Home › Examen › Uitwerkingen › vwo wiskunde B 2025, 2e tijdvak
Examen vwo wiskunde B 2025 uitgewerkt (2e tijdvak)
Het centraal examen vwo wiskunde B van donderdag 19 juni 2025, helemaal uitgewerkt. Niet in de korte taal van een correctievoorschrift, maar zoals je het zelf zou kunnen bedenken: wat wordt er gevraagd, wat is het idee, en hoe schrijf je het op.
Het examen bestaat uit 7 opgaven met samen 18 vragen, goed voor 77 punten. Je had er drie uur voor. Voorin zat de formulelijst met de gonioformules, maar bij dit examen heb je die eigenlijk niet nodig. Bij vraag 4 hoort een uitwerkbijlage met een grote tekening.
Leg de opgaven ernaast. De opgaveteksten zelf staan hier niet: die zijn van de examenmakers. Je vindt ze gratis als PDF op examenblad.nl, en de uitwerkbijlage ook. Hieronder staat per vraag in een paar woorden wat er gevraagd wordt, met de formules die je nodig hebt en een eigen figuur, zodat je ook zonder de PDF kunt volgen.
🎯 Zo haal je er het meeste uit
1. Eerst zelf. Lees de vraag en het idee, en probeer het dan eerst zelf. De uitwerking staat steeds achter een knop.
2. Loop je vast? Bij elke vraag staat een link naar de pagina waar het onderwerp wordt uitgelegd. Lees die, en probeer het daarna opnieuw.
3. Pas dan de uitwerking. Kijk niet alleen of je antwoord klopt, maar ook of je het net zo volledig hebt opgeschreven. Op het examen krijg je punten voor de stappen, niet alleen voor het eindantwoord.
Wat er in dit examen zit
- Beweging over twee lijnen (vraag 1 tot en met 3, 11 punten): twee bewegende punten, hun snelheid en de helling van PQ. → Bewegende punten en Lijnen
- Opbrengst van zonnepanelen (vraag 4 tot en met 6, 14 punten): de sinusregel, een stelsel met cosinussen en een integraal. → Sinusregel en Primitiveren
- Vierkant en driehoek (vraag 7 tot en met 10, 16 punten): een vierkant tegen een ln-grafiek, een raaklijn en een grootste oppervlakte. → Logaritmen en Optimaliseren
- Twee lijnstukken met eindpunt P (vraag 11 en 12, 9 punten): even lange lijnstukken en gedraaide vectoren. → Vectoren
- Wortel en sinus (vraag 13, 7 punten): snijpunten en hellingen van √x en √(x + sin(x)). → De kettingregel
- Drie keer over de lijn (vraag 14 en 15, 10 punten): een functie met absolute-waardestrepen en een knik. → Absolute waarde en Ongelijkheden
- Vlakdeel en rakende cirkel (vraag 16 tot en met 18, 10 punten): een omwentelingslichaam, scheve asymptoten en een cirkel ertussen. → Asymptoten en Inhoud
Twee woorden komen steeds terug: exact (geen afgeronde kommagetallen, wortels en π laten staan) en algebraïsch (met een berekening op papier, niet met de rekenmachine iets opzoeken). En zes vragen beginnen met bewijs: dan staat het antwoord er al, en gaat het erom dat elke stap uit de vorige volgt. Wat die woorden precies van je vragen, staat op Examenwerkwoorden.
Opgave 1: Beweging over twee lijnen
Twee punten bewegen tegelijk, voor t ≥ 0, met t de tijd:
P: xP(t) = 8t² yP(t) = 4 − 4t²
Q: xQ(t) = 1 + 3t yQ(t) = 4t
Allebei de banen zijn een stuk van een rechte lijn. P begint op (0, 4) en loopt schuin naar rechtsonder, Q begint op (1, 0) en loopt schuin naar rechtsboven.
Vraag 1 · 3 punten
Wat wordt er gevraagd? Op één moment ligt P onder de x-as en Q erboven, allebei even ver van de x-as. Bereken exact de y-coördinaat van P op dat moment.
Het idee. De afstand tot de x-as is de hoogte zonder minteken. Q ligt boven de as, dus zijn afstand is gewoon 4t. P ligt eronder, dus zijn afstand is −yP = 4t² − 4. Zet die twee gelijk en los op.
Opfrissen: Vergelijkingen exact oplossen (de abc-formule).
Bekijk de uitwerking van vraag 1
4t² − 4 = 4t → t² − t − 1 = 0
Met de abc-formule (a = 1, b = −1, c = −1):
t = 1 ± √52
De min-oplossing is negatief en valt af, want t ≥ 0. Dus t = 12 + 12√5 (ongeveer 1,62).
