkerhelft draait door precies dezelfde ruimte. Snelle controle: de termen 2y³ en −2y leveren tussen −1 en 1 samen 0 op (onder y = 0 even veel als erboven, maar met het tegengestelde teken). Wat overblijft is π∫1−1 (1 − y⁴) dy = π(2 − 25) = 135π ✓

Opgave 3: Cirkels in een cirkel

Er zijn vier cirkels:

c₁, de grote, met middelpunt M en straal 3;
c₂ met middelpunt N en straal 2;
c₃ en c₄ met middelpunten P en Q, allebei met straal r.

c₂, c₃ en c₄ liggen binnen c₁ en raken c₁. c₃ en c₄ raken elkaar in het punt S, en ze raken allebei c₂.

Twee cirkels raken elkaar als ze precies één punt gemeen hebben. Daarbij geldt één feit dat je in deze opgave steeds nodig hebt: het raakpunt ligt op de lijn door de twee middelpunten. Daardoor is de afstand tussen de middelpunten de som van de stralen als de cirkels elkaar aan de buitenkant raken (uitwendig), en het verschil als de kleine binnen de grote ligt (inwendig).

Vraag 6 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat MS = √(9 − 6r).

Het idee. Kijk naar driehoek MSP. MP volgt uit het raken van c₃ en c₁, en PS is gewoon de straal r. Heeft de driehoek een rechte hoek bij S, dan geeft Pythagoras de lengte van MS.

Opfrissen: Stellingen & bewijzen (rakende cirkels en de gelijkbenige driehoek) en Rekenen in driehoeken (Pythagoras).

Bekijk de uitwerking van vraag 6

MP. c₃ ligt binnen c₁ en raakt hem, dus de afstand tussen de middelpunten is het verschil van de stralen:

MP = 3 − r

PS. S ligt op c₃, dus PS = r. Net zo is QS = r. Omdat het raakpunt S op de lijn door P en Q ligt, is S precies het midden van PQ.

De rechte hoek bij S. Ook c₄ raakt c₁ aan de binnenkant, dus ook MQ = 3 − r. Driehoek MPQ heeft dus twee even lange zijden: hij is gelijkbenig. In een gelijkbenige driehoek staat de lijn van de top naar het midden van de basis loodrecht op die basis. Dus MS ⊥ PQ (het teken ⊥ betekent "staat loodrecht op"), en driehoek MSP heeft een rechte hoek bij S.

Pythagoras in driehoek MSP:

MS² + PS² = MP² → MS² + r² = (3 − r)² = 9 − 6r + r²

MS² = 9 − 6r → MS = √(9 − 6r)

In de figuur ziet de hoek bij S er recht uit, maar in een bewijs telt alleen wat je kunt beredeneren. Schrijf dus op wáárom hij recht is. (MS is een lengte en dus positief; daarom alleen de positieve wortel.)

Vraag 7 · 6 punten

Wat wordt er gevraagd? Verder is gegeven dat MN = 1. Bereken exact de waarde van r.

Het idee. Doe hetzelfde met driehoek NSP. NP volgt uit het raken van c₃ en c₂ (nu aan de buitenkant, dus de som van de stralen), en NS is MS plus MN. Pythagoras geeft dan een vergelijking met alleen r erin.

Opfrissen: Vergelijkingen exact oplossen (een wortel apart zetten, kwadrateren en daarna controleren).

Bekijk de uitwerking van vraag 7

NP. c₃ en c₂ raken elkaar aan de buitenkant:

NP = r + 2

Ligt N op dezelfde lijn? Ook NQ = r + 2, dus driehoek NPQ is ook gelijkbenig, en ook de lijn van N naar het midden S staat loodrecht op PQ. Er is maar één lijn door S die loodrecht op PQ staat, dus M en N liggen er allebei op. In de figuur ligt M tussen S en N, dus

NS = MS + MN = √(9 − 6r) + 1

Pythagoras in driehoek NSP:

NS² + PS² = NP² → (√(9 − 6r) + 1)² + r² = (r + 2)²

Uitwerken. Met (a + b)² = a² + 2ab + b², waarbij a de wortel is en b = 1:

9 − 6r + 2√(9 − 6r) + 1 + r² = r² + 4r + 4

De r² valt links en rechts weg. Zet de wortel apart:

2√(9 − 6r) = 4r + 4 − 10 + 6r = 10r − 6 → √(9 − 6r) = 5r − 3

Kwadrateren.

9 − 6r = 25r² − 30r + 9 → 25r² − 24r = 0 → r(25r − 24) = 0

r = 0 of r = 2425

Met straal 0 is er geen cirkel, dus r = 2425.

Na kwadrateren altijd controleren, want er kunnen oplossingen bij komen die niet kloppen. Bij r = 2425 is 5r − 3 = 95, en √(9 − 6 · 2425) = √(8125) = 95 ✓. In getallen: r = 0,96 en MS = 1,8.

Opgave 4: Een wortelfunctie en haar inverse

Voor x ≥ 0 zijn gegeven

f(x) = √(12x² − 1) en g(x) = √(2x² + 2)

Bij f bestaat de wortel pas vanaf x = √2: daaronder staat er een negatief getal onder het wortelteken. De lijn k: y = −x + a, met a ≥ √2, snijdt de grafiek van f in P en de grafiek van g in Q.

Vraag 8 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat f en g elkaars inverse zijn.

Het idee. De inverse vind je door x en y te verwisselen en daarna y weer vrij te maken. Doe dat met f, en laat zien dat g eruit komt.

Opfrissen: Samengestelde & inverse functies.

Bekijk de uitwerking van vraag 8

Voor de grafiek van f geldt y = √(12x² − 1). Verwissel x en y:

x = √(12y² − 1)

Kwadrateer en maak y vrij:

x² = 12y² − 1 → 12y² = x² + 1 → y² = 2x² + 2

y = √(2x² + 2) of y = −√(2x² + 2)

Bij een inverse wisselen x en y van rol. De x-waarden van f zijn niet negatief, dus de y-waarden van de inverse ook niet. y = −√(2x² + 2) is altijd negatief en valt dus af. Wat overblijft is y = √(2x² + 2) = g(x), dus f en g zijn elkaars inverse.

Ook goed: laat zien dat g(f(x)) = x. Dat is √(2(12x² − 1) + 2) = √(x² − 2 + 2) = √(x²) = x, omdat x niet negatief is. Schrijf bij de route met verwisselen wél op waarom de min-wortel afvalt, anders is het bewijs niet af.

Vraag 9 · 5 punten

Wat wordt er gevraagd? Voor de lengte van PQ geldt

PQ = 3a√2 − 4√(a² − 1)

Voor één waarde van a is PQ zo klein mogelijk. Bereken die a exact.

Het idee. Zo klein mogelijk betekent: een minimum, dus de afgeleide is 0. Differentieer naar a (de wortel met de kettingregel), stel de afgeleide gelijk aan 0 en los op.

Opfrissen: de kettingregel en Extremen & optimaliseren.

Bekijk de uitwerking van vraag 9

Differentiëren. √2 is gewoon een getal, dus de afgeleide van 3a√2 is 3√2. Schrijf de wortel als macht, √(a² − 1) = (a² − 1)¹², en gebruik de kettingregel:

afgeleide van √(a² − 1) = 12(a² − 1)⁻¹² · 2a = a√(a² − 1)

d(PQ)da = 3√2 − 4a√(a² − 1)

Gelijk aan 0.

3√2 = 4a√(a² − 1) → 4a = 3√2 · √(a² − 1)

Kwadrateer beide kanten (links en rechts staat iets positiefs, dus dat mag zonder risico):

16a² = 9 · 2 · (a² − 1) = 18a² − 18 → 2a² = 18 → a² = 9

a = 3 (a = −3 valt af, want a ≥ √2)

Is het echt een minimum? Bij a = 2 is de afgeleide 3√2 − 8√3 ≈ −0,38: PQ wordt nog kleiner. Bij a = 4 is hij 3√2 − 16√15 ≈ 0,11: PQ wordt weer groter. Eerst dalen, dan stijgen: bij a = 3 zit een minimum. PQ is daar 9√2 − 4√8 = 9√2 − 8√2 = √2.