De y-coördinaat van P. Handig: uit de vergelijking volgt t² = t + 1. Dan hoef je geen wortel te kwadrateren:
yP = 4 − 4t² = 4 − 4(t + 1) = −4t = −2 − 2√5
Controle: yQ = 4t = 2 + 2√5. Dat is precies het tegengestelde van yP, dus P en Q liggen inderdaad even ver van de x-as, aan weerskanten ✓. Kwadrateer je liever gewoon t = 12 + 12√5, dan kom je ook uit op t² = 112 + 12√5 en yP = −2 − 2√5.
Vraag 2 · 4 punten
De snelheid van een bewegend punt is de lengte van zijn snelheidsvector (x'(t), y'(t)): hoeveel het punt per tijdseenheid opschiet, in welke richting dan ook.
Wat wordt er gevraagd? Q beweegt met constante snelheid, P niet. Bewijs dat op t = √5 de snelheid van P acht keer zo groot is als die van Q.
Het idee. Differentieer x en y van allebei de punten, en neem met Pythagoras de lengte van de snelheidsvector: v(t) = √(x'(t)² + y'(t)²).
Opfrissen: Bewegende punten: baan, snelheid & versnelling.
Bekijk de uitwerking van vraag 2
Snelheid van P.
xP'(t) = 16t yP'(t) = −8t
vP(t) = √((16t)² + (−8t)²) = √(256t² + 64t²) = √(320t²)
Snelheid van Q. Hier staan geen t's meer in de afgeleiden, dus de snelheid is constant:
xQ'(t) = 3 yQ'(t) = 4 → vQ = √(3² + 4²) = √25 = 5
Op t = √5. Dan is t² = 5:
vP(√5) = √(320 · 5) = √1600 = 40 = 8 · 5
De snelheid van P is op t = √5 dus 40, en dat is acht keer de snelheid 5 van Q.
Vergeet het minteken van yP'(t) = −8t niet; na het kwadrateren maakt het niet meer uit, maar schrijf het wel goed op. En sluit een bewijs altijd af met de zin die je moest bewijzen.
Vraag 3 · 4 punten
De helling van een lijnstuk is hoeveel het stijgt per stap naar rechts: het verschil in y gedeeld door het verschil in x.
Wat wordt er gevraagd? Op één moment is de helling van PQ gelijk aan 43. Bereken exact de coördinaten van P op dat moment.
Het idee. Schrijf de helling van PQ op als breuk met t erin, zet hem gelijk aan 43 en los op. Je zult zien dat je t zelf niet eens nodig hebt: alleen t².
Opfrissen: Lijnen: vergelijking, richtingscoëfficiënt & loodrecht.
Bekijk de uitwerking van vraag 3
De helling van PQ.
helling = yQ − yPxQ − xP = 4t − (4 − 4t²)1 + 3t − 8t² = 4t² + 4t − 41 + 3t − 8t²
Gelijk aan 43. Kruislings vermenigvuldigen:
3(4t² + 4t − 4) = 4(1 + 3t − 8t²)
12t² + 12t − 12 = 4 + 12t − 32t²
De 12t valt links en rechts tegen elkaar weg:
44t² = 16 → t² = 1644 = 411
De coördinaten van P. In xP en yP staat alleen t², dus vul t² = 411 meteen in:
xP = 8 · 411 = 3211 yP = 4 − 4 · 411 = 4411 − 1611 = 2811
P is dan het punt (3211, 2811).
Slimmere route: Q schuift elke tijdseenheid 3 naar rechts en 4 omhoog, dus de baan van Q heeft zelf al helling 43. Als PQ dezelfde helling heeft, ligt P dus óp de baan van Q. Die baan is y = 43x − 43, en de baan van P is y = 4 − 12x (want yP = 4 − 12 · 8t²). Het snijpunt van die twee lijnen is weer (3211, 2811).
Opgave 2: Opbrengst van zonnepanelen
Op een plat dak komen twee rijen zonnepanelen achter elkaar, schuin naar het zuiden gericht. De tekening hieronder is een zijaanzicht.
Vraag 4 · 5 punten
In een driehoek zonder rechte hoek gebruik je de sinusregel: in elke driehoek is een zijde gedeeld door de sinus van de hoek er recht tegenover, voor alle drie de zijden hetzelfde getal.
Wat wordt er gevraagd? De leverancier kiest b zo dat de zonnestraal door Q precies in R uitkomt; dan valt de achterste rij net niet in de schaduw van de voorste. Bereken algebraïsch die b, in hele centimeters.
Het idee. De 172 cm bestaat uit twee stukken: PR en het stuk RS' onder het achterste paneel. RS' haal je uit de rechthoekige driehoek RSS'. PR haal je uit driehoek PQR, waarvan je de drie hoeken kent: daar past de sinusregel. Allebei worden een getal keer b, en samen moeten ze 172 zijn.
Opfrissen: Pythagoras, sinusregel & cosinusregel (ook SOS CAS TOA).