Probeer het in de widget: bij a = 3 meldt hij het minimum, en P en Q liggen dan op (2, 1) en (1, 2). Het correctievoorschrift noemt ook een andere route: zoek het punt van f waar de helling 1 is, dus waar de raaklijn evenwijdig loopt aan y = x. Dat is P(2, 1), en omdat P op k ligt, is a = 2 + 1 = 3.

Vraag 10 · 6 punten

Wat wordt er gevraagd? Neem a = 17. Dan snijdt k de grafiek van f in (10, 7). V is het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g, de x-as, de y-as en k. Bereken de oppervlakte van V, in twee decimalen.

Het idee. Knip V met verticale lijnen in drie stukken. Links, tot f begint, ligt V tussen g en de x-as. In het midden tussen g en f. En rechts, vanaf waar k de grafiek van g snijdt, tussen k en f. Per stuk een integraal "boven min onder". Er staat niet "exact", dus die integralen mag je rekenmachine uitrekenen.

Opfrissen: Oppervlakte & inhoud met integralen (oppervlakte tussen twee grafieken).

Bekijk de uitwerking van vraag 10

Waar begint f? 12x² − 1 = 0 geeft x² = 2, dus x = √2.

Waar snijdt k de grafiek van g? f en g zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y = x, en k staat loodrecht op die lijn. Het spiegelbeeld van (10, 7) is dus ook een snijpunt: (7, 10). Controle: g(7) = √(98 + 2) = 10 ✓ en −7 + 17 = 10 ✓.

De drie integralen.

O(V) = ∫√20 g(x) dx + ∫7√2 (g(x) − f(x)) dx + ∫107 (−x + 17 − f(x)) dx

Laat elke integraal door je rekenmachine uitrekenen:

O(V) ≈ 2,5425 + 18,9740 + 7,7229 ≈ 29,24

Schrijf op wélke integralen je met de rekenmachine hebt berekend; alleen het getal 29,24 is niet genoeg. Mooie controle met de symmetrie: het vierkant van 0 tot 10 heeft oppervlakte 100. Daar gaan af: het driehoekje rechtsboven, boven k (12 · 3 · 3 = 4,5), het stuk onder f (∫10√2 f(x) dx ≈ 33,13), en het stuk links van g. Dat laatste is het spiegelbeeld van het stuk onder f, dus even groot. 100 − 4,5 − 2 · 33,13 ≈ 29,24 ✓

Opgave 5: Op en neer

Een metalen blokje hangt aan een lange veer, die vastzit aan een plafond op 350 cm hoogte. Het blokje wordt naar beneden getrokken en op t = 0 losgelaten; daarna gaat het op en neer. De opgave rekent met de hoogte in centimeters en t in seconden.

Van elk voorwerp kun je het zwaartepunt bekijken: het punt waarin je het zou kunnen laten balanceren, een soort "midden" van het gewicht. Voor de hoogte van het zwaartepunt van het blokje geldt

Z_blokje(t) = 150 − 100cos(4t)

Het zwaartepunt van de veer zit steeds precies in het midden van de veer.

Vraag 11 · 3 punten

Twee woorden over een trilling als deze. De evenwichtsstand is de hoogte waar het midden van de trilling ligt, precies halverwege het laagste en het hoogste punt. De amplitude is hoe ver de trilling vanaf daar omhoog en omlaag gaat. Bij het blokje is de evenwichtsstand 150 en de amplitude 100.

Wat wordt er gevraagd? Laat met het model van het blokje zien dat voor de hoogte van het zwaartepunt van de veer geldt: de amplitude is 50 en de evenwichtsstand is 250.

Het idee. De veer loopt van het blokje tot het plafond. Het midden ervan ligt dus precies halverwege Z_blokje en 350. Reken uit waar dat midden zit als het blokje onderaan is en als het bovenaan is.

Opfrissen: Sinusoïde: voorschrift opstellen (evenwichtsstand en amplitude aflezen).

Bekijk de uitwerking van vraag 11

Blokje onderaan. Als cos(4t) = 1, is Z_blokje = 150 − 100 = 50. Het midden van de veer zit dan op

50 + 3502 = 200

Blokje bovenaan. Als cos(4t) = −1, is Z_blokje = 150 + 100 = 250. Het midden van de veer zit dan op

250 + 3502 = 300

Conclusie. Het zwaartepunt van de veer gaat op en neer tussen 200 en 300. De evenwichtsstand ligt halverwege, op 200 + 3002 = 250, en de amplitude is 300 − 250 = 50.

In één keer met een formule kan ook: Z_veer = 12(350 + Z_blokje) = 12(500 − 100cos(4t)) = 250 − 50cos(4t). Daarin lees je evenwichtsstand 250 en amplitude 50 zo af.

Vraag 12 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? Tijdens de beweging omhoog is de snelheid van het blokje op twee hoogtes 255 cm per seconde. Bereken die twee hoogtes, in hele centimeters.

Het idee. Snelheid is hoe snel de hoogte verandert: de afgeleide. Stel v(t) = 255 en los t op. Dat gebeurt twee keer: één keer onderweg terwijl het blokje steeds sneller gaat, en één keer als het weer afremt. Vul die twee tijdstippen in Z_blokje in. (De hoogte is in centimeters en de tijd in seconden, dus de snelheid komt in centimeters per seconde: dat past bij de 255.)

Opfrissen: de kettingregel en Goniometrische vergelijkingen.

Bekijk de uitwerking van vraag 12

De snelheid. De afgeleide van cos(4t) is −sin(4t) · 4 (kettingregel), dus

v(t) = −100 · (−sin(4t) · 4) = 400sin(4t)

Welke t's? Omhoog gaat het blokje van t = 0 (onderaan) tot t = 14π (bovenaan). Dan loopt 4t van 0 tot π.

400sin(4t) = 255 → sin(4t) = 0,6375

4t ≈ 0,691 of 4t ≈ π − 0,691 ≈ 2,451

(De tweede oplossing komt van de symmetrie van de sinus: sin(π − u) = sin(u).)

De hoogtes. Vul die waarden van 4t in:

Z = 150 − 100cos(0,691) ≈ 150 − 77,0 ≈ 73 cm

Z = 150 − 100cos(2,451) ≈ 150 + 77,0 ≈ 227 cm

Valt het op? De twee hoogtes liggen even ver onder en boven 150, de evenwichtsstand. Logisch: het blokje versnelt in de onderste helft precies zoals het in de bovenste helft afremt. Rond pas aan het eind af; met afgeronde tussenwaarden kan het laatste cijfer verschuiven.

Vraag 13 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? Voor de veer geldt Z_veer(t) = 250 − 50cos(4t). De veer weegt 600 gram en het blokje 1000 gram. Stel een formule op voor Z_totaal, de hoogte van het zwaartepunt van blokje en veer samen, in de vorm Z_totaal(t) = a + b cos(4t). Licht je werkwijze toe.

Het idee. Het zwaartepunt van twee voorwerpen samen is het gewogen gemiddelde van hun zwaartepunten: het zwaarste voorwerp telt het zwaarst mee. Van de 1600 gram is 1000 gram blokje en 600 gram veer.

Opfrissen: Vectoren (het zwaartepunt als gewogen gemiddelde).

Bekijk de uitwerking van vraag 13

Z_totaal = 1000 · Z_blokje + 600 · Z_veer1600

= 1000(150 − 100cos(4t)) + 600(250 − 50cos(4t))1600

= 150 000 − 100 000cos(4t) + 150 000 − 30 000cos(4t)1600

= 300 000 − 130 000cos(4t)1600

Z_totaal(t) = 187,5 − 81,25cos(4t)

Dus a = 187,5 en b = −81,25.