Bekijk de uitwerking van vraag 4
De hoeken van driehoek PQR. Bij P is de hoek 30° (het paneel met het dak), bij R is hij 28° (de zonnestraal met het dak). De hoeken van een driehoek zijn samen 180°, dus bij Q is de hoek 180° − 30° − 28° = 122°.
Sinusregel. PQ = b ligt tegenover de hoek bij R, en PR ligt tegenover de hoek bij Q:
bsin(28°) = PRsin(122°) → PR = sin(122°)sin(28°) · b ≈ 1,806 · b
Het stuk onder het achterste paneel. Driehoek RSS' heeft een rechte hoek bij S'. RS = b is de schuine zijde, en RS' ligt aan de hoek van 30°: CAS.
RS' = b · cos(30°) ≈ 0,866 · b
Samen 172.
1,806 · b + 0,866 · b = 172 → 2,672 · b = 172 → b ≈ 64,4
De leverancier rekent met panelen van 64 cm.
Reken met de onafgeronde getallen uit je rekenmachine en rond pas aan het eind af. "Algebraïsch" betekent hier: zelf de vergelijking opstellen en oplossen, niet met de rekenmachine een snijpunt zoeken. Je mag ook zonder sinusregel: met Q' het punt recht onder Q is QQ' = b · sin(30°), PQ' = b · cos(30°) en Q'R = QQ'tan(28°). Dan wordt het PQ' + Q'R + RS' = 172, met hetzelfde antwoord.
Het vermogen dat de panelen leveren (in kW) verandert over de dag. De opgave rekent met t de tijd in uren, met t = 7 om 7.00 uur. Voor dit dak geldt een formule van de vorm
PA = p · cos(qt) + sin(2qt) met 0 < q < 0,4
Vraag 5 · 4 punten
Wat wordt er gevraagd? De grafiek gaat door (9; 1,0) en (18; 2,9). Bereken daarmee p en q, in drie decimalen.
Het idee. Twee punten invullen geeft twee vergelijkingen met twee onbekenden. Maak in allebei p vrij, zet de twee uitkomsten gelijk, en je houdt één vergelijking met alleen q over. Die lost je rekenmachine op, want er staat niet "exact" of "algebraïsch".
Opfrissen: Vergelijkingen oplossen (een stelsel van twee vergelijkingen).
Bekijk de uitwerking van vraag 5
Invullen. Bij t = 9 is 2qt = 18q, en bij t = 18 is 2qt = 36q:
1,0 = p · cos(9q) + sin(18q)
2,9 = p · cos(18q) + sin(36q)
Maak in allebei p vrij. Haal de sinus naar links en deel door de cosinus:
p = 1,0 − sin(18q)cos(9q) en p = 2,9 − sin(36q)cos(18q)
Gelijkstellen en oplossen. Voer in je rekenmachine de twee rechterkanten in als functies van q, en zoek het snijpunt met 0 < q < 0,4:
1,0 − sin(18q)cos(9q) = 2,9 − sin(36q)cos(18q) → q ≈ 0,231
Vul de onafgeronde q in een van de twee formules voor p in:
p ≈ −3,804
Twee valkuilen. Reken p uit met de onafgeronde q uit je rekenmachine; met q = 0,231 krijg je −3,802, en dat is in drie decimalen net fout. En schrik niet van de min: −3,804 · cos(0,231t) is het grootst als cos(0,231t) = −1, rond t ≈ 13,6. Zo komt de top van de grafiek 's middags te liggen, zoals bij zonnepanelen hoort. Schrijf bij het oplossen op wat je in je rekenmachine hebt ingevoerd.
Bij de buren op 10B wordt het vermogen (in kW) benaderd met
PB = −4,8 · cos(0,23t)
met t weer in uren en t = 7 om 7.00 uur. De energie die de panelen tussen twee tijdstippen leveren, is de oppervlakte onder de grafiek van het vermogen: de integraal van PB. Omdat het vermogen in kW is en de tijd in uren, komt de energie in kWh (kilowatt maal uur).
Vraag 6 · 5 punten
Wat wordt er gevraagd? Om 11.00 uur gaat een elektrische auto aan de lader. De accu kan 72 kWh bevatten en is op dat moment half vol. Hij wordt alleen met de zonnestroom van de panelen geladen. Bereken met primitiveren hoeveel minuten het duurt tot de accu driekwart vol is, als geheel getal.
Het idee. Van half naar driekwart vol is een kwart van 72, dus 18 kWh. Je zoekt dus de eindtijd t₂ waarvoor de integraal van 11 tot t₂ precies 18 is. Primitiveer PB, vul de grenzen in en los de vergelijking op.
Opfrissen: Primitiveren & de bepaalde integraal en Goniometrische vergelijkingen.
Bekijk de uitwerking van vraag 6
De vergelijking.