Klopt dat? 187,5 ligt tussen 150 (blokje) en 250 (veer) in, en dichter bij 150: het blokje is zwaarder en trekt het gemiddelde naar zich toe ✓. Pak je het gewone gemiddelde (zonder de massa's), dan krijg je 200 − 75cos(4t). Dat kost je punten: juist de 600 en 1000 gram zijn hier het punt.

Opgave 6: Een raaklijn met twee cirkels

Gegeven zijn de punten A(−6, −6) en B(−18, −2), en de lijn k met vectorvoorstelling

xy = 020 + t · 1−1

Er zijn twee cirkels die door A en B gaan én k raken: c₁ met middelpunt M₁, die k raakt in R₁, en c₂ met middelpunt M₂, die k raakt in R₂. c₂ is veel groter dan c₁.

Eerst twee begrippen. De middelloodlijn van AB is de lijn door het midden van AB die er loodrecht op staat. Elk punt daarop ligt even ver van A als van B; het middelpunt van een cirkel door A en B ligt dus altijd op de middelloodlijn. Voor elk punt P op de middelloodlijn van AB geldt hier

P(p, 3p + 32)

De loodrechte projectie van P op k is het punt P' op k waar je uitkomt als je vanaf P recht (loodrecht) naar k gaat. PP' is dus de kortste afstand van P tot k.

Vraag 14 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat P' de coördinaten (−p − 6, p + 26) heeft.

Het idee. P' is het snijpunt van k met de lijn door P die loodrecht op k staat. Schrijf k als y = …, stel de loodlijn door P op, en snijd die twee.

Opfrissen: Lijnen (richtingscoëfficiënt en loodrecht: m₁ · m₂ = −1) en Vectoren (van vectorvoorstelling naar vergelijking).

Bekijk de uitwerking van vraag 14

k als vergelijking. k gaat door (0, 20), en bij elke stap gaat hij 1 opzij en 1 omlaag. De richtingscoëfficiënt is dus −1:

k: y = −x + 20

De loodlijn door P. Loodrecht op een lijn met rc −1 staat een lijn met rc 1, want −1 · 1 = −1. Zo'n lijn is y = x + n. Hij gaat door P(p, 3p + 32):

3p + 32 = p + n → n = 2p + 32 → y = x + 2p + 32

Snijden met k.

x + 2p + 32 = −x + 20 → 2x = −2p − 12 → x = −p − 6

y = −(−p − 6) + 20 = p + 6 + 20 = p + 26

Dus P' = (−p − 6, p + 26).

Controle met de figuur: bij p = −14 geeft dit P'(8, 12), en dat ligt op k, want 8 + 12 = 20 ✓. Met de vectorvoorstelling mag het ook: de loodlijn is (p, 3p + 32) + s · (1, 1), en die stel je gelijk aan (0, 20) + t · (1, −1).

Vraag 15 · 5 punten

Wat wordt er gevraagd? Valt P samen met een van de middelpunten, dan is PP' de straal van die cirkel: k raakt de cirkel in P'. Die straal is dan ook gelijk aan PB (en PA). Bereken hiermee exact de coördinaten van M₁ en M₂.

Het idee. Stel PP' = PB. Beide afstanden reken je uit met Pythagoras. Werk met de kwadraten, dan heb je geen last van wortels.

Opfrissen: de afstand tussen twee punten en De cirkel (een raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt).

Bekijk de uitwerking van vraag 15

PP'². Het verschil in x is p − (−p − 6) = 2p + 6, het verschil in y is (3p + 32) − (p + 26) = 2p + 6:

PP'² = (2p + 6)² + (2p + 6)² = 2(4p² + 24p + 36) = 8p² + 48p + 72

PB². Het verschil in x is p − (−18) = p + 18, het verschil in y is (3p + 32) − (−2) = 3p + 34:

PB² = (p + 18)² + (3p + 34)² = p² + 36p + 324 + 9p² + 204p + 1156 = 10p² + 240p + 1480

Gelijkstellen.

8p² + 48p + 72 = 10p² + 240p + 1480 → 0 = 2p² + 192p + 1408

p² + 96p + 704 = 0

Zoek twee getallen die vermenigvuldigd 704 en opgeteld 96 geven: 8 en 88.

(p + 8)(p + 88) = 0 → p = −8 of p = −88

De middelpunten. Vul p in (p, 3p + 32) in:

p = −8: (−8, −24 + 32) = (−8, 8) p = −88: (−88, −264 + 32) = (−88, −232)

c₂ is de grote cirkel, met het middelpunt ver weg. Dus M₁(−8, 8) en M₂(−88, −232).

Controle voor M₁: de afstand tot A in het kwadraat is (−8 + 6)² + (8 + 6)² = 4 + 196 = 200, tot B (−8 + 18)² + (8 + 2)² = 100 + 100 = 200, en PP'² is bij p = −8 ook 200 ✓. De straal van c₁ is √200 = 10√2, die van c₂ is 170√2 ≈ 240. Kwadrateren mocht hier zonder risico: afstanden zijn nooit negatief, dus PP' = PB precies als PP'² = PB².

Opgave 7: Logaritmische functies

De functie is

f(x) = |ln(x + 1)|

De strepen | | betekenen de absolute waarde: staat er een negatief getal tussen, dan haal je het minteken weg. Voor x ≥ 0 is ln(x + 1) niet negatief, dus daar is f(x) gewoon ln(x + 1). Voor −1 < x < 0 is ln(x + 1) wél negatief, en daar is f(x) = −ln(x + 1): dat stuk van de grafiek is omhoog geklapt.

Verder is er voor elke p met 0 < p ≤ 1 de functie

g_p(x) = ln(px)

De grafiek van g_p ligt helemaal onder die van f. De verticale lijn x = a (met a > 0) snijdt de grafiek van f in A en die van g_p in B.

Vraag 16 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Neem p = 1. Er is een waarde van a waarvoor OB = OA + 2, met O de oorsprong. Bereken die a in twee decimalen.

Het idee. OA en OB zijn afstanden van de oorsprong tot een punt: Pythagoras. A ligt op hoogte ln(a + 1) en B op hoogte ln(a). Zet de vergelijking in je rekenmachine; er staat niet "exact" of "algebraïsch".

Opfrissen: Exponentiële & logaritmische functies en de afstand tussen twee punten.

Bekijk de uitwerking van vraag 16

Met A(a, ln(a + 1)) en B(a, ln(a)):

OA = √(a² + (ln(a + 1))²) OB = √(a² + (ln(a))²)

√(a² + (ln(a))²) = √(a² + (ln(a + 1))²) + 2

Voer de linkerkant in als y1 en de rechterkant als y2 (met x in plaats van a), en laat het snijpunt berekenen. Dat geeft

a ≈ 0,12

Logisch dat a zo klein is: OB moet 2 langer zijn dan OA, en dat kan alleen als B ver onder de x-as ligt. ln(a) is pas erg negatief als a dicht bij 0 zit. Schrijf erbij dat je het snijpunt met de rekenmachine hebt bepaald. En let op de haakjes: (ln(a))² is iets anders dan ln(a²).

Vraag 17 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Voor één waarde van p geldt: als a onbegrensd groter wordt, nadert de afstand AB tot 1. Bereken die p exact.

Het idee. AB is het verschil in hoogte, ln(a + 1) − ln(pa). Met de rekenregel ln(u) − ln(v) = ln(uv) wordt dat één logaritme van een breuk. Kijk dan wat die breuk doet als a heel groot wordt.

Opfrissen: de rekenregels voor logaritmen en Asymptoten & limieten.