∫t₂11 −4,8 · cos(0,23t) dt = 18
Primitiveren. Een primitieve van cos(0,23t) is 10,23 · sin(0,23t): differentieer je die, dan komt er door de kettingregel juist een factor 0,23 bij. Dus
F(t) = −4,80,23 · sin(0,23t) ≈ −20,87 · sin(0,23t)
Grenzen invullen. Bij de ondergrens is 0,23 · 11 = 2,53:
F(t₂) − F(11) = −20,87 · sin(0,23t₂) + 20,87 · sin(2,53) = 18
Oplossen. Deel door −20,87 en haal sin(2,53) naar rechts:
sin(0,23t₂) = sin(2,53) − 1820,87 ≈ 0,574 − 0,863 = −0,288
De sinus is negatief, en voor een tijdstip na 11.00 uur ligt 0,23t₂ tussen 2,53 en 4,7. Daar hoort de oplossing in het derde kwart van de eenheidscirkel bij: π plus een stukje.
0,23t₂ ≈ π + 0,2925 ≈ 3,434 → t₂ ≈ 14,93
Omrekenen. Het laden duurt 14,93 − 11 = 3,93 uur, en dat is 3,93 · 60 ≈ 236 minuten (3 uur en 56 minuten).
Je mag de laatste vergelijking ook met je rekenmachine oplossen; "met behulp van primitiveren" gaat over de stap ervoor: de primitieve moet je zelf opschrijven. Reken door met onafgeronde getallen. Met afgeronde tussenwaarden kun je op 235 of 237 minuten uitkomen.
Opgave 3: Vierkant en driehoek
De functie is
f(x) = ln(3x)
Vierkant PQRS heeft zijden die horizontaal en verticaal lopen. De hoekpunten P en R, die schuin tegenover elkaar liggen, liggen op de grafiek van f, en de x-coördinaat van R is drie keer die van P.
Vraag 7 · 4 punten
Wat wordt er gevraagd? Bereken algebraïsch de coördinaten van P, in twee decimalen.
Het idee. Noem de x-coördinaat van P gewoon p. Dan ligt R bij 3p. Breedte en hoogte van het vierkant zijn gelijk; met de rekenregel voor het verschil van twee logaritmen valt p uit de hoogte weg.
Opfrissen: Exponentiële & logaritmische functies (het theorieblok met de rekenregels).
Bekijk de uitwerking van vraag 7
P = (p, ln(3p)) R = (3p, ln(9p))
Breedte. 3p − p = 2p
Hoogte. Een verschil van logaritmen is de logaritme van het quotiënt:
ln(9p) − ln(3p) = ln(9p3p) = ln(3)
Gelijk.
2p = ln(3) → p = 12ln(3) ≈ 0,549
yP = ln(3 · 12ln(3)) ≈ ln(1,648) ≈ 0,4995
P is ongeveer (0,55; 0,50).
Bijzonder: de hoogte is ln(3), welke p je ook kiest. Daardoor ligt de zijde van het vierkant meteen vast. Rond yP af met de onafgeronde p; 0,4995 wordt 0,50.
Nu een lijn y = a. Die snijdt de y-as in A en de grafiek van f in B. De raaklijn aan de grafiek in B snijdt de y-as in C. Vanuit A trek je een lijn loodrecht op de raaklijn; die raakt de raaklijn in D. Zo ontstaat driehoek ACD, met een rechte hoek bij D.
Vraag 8 · 4 punten
Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat AC voor elke waarde van a lengte 1 heeft.
Het idee. Reken alles uit met de letter a erin. Zoek eerst de x van B, dan de helling van de raaklijn in B, dan waar die raaklijn de y-as snijdt. Als C op hoogte a − 1 uitkomt, ben je klaar.
Opfrissen: De afgeleide: helling & raaklijn en de afgeleide van ln.
Bekijk de uitwerking van vraag 8
De x van B.
ln(3x) = a → 3x = eᵃ → xB = 13eᵃ
De helling in B. Met de kettingregel is de afgeleide van ln(3x) gelijk aan 13x · 3 = 1x. In B:
f'(xB) = 113eᵃ = 3eᵃ
Waar snijdt de raaklijn de y-as? Loop vanuit B naar links tot x = 0. Dat is een stap van 13eᵃ. Per stap naar links daalt de raaklijn met de helling, dus in totaal daalt hij
3eᵃ · 13eᵃ = 1
C ligt dus op hoogte a − 1, en A op hoogte a. Dan is AC = a − (a − 1) = 1, voor elke waarde van a.
Ook goed, met de formule van de raaklijn: y = a + 3eᵃ(x − 13eᵃ), en x = 0 invullen geeft y = a − 1. Of nog korter: de helling is ACAB en ook 1xB = 1AB, dus AC = 1. Het "voor elke waarde van a" is precies waarom je met de letter a moet rekenen: één voorbeeld met een getal bewijst niets.
Vraag 9 · 3 punten
Wat wordt er gevraagd? Noem de lengte van CD gelijk aan L. Bewijs dat voor de oppervlakte van driehoek ACD geldt:
Opp(ACD) = 12√(L² − L⁴)
Het idee. De rechte hoek zit bij D, dus AC is de schuine zijde, en die is 1 (vraag 8). Met Pythagoras vind je de andere rechthoekszijde AD. Een rechthoekige driehoek heeft oppervlakte "half maal de twee rechthoekszijden".
Opfrissen: Pythagoras.
Bekijk de uitwerking van vraag 9
AD² + L² = 1² → AD = √(1 − L²)
Opp(ACD) = 12 · CD · AD = 12 · L · √(1 − L²)
L is een lengte en dus positief, zodat L = √(L²). Breng L onder de wortel:
12 · √(L²) · √(1 − L²) = 12√(L²(1 − L²)) = 12√(L² − L⁴)
Het zinnetje "L is positief" hoort erbij: √(L²) = L klopt alleen als L niet negatief is.
Vraag 10 · 5 punten
Wat wordt er gevraagd? Als a verandert, verandert L, en daarmee de oppervlakte. Bereken exact de grootste oppervlakte die driehoek ACD kan hebben.
Het idee. Een wortel is groter als wat eronder staat groter is. Je zoekt dus het maximum van L² − L⁴: afgeleide nul stellen.
Opfrissen: Extremen & optimaliseren.
Bekijk de uitwerking van vraag 10
ddL(L² − L⁴) = 2L − 4L³ = 2L(1 − 2L²)
2L(1 − 2L²) = 0 → L = 0 of L² = 12
L = 0 is geen driehoek, dus L² = 12. Is dat een maximum? L² − L⁴ is 0 bij L = 0 en bij L = 1, en ertussen positief (probeer L = 0,5: 0,25 − 0,0625 > 0). Eerst stijgen, dan dalen: ja, een maximum.
Opp = 12√(12 − 14) = 12√(14) = 12 · 12 = 14
De grootste oppervlakte is 14.
Je mag ook de hele oppervlakte differentiëren, met de kettingregel. Dat geeft 2L − 4L³4√(L² − L⁴), en die is 0 als de teller 0 is: hetzelfde. Controle met de meetkunde: bij L² = 12 is ook AD² = 12, dus de driehoek is een half vierkant, met rechthoekszijden 12√2, en de oppervlakte is 12 · 12√2 · 12√2 = 14 ✓.
Opgave 4: Twee lijnstukken met eindpunt P
Gegeven zijn de punten A(5, 4) en B(8, 5), en een punt P(p, q) dat niet samenvalt met A of B. Van P naar A en van P naar B loopt een lijnstuk.
Vraag 11 · 3 punten
Wat wordt er gevraagd? P ligt op de x-as en AP en BP zijn even lang. Bereken exact de x-coördinaat van P.
Het idee. Op de x-as is q = 0. De lengte van een lijnstuk vind je met Pythagoras: het verschil in x in het kwadraat plus het verschil in y in het kwadraat, en daar de wortel van. Twee lengtes zijn gelijk als hun kwadraten gelijk zijn, dus je hoeft de wortels niet eens op te schrijven.
Opfrissen: Lijnen (afstand tussen twee punten) en de middelloodlijn.
Bekijk de uitwerking van vraag 11
AP² = BP² → (p − 5)² + (0 − 4)² = (p − 8)² + (0 − 5)²
p² − 10p + 25 + 16 = p² − 16p + 64 + 25
p² − 10p + 41 = p² − 16p + 89
De p² valt links en rechts tegen elkaar weg:
6p = 48 → p = 8
De x-coördinaat van P is 8.
Controle: P = (8, 0) ligt recht onder B, op afstand 5. En AP = √(3² + 4²) = √25 = 5 ✓. Ook goed: stel de vergelijking op van de middelloodlijn van AB, y = −3x + 24, en snijd die met de x-as.
Een vector een kwartslag draaien. Draai je de vector (a, b) 90° tegen de klok in, dan wordt hij (−b, a): de getallen wisselen van plek en het eerste krijgt een min. Draai je hem 90° met de klok mee, dan wordt hij (b, −a). Voorbeeld: (3, 1) wijst naar rechts en een beetje omhoog; tegen de klok in gedraaid wordt het (−1, 3), dat naar boven en een beetje naar links wijst. Even lang (√10) en loodrecht, want het inproduct is 3 · −1 + 1 · 3 = 0.
In de opgave draai je vector AP tegen de klok in om A; zo krijg je vector AC. En je draait vector BP met de klok mee om B; zo krijg je vector BD. M is het midden van CD.
Vraag 12 · 6 punten
Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat de coördinaten van M niet afhangen van waar P ligt.
Het idee. Schrijf alle vectoren uit met de letters p en q erin, draai ze met de regel hierboven, en tel ze op bij A en B om C en D te vinden. Het midden van CD is het gemiddelde van C en D. Als daarin geen p en q meer staan, ben je klaar.
Opfrissen: Vectoren & het inproduct (optellen, en het midden van een lijnstuk).
Bekijk de uitwerking van vraag 12
De vectoren vanuit A en B naar P. Eindpunt min beginpunt:
AP = (p − 5, q − 4) BP = (p − 8, q − 5)
Draaien. AP tegen de klok in: wisselen, en het eerste getal krijgt een min. BP met de klok mee: wisselen, en het tweede getal krijgt een min.
AC = (−(q − 4), p − 5) = (4 − q, p − 5)
BD = (q − 5, −(p − 8)) = (q − 5, 8 − p)
De punten C en D. Begin in A of B en loop de vector af:
C = (5 + 4 − q, 4 + p − 5) = (9 − q, p − 1)
D = (8 + q − 5, 5 + 8 − p) = (3 + q, 13 − p)
Het midden. Tel op en deel door 2:
M = (9 − q + 3 + q2, p − 1 + 13 − p2) = (122, 122) = (6, 6)
In M staan geen p en q meer: M is altijd het punt (6, 6), waar P ook ligt.
Let op de haakjes bij het draaien: −(q − 4) is 4 − q, niet −q − 4. Volgens het correctievoorschrift kost het je het laatste punt als er in je eindantwoord voor M nog een p of q staat: dan heb je het niet bewezen. Controle met de figuur: voor P = (7, 1) geeft de formule C = (8, 6) en D = (4, 6), met midden (6, 6) ✓.
Opgave 5: Wortel en sinus
De functies zijn
f(x) = √x en g(x) = √(x + sin(x))
De grafieken beginnen allebei in de oorsprong O, en snijden elkaar daarna steeds opnieuw: in S₁, S₂, S₃, …. De grafiek van g slingert om die van f heen.
Vraag 13 · 7 punten
Wat wordt er gevraagd? In S₂ is de helling van g twee keer die van f. Bewijs dat dat geldt in elk snijpunt Sn met een even nummer n.
Het idee. Zoek eerst waar de snijpunten liggen: gelijkstellen geeft sin(x) = 0, dus veelvouden van π. Differentieer dan allebei de functies (g met de kettingregel) en vul de x van een even snijpunt in. Daar is sin(x) = 0 en cos(x) = 1, en dan valt alles op zijn plek.
Opfrissen: De kettingregel en De eenheidscirkel (waar sin 0 is en cos 1).
Bekijk de uitwerking van vraag 13
Waar liggen de snijpunten?
√x = √(x + sin(x)) → x = x + sin(x) → sin(x) = 0
x = k · π (k = 0, 1, 2, 3, …)
k = 0 is de oorsprong, k = 1 is S₁, k = 2 is S₂, enzovoort: Sn ligt bij x = nπ.
De afgeleiden. f schrijf je als x12. Bij g is x + sin(x) de binnenste functie, met afgeleide 1 + cos(x):
f'(x) = 12√x g'(x) = 12√(x + sin(x)) · (1 + cos(x)) = 1 + cos(x)2√(x + sin(x))
Invullen bij een even n. Bij x = nπ met n even ben je een heel aantal rondjes om de eenheidscirkel gegaan: sin(nπ) = 0 en cos(nπ) = 1.
g'(nπ) = 1 + 12√(nπ + 0) = 22√(nπ) = 2 · 12√(nπ) = 2 · f'(nπ)
In elk snijpunt met een even nummer is de helling van g dus twee keer zo groot als die van f.
Bij een oneven n is cos(nπ) = −1, en dan is g'(nπ) = 0: daar loopt g even horizontaal. Dat zie je in de figuur bij S₁ en S₃. Bij n = 0 (de oorsprong) bestaat f'(0) niet, maar die telt hier niet mee: de vraag gaat over de snijpunten S₁, S₂, … na O.
Opgave 6: Drie keer over de lijn
Voor x ≥ 0 en a > 112 is gegeven
fa(x) = x · |a − x²| + 3x
De strepen | … | betekenen absolute waarde: de afstand tot 0, dus het getal zonder minteken. |5| = 5 en |−5| = 5. Zolang a − x² positief is (dus voor x < √a), doen de strepen niets. Voorbij x = √a wordt a − x² negatief, en klappen de strepen het om naar x² − a. Op die plek, bij x = √a, maakt de grafiek een knik: een scherpe punt in plaats van een ronde bocht. Links van de knik zit een top.
Vraag 14 · 5 punten
Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat de top een y-coördinaat heeft van
ytop = 2(13a + 1)112
Het idee. De top ligt links van de knik. Daar doen de strepen niets, dus schrijf de formule zonder strepen. Afgeleide nul stellen geeft de x van de top; invullen en netjes herschrijven geeft de y.
Opfrissen: Machts- & wortelfuncties (absolute waarde, en een macht als x112 = x · √x) en Extremen.
Bekijk de uitwerking van vraag 14
Zonder strepen. Voor 0 ≤ x ≤ √a is a − x² ≥ 0, dus
fa(x) = x(a − x²) + 3x = ax − x³ + 3x
De top.
fa'(x) = a − 3x² + 3 = 0 → x² = a + 33 = 13a + 1 → x = √(13a + 1)
(De min-wortel valt af, want x ≥ 0.)
De y van de top. Schrijf fa(x) = x(a + 3 − x²) en vul x² = 13a + 1 in:
a + 3 − x² = a + 3 − 13a − 1 = 23a + 2 = 2(13a + 1)
ytop = √(13a + 1) · 2(13a + 1) = 2(13a + 1)112
want een wortel keer het getal zelf is dat getal tot de macht 112.
Waarom staat er a > 112? De top moet links van de knik liggen: 13a + 1 < a, en dat is precies a > 112. Volgens het correctievoorschrift levert rekenen met de formule van rechts van de knik (−ax + x³ + 3x) hooguit 3 van de 5 punten op. Schrijf dus op waarom de strepen links van de knik niets doen.
Vraag 15 · 5 punten
Wat wordt er gevraagd? De lijn l: y = 16 wordt door de grafiek van fa soms één keer en soms drie keer gesneden. De waarden van a met drie snijpunten vormen een interval. Bereken dat interval exact.
Het idee. De grafiek gaat omhoog naar de top, omlaag naar de knik en dan voorgoed omhoog. Drie snijpunten krijg je alleen als de top boven de lijn uitkomt én de knik eronder zit. Dat zijn twee ongelijkheden in a.
Opfrissen: Ongelijkheden oplossen (en de interval-notatie).
Bekijk de uitwerking van vraag 15
De hoogte van de knik. Bij x = √a is a − x² = 0, dus
fa(√a) = √a · 0 + 3√a = 3√a
Knik onder de lijn.
3√a < 16 → √a < 163 → a < 2569
Top boven de lijn.
2(13a + 1)112 > 16 → (13a + 1)112 > 8
Kijk eerst waar het precies gelijk is. Een getal tot de macht 112 is 8 als het getal zelf 4 is, want 4 · √4 = 4 · 2 = 8. Dus
13a + 1 > 4 → 13a > 3 → a > 9
Samen. Drie snijpunten als 9 < a < 2569. Het interval is
⟨9, 2569⟩
Waarom open haakjes? Bij a = 9 raakt de top de lijn precies, en bij a = 2569 raakt de knik hem: dan zijn er maar twee gemeenschappelijke punten. Controle met de opgave: a = 20 ligt in het interval (drie snijpunten), a = 8 en a = 32 niet ✓. Probeer het ook in de widget.
Opgave 7: Vlakdeel en rakende cirkel
De functie is
f(x) = 10eˣeˣ + 1 − x − 1
De grafiek snijdt de y-as in D(0, 4), en daar raakt de lijn k: y = 112x + 4 hem. D is het enige punt dat k en de grafiek gemeen hebben. De grafiek snijdt de x-as in E. V is het vlakdeel tussen de grafiek van f, de lijn k en de verticale lijn door E.
Vraag 16 · 3 punten
Draai je V rond de x-as, dan ontstaat een ruimtelijk lichaam: een omwentelingslichaam. Snijd je het in dunne plakjes loodrecht op de x-as, dan is elk plakje een ring: een schijf met straal k(x), waar een schijf met straal f(x) uit is gehaald.
Wat wordt er gevraagd? Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam, als geheel getal.
Het idee. De inhoud is de inhoud van het lichaam onder k, min die van het lichaam onder f, allebei van x = 0 tot de x van E. Zoek eerst E met je rekenmachine, en laat hem daarna ook de integraal uitrekenen.
Opfrissen: Oppervlakte & inhoud met integralen.
Bekijk de uitwerking van vraag 16
Het punt E. Los f(x) = 0 op met je rekenmachine: xE ≈ 8,99.
De inhoud. Elk ringetje heeft oppervlakte π · k(x)² − π · f(x)²:
I = π∫8,99…0 ((112x + 4)² − f(x)²) dx ≈ 3212
De klassieke fout is π∫(k(x) − f(x))² dx. Dat is fout: je haalt een schijf van een schijf af, dus kwadrateer elke straal apart. Gebruik voor de bovengrens de onafgeronde xE uit je rekenmachine, en schrijf op welke integraal je hebt laten uitrekenen.
Vraag 17 · 3 punten
Een scheve asymptoot is een schuine lijn waar de grafiek steeds dichter tegenaan kruipt als x heel groot of heel klein wordt. De grafiek van f heeft er twee, allebei met richtingscoëfficiënt −1.
Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat de scheve asymptoten de vergelijkingen y = −x − 1 en y = −x + 9 hebben.
Het idee. f bestaat uit de lijn −x − 1 plus de breuk 10eˣeˣ + 1. Zoek uit naar welk getal die breuk kruipt als x heel klein wordt, en als x heel groot wordt. Dat getal schuift de lijn omhoog.
Opfrissen: Asymptoten & limieten (ook de truc: teller en noemer delen door wat het hardst groeit).
Bekijk de uitwerking van vraag 17
x heel klein (naar −∞). Dan gaat eˣ naar 0:
10eˣeˣ + 1 → 10 · 00 + 1 = 0
f(x) kruipt dus naar −x − 1 + 0: de asymptoot is y = −x − 1.
x heel groot (naar ∞). Nu worden teller en noemer allebei enorm. Deel ze allebei door eˣ:
10eˣeˣ + 1 = 101 + e−x → 101 + 0 = 10
want e−x = 1eˣ gaat naar 0. f(x) kruipt dus naar −x − 1 + 10: de asymptoot is y = −x + 9.
Schrijf het met limieten als je wilt: limx→∞ 10eˣeˣ + 1 = 10 en limx→−∞ 10eˣeˣ + 1 = 0. Het verschil tussen f en de lijn gaat naar 0, en dat is precies wat een asymptoot is.
Onder de x-as ligt een cirkel met middelpunt M die allebei de scheve asymptoten raakt, en ook de x-as.
Vraag 18 · 4 punten
Wat wordt er gevraagd? Bereken exact de coördinaten van M.
Het idee. De asymptoten zijn evenwijdig, en de cirkel past er precies tussen. Zijn middellijn is dus de afstand tussen de twee lijnen, en M ligt op de lijn die precies halverwege loopt. En omdat de cirkel de x-as raakt, ligt M precies één straal onder de x-as.
Opfrissen: De cirkel (een raaklijn ligt op afstand r van het middelpunt) en Lijnen (loodrecht: product van de richtingscoëfficiënten is −1).
Bekijk de uitwerking van vraag 18
De afstand tussen de asymptoten. De lijn y = x staat loodrecht op beide (1 · −1 = −1). Hij snijdt ze in:
x = −x − 1 → (−12, −12) x = −x + 9 → (412, 412)
De afstand tussen die twee punten is de afstand tussen de lijnen:
√(5² + 5²) = √50
De straal. Dat is de helft van de middellijn: r = 12√50.
Het middelpunt. Halverwege y = −x − 1 en y = −x + 9 ligt y = −x + 4. De cirkel raakt de x-as en ligt eronder, dus M ligt op hoogte −r:
yM = −12√50 xM = 4 − yM = 4 + 12√50
M is het punt (4 + 12√50, −12√50), ofwel (4 + 212√2, −212√2).
Andere route naar de afstand: recht boven elkaar liggen de lijnen 10 uit elkaar (van −1 naar 9). Omdat ze onder 45° lopen, is de loodrechte afstand 10√2 = 5√2 = √50. Controle: M ≈ (7,54; −3,54), en de straal ≈ 3,54, dus de cirkel raakt de x-as ✓.
Wat dit examen je leert
Een paar dingen die in dit examen steeds terugkwamen, en die je op elk examen punten opleveren:
- Reken met wat je hebt, niet met wat je hebt uitgerekend. In vraag 1 gaf t² = t + 1 meteen het antwoord, en in vraag 3 had je t zelf niet nodig: alleen t². Dat scheelt wortels kwadrateren.
- Mintekens zijn geen foutje. In vraag 5 komt p negatief uit, en bij de buren staat er een min voor de cosinus. Een snelle blik op de grafiek (wanneer is de top?) laat zien dat het klopt.
- Rond pas aan het eind af. In vraag 5 maakt het het verschil tussen −3,804 en −3,802, en in vraag 6 tussen 236 en 235 minuten.
- Een bewijs met letters, tot het eind. In vraag 8 ("voor elke a") en vraag 12 ("onafhankelijk van P") gaat het er juist om dat a, p en q wegvallen. Laat zien dát ze wegvallen.
- Absolute-waardestrepen opsplitsen. In vraag 14 schrijf je eerst op waar a − x² positief is; pas dan mag je de strepen weglaten.
- Inhoud van een ring: twee kwadraten. In vraag 16 is het k² − f², niet (k − f)².
Wil je de rest van je voorbereiding plannen? Het leerschema zet alle onderwerpen in een week-voor-week-planning, met hele examens zoals dit in de laatste week.
Hetzelfde examen, maar dan het andere tijdvak: vwo wiskunde B 2025, 1e tijdvak uitgewerkt. Of een ander jaar: vwo wiskunde B 2026, 1e tijdvak en 2e tijdvak.
Liep je bij een paar vragen vast?
Dat is precies de informatie die je nu nodig hebt: het laat zien welke onderwerpen nog niet zitten. In een kennismaking kijken we samen naar waar het misging, en maken we een plan voor de tijd die je nog hebt. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.
Plan een gratis kennismaking