Bekijk de uitwerking van vraag 17

A ligt boven B, en voor a > 0 is f(a) = ln(a + 1). Dus

AB = ln(a + 1) − ln(pa) = ln(a + 1pa)

Splits de breuk, zodat je ziet wat er gebeurt als a groot wordt:

a + 1pa = 1p · a + 1a = 1p · (1 + 1a)

Als a onbegrensd groter wordt, gaat 1a naar 0. De breuk nadert dan 1p, en AB nadert ln(1p).

ln(1p) = 1 → 1p = e → p = 1e

Controle: 1e ≈ 0,37 ligt tussen 0 en 1 ✓. Laat 1e zo staan: dat is het exacte antwoord.

Vraag 18 · 6 punten

Twee grafieken raken elkaar in een punt als ze daar door hetzelfde punt gaan én daar dezelfde helling hebben.

Wat wordt er gevraagd? Voor x < 0 is gegeven

h_q(x) = 12ln(−x) + q

Voor één waarde van q raakt de grafiek van h_q die van f links van de y-as. Bereken die q algebraïsch, in twee decimalen.

Het idee. Twee voorwaarden: dezelfde helling en dezelfde hoogte. Links van de y-as is f(x) = −ln(x + 1). Stel eerst de afgeleiden gelijk; dat geeft de x van het raakpunt. Stel daarna de functiewaarden gelijk; dat geeft q.

Opfrissen: de afgeleide van ln en de kettingregel en de absolute waarde.

Bekijk de uitwerking van vraag 18

De hellingen. De afgeleide van ln(−x) is 1−x · −1 = 1x (kettingregel: de afgeleide van −x is −1). Dus

h_q'(x) = 12x f'(x) = −1x + 1 (links van de y-as)

Gelijke helling.

12x = −1x + 1 → x + 1 = −2x → 3x = −1 → x = −13

Dat ligt inderdaad links van de y-as (en rechts van −1, waar f nog bestaat) ✓.

Gelijke hoogte in x = −13:

12ln(13) + q = −ln(23)

q = −ln(23) − 12ln(13) ≈ 0,405 + 0,549 ≈ 0,95

Controle: in x = −13 is de helling van allebei −112 ✓. "Algebraïsch" betekent dat je de afgeleiden echt opschrijft en de vergelijkingen zelf oplost; alleen het eindantwoord reken je met de rekenmachine uit.

Wat dit examen je leert

Een paar dingen die in dit examen steeds terugkwamen, en die je op elk examen punten opleveren:

Neem elke oplossingsfamilie mee. In vraag 3 gaf cos(2t) = cos(t) twee families. Met alleen de eerste mis je twee van de drie punten.
Na kwadrateren controleren. In vraag 7 viel r = 0 af, in vraag 8 de min-wortel en in vraag 9 a = −3. Zeg er steeds bij wáárom.
Symmetrie scheelt werk. f in opgave 1 is symmetrisch in de y-as, bij de druppel vallen de oneven termen weg, in opgave 4 is (7, 10) het spiegelbeeld van (10, 7), en in vraag 12 liggen de twee hoogtes even ver onder en boven 150.
In een bewijs telt wat je beredeneert, niet wat je ziet. De rechte hoek bij S in vraag 6 zie je in de figuur, maar je moet uitleggen waarom hij er is.
Schrijf op wat je rekenmachine doet. Bij vraag 10 en 16 mocht de rekenmachine het werk doen, maar alleen een eindgetal opschrijven is niet genoeg.

Wil je de rest van je voorbereiding plannen? Het leerschema zet alle onderwerpen in een week-voor-week-planning, met hele examens zoals dit in de laatste week.

Hetzelfde examen, maar dan het andere tijdvak: vwo wiskunde B 2025, 2e tijdvak uitgewerkt. Of een ander jaar: vwo wiskunde B 2026, 1e tijdvak en 2e tijdvak.

Liep je bij een paar vragen vast?

Dat is precies de informatie die je nu nodig hebt: het laat zien welke onderwerpen nog niet zitten. In een kennismaking kijken we samen naar waar het misging, en maken we een plan voor de tijd die je nog hebt. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking