Home › Examen › Uitwerkingen › vwo wiskunde B 2026, 2e tijdvak

Examen vwo wiskunde B 2026 uitgewerkt (2e tijdvak)

Het centraal examen vwo wiskunde B van donderdag 18 juni 2026 (het tweede tijdvak), helemaal uitgewerkt. Niet in de korte taal van een correctievoorschrift, maar zoals je het zelf zou kunnen bedenken: wat wordt er gevraagd, wat is het idee, en hoe schrijf je het op.

Het examen bestaat uit 8 opgaven met samen 16 vragen, goed voor 74 punten. Je had er drie uur voor.

Leg de opgaven ernaast. De opgaveteksten zelf staan hier niet: die zijn van de examenmakers. Je vindt ze gratis als PDF op examenblad.nl. Hieronder staat per vraag in een paar woorden wat er gevraagd wordt, met de formules die je nodig hebt en een eigen figuur, zodat je ook zonder de PDF kunt volgen. Bij dit examen zat de gewone formulelijst met de zes gonio-regels.

🎯 Zo haal je er het meeste uit

1. Eerst zelf. Lees de vraag en het idee, en probeer het dan eerst zelf. De uitwerking staat steeds achter een knop.

2. Loop je vast? Bij elke vraag staat een link naar de pagina waar het onderwerp wordt uitgelegd. Lees die, en probeer het daarna opnieuw.

3. Pas dan de uitwerking. Kijk niet alleen of je antwoord klopt, maar ook of je het net zo volledig hebt opgeschreven. Op het examen krijg je punten voor de stappen, niet alleen voor het eindantwoord.

Wat er in dit examen zit

Rondom een top (vraag 1 en 2, 10 punten): oppervlakte met een integraal, en een knik van 90°. → Primitiveren en Lijnen
Perforaties (vraag 3, 4 punten): gaatjes in een breuk met sinussen. → Asymptoten & limieten
Thermosflessen (vraag 4 en 5, 12 punten): een afkoelformule met e-machten. → Exponentiële functies
Evenwijdige vectoren en zwaartepunt (vraag 6 en 7, 9 punten). → Vectoren & het inproduct
Draaierig (vraag 8 en 9, 9 punten): een bewegend punt met sin en cos. → Bewegende punten
Minimale lengte en grenswaarde (vraag 10 en 11, 10 punten): toppen met ln en een limiet. → Productregel
Een gebroken wortelfunctie (vraag 12 tot en met 14, 11 punten): helling, inhoud en transformaties. → Oppervlakte & inhoud
Twee cirkels (vraag 15 en 16, 9 punten): raaklijnen, gelijkvormigheid en een maximale oppervlakte. → Stellingen & bewijzen

Twee woorden komen steeds terug: exact (geen afgeronde kommagetallen, wortels, π en ln laten staan) en algebraïsch (met een berekening op papier, niet met de rekenmachine iets opzoeken). Wat die precies van je vragen, staat op Examenwerkwoorden.

Opgave 1: Rondom een top

De functie is

f(x) = −x³ + 112x voor x ≥ 0

met top A(12√2, 12√2). De lijn k: y = x gaat door O en door A, en l is de verticale lijn door A.

Vraag 1 · 6 punten

Wat wordt er gevraagd? V is de driehoek tussen k, l en de x-as. W ligt rechts van l, tussen l, de grafiek en de x-as. Onderzoek op exacte wijze of V en W even groot zijn.

Het idee. V is een gewone driehoek: een half keer basis keer hoogte. W is een oppervlakte onder een grafiek, dus een integraal, van de x van A tot het punt waar de grafiek de x-as weer raakt.

Opfrissen: Primitiveren & de bepaalde integraal.

Bekijk de uitwerking van vraag 1

V. Basis en hoogte zijn allebei 12√2, en (12√2)² = 14 · 2 = 12:

O(V) = 12 · 12√2 · 12√2 = 12 · 12 = 14

Waar raakt de grafiek de x-as weer?

−x³ + 112x = 0 → x(−x² + 112) = 0 → x = 0 of x² = 112

Rechts van A is dat x = √(112).

W. Een primitieve van −x³ + 112x is F(x) = −14x⁴ + 34x². Handig: in F staan alleen x² en x⁴, en die ken je bij beide grenzen zonder wortels.

bij x = √(112): x² = 112, x⁴ = 214 → F = −916 + 98 = 916

bij x = 12√2: x² = 12, x⁴ = 14 → F = −116 + 38 = 516

O(W) = 916 − 516 = 416 = 14

Allebei 14: V en W hebben gelijke oppervlakte.

Vraag 2 · 4 punten

Eerst een begrip. |getal| is de absolute waarde: het getal zonder minteken (|−3| = 3, |3| = 3). Een grafiek met een absolute waarde erin krijgt een knik: een punt waar hij ineens van richting verandert, precies waar wat tussen de strepen staat 0 wordt.

Wat wordt er gevraagd? Voor p > 0 is

g_p(x) = x + |px − 1|

Voor één waarde van p ligt de knik precies in A. Bewijs dat de knik dan een hoek van 90° maakt.

Het idee. Links en rechts van de knik is de grafiek een rechte lijn. Twee lijnen staan loodrecht op elkaar als het product van hun richtingscoëfficiënten −1 is.

Opfrissen: de absolute waarde |x| en loodrecht: m₁ · m₂ = −1.

Bekijk de uitwerking van vraag 2

Welke p? De knik zit waar px − 1 = 0, dus bij x = 1p. A heeft x = 12√2:

1p = 12√2 → p = 2√2 = √2

En de knik ligt echt in A, want g(12√2) = 12√2 + 0 = 12√2.

De twee rechte stukken. Rechts van de knik is px − 1 positief en vallen de strepen gewoon weg. Links is het negatief, en dan draaien de strepen het teken om:

rechts: g(x) = x + (√2x − 1) = (1 + √2)x − 1 → rc = 1 + √2

links: g(x) = x − (√2x − 1) = (1 − √2)x + 1 → rc = 1 − √2

Het product. Met (a + b)(a − b) = a² − b²:

(1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1

De twee stukken staan loodrecht op elkaar: de knik maakt een hoek van 90°.

Opgave 2: Perforaties

De functie is

f(x) = 2sin(x) − 14sin²(x) − 1 voor 0 ≤ x ≤ π

Vraag 3 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? De grafiek heeft twee perforaties: gaatjes, op plekken waar teller en noemer allebei 0 zijn. Bereken exact hun coördinaten.

Het idee. De noemer is een verschil van twee kwadraten: 4sin²(x) − 1 = (2sin(x))² − 1². Die kun je ontbinden, en dan valt de teller tegen een stuk van de noemer weg. De y-coördinaat van een gaatje vind je met een limiet.

Opfrissen: perforaties en limieten en exacte waarden op de eenheidscirkel.

Bekijk de uitwerking van vraag 3

Waar zijn teller en noemer allebei 0? De teller is 0 als sin(x) = 12, dus op [0, π] bij

x = 16π en x = 56π

Daar is de noemer 4 · 14 − 1 = 0 ook. Dat zijn dus de twee gaatjes.

Vereenvoudigen. Met a² − b² = (a − b)(a + b):

f(x) = 2sin(x) − 1(2sin(x) − 1)(2sin(x) + 1) = 12sin(x) + 1 (als sin(x) ≠ 12)

De y-coördinaat via de limiet.

lim_x→16π f(x) = 12 · 12 + 1 = 12 en net zo bij 56π

De perforaties zijn (16π, 12) en (56π, 12).

Zou 2sin(x) + 1 ook 0 kunnen worden? Dan moet sin(x) = −12 zijn, en dat gebeurt niet op [0, π]. Er is dus geen asymptoot.

Opgave 3: Thermosflessen

De temperatuur van een vloeistof in een afgesloten thermosfles volgt

T(t) = A + (T₀ − A) · e^−ct

met t de tijd in uren, T₀ de begintemperatuur, A de temperatuur van de ruimte eromheen (vast) en c een getal dat zegt hoe goed de fles isoleert. De opgave rekent in uren en °C. Het idee van de formule: e^−ct gaat van 1 naar 0, dus T schuift langzaam van T₀ naar A.

Vraag 4 · 6 punten

Wat wordt er gevraagd? Om 9.00 uur gaat de fles dicht met vloeistof van 87 °C. Om 11.30 uur is het 67 °C, om 14.00 uur 53 °C. Stel met deze gegevens een vergelijking met één onbekende op, en bereken daarmee de temperatuur om 15.00 uur, als geheel getal.

Het idee. Er zijn twee onbekenden, A en c. Maar 14.00 uur is precies twee keer zo lang na 9.00 uur als 11.30 uur (5 uur tegenover 2,5 uur). En dan geldt e^−5c = (e^−2,5c)². Daarmee verdwijnt c, en houd je alleen A over.

Opfrissen: de rekenregels voor machten en Vergelijkingen exact oplossen.

Bekijk de uitwerking van vraag 4

Twee vergelijkingen. Met T₀ = 87, en t = 2,5 en t = 5:

67 = A + (87 − A) · e^−2,5c → e^−2,5c = 67 − A87 − A

53 = A + (87 − A) · e^−5c → e^−5c = 53 − A87 − A

De vergelijking met één onbekende. Omdat e^−5c = (e^−2,5c)²:

(67 − A87 − A)² = 53 − A87 − A

Vermenigvuldig beide kanten met (87 − A)² en werk de haakjes uit:

(67 − A)² = (53 − A)(87 − A)

4489 − 134A + A² = 4611 − 140A + A² → 6A = 122 → A = 2013

De groeifactor. Nu weet je ook

e^−2,5c = 67 − 201387 − 2013 = 46236623 = 0,7

Elke 2,5 uur wordt het verschil met de kamertemperatuur dus keer 0,7 (en daaruit volgt c = −ln(0,7)2,5 ≈ 0,143).

Om 15.00 uur is t = 6, en dat is 62,5 = 2,4 keer zo'n periode van 2,5 uur:

T(6) = 2013 + 6623 · 0,7^2,4 ≈ 20,33 + 28,32 ≈ 48,66 → 49 °C

Controle met de derde meting: 2013 + 6623 · 0,7² = 2013 + 3223 = 53 ✓. Je mag ook c als onbekende overhouden en die met de rekenmachine oplossen; dat is net zo goed, zolang je de vergelijking met één onbekende maar opschrijft.

Vraag 5 · 6 punten

Wat wordt er gevraagd? Twee flessen beginnen allebei op 95 °C in een ruimte van 20 °C:

T_I(t) = 20 + 75 · e^−0,2t T_Th(t) = 20 + 75 · e^−0,15t

Bereken algebraïsch het grootste temperatuurverschil tussen de twee flessen, als geheel getal.

Het idee. Maak een functie voor het verschil. De tweede fles koelt langzamer af (−0,15 is minder snel dan −0,2), dus die is steeds warmer. Het grootste verschil is een top van die verschilfunctie: waar de afgeleide 0 is.

Opfrissen: de afgeleide van e-machten en Extremen.

Bekijk de uitwerking van vraag 5

V(t) = T_Th(t) − T_I(t) = 75e^−0,15t − 75e^−0,2t

Afgeleide. Kettingregel: de afgeleide van e^kt is k · e^kt.

V'(t) = −11,25e^−0,15t + 15e^−0,2t

V'(t) = 0.

15e^−0,2t = 11,25e^−0,15t → e^−0,2te^−0,15t = e^−0,05t = 11,2515 = 0,75

−0,05t = ln(0,75) → t = −20 ln(0,75) ≈ 5,75 uur

Het verschil zelf. Hier helpt een truc: omdat e^−0,05t = 0,75, is e^−0,15t = 0,75³ en e^−0,2t = 0,75⁴. Dus

V = 75 · (0,75³ − 0,75⁴) ≈ 75 · (0,4219 − 0,3164) ≈ 7,9 → 8 °C

Is dit echt het grootste verschil? Op t = 0 is het verschil 0, na lange tijd zijn beide flessen 20 °C en is het weer 0, en daartussen is V positief. Er is maar één plek met V' = 0, dus dat is het maximum. De leverancier heeft het trouwens mis: 8 °C merk je prima.

Opgave 4: Evenwijdige vectoren en zwaartepunt

De punten zijn A(5 − p, 2p), B(2p, p) en C(5, 5). Voor elke p hoort er een andere ligging van A en B bij.

Vraag 6 · 5 punten

Wat wordt er gevraagd? Er zijn twee waarden van p waarbij de vectoren CA en CB evenwijdig zijn. Bij de ene wijzen ze tegengestelde kanten op, bij de andere dezelfde kant. Bereken algebraïsch de p waarbij ze dezelfde kant op wijzen, in twee decimalen.

Het idee. Twee vectoren zijn evenwijdig als de een een veelvoud is van de ander. Dan staan hun kentallen in dezelfde verhouding: a_xb_x = a_yb_y, oftewel kruislings vermenigvuldigd a_x · b_y = a_y · b_x. Dezelfde kant op betekent: dat veelvoud is positief.

Opfrissen: Vectoren & het inproduct (kentallen, eindpunt min beginpunt).

Bekijk de uitwerking van vraag 6

De kentallen (eindpunt min beginpunt):

CA = 5 − p − 52p − 5 = −p2p − 5 CB = 2p − 5p − 5

Evenwijdig. Kruislings gelijkstellen:

−p · (p − 5) = (2p − 5)(2p − 5)

−p² + 5p = 4p² − 20p + 25 → 5p² − 25p + 25 = 0 → p² − 5p + 5 = 0

p = 5 − √52 ≈ 1,38 of p = 5 + √52 ≈ 3,62

Welke wijzen dezelfde kant op? Vul ze in:

p ≈ 1,38: CA ≈ −1,38−2,24, CB ≈ −2,24−3,62

p ≈ 3,62: CA ≈ −3,622,24, CB ≈ 2,24−1,38

Bij p ≈ 1,38 zijn alle kentallen negatief: beide pijlen wijzen naar linksonder, CB ≈ 1,62 · CA. Bij p ≈ 3,62 zijn de tekens omgedraaid: tegengestelde richting. Het antwoord is dus p ≈ 1,38.

Vraag 7 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? In A en B ligt een massa van 2, in C een massa van 1. Bij elke p hoort een zwaartepunt Z. Voor één p zijn de x- en y-coördinaat van Z gelijk. Bereken dan exact de coördinaten van Z.

Het idee. Het zwaartepunt is het gewogen gemiddelde van de plaatsvectoren: elke plaatsvector telt mee naar zijn massa, en je deelt door de totale massa (2 + 2 + 1 = 5).

Opfrissen: het zwaartepunt (onderaan de vectoren-pagina).

Bekijk de uitwerking van vraag 7

OZ = 2 · OA + 2 · OB + 1 · OC5

x_Z = 2(5 − p) + 2 · 2p + 55 = 15 + 2p5 y_Z = 2 · 2p + 2p + 55 = 6p + 55

Gelijkstellen.

15 + 2p = 6p + 5 → 4p = 10 → p = 212

Z = (15 + 55, 15 + 55) = (4, 4)

De lijn l waar alle zwaartepunten op liggen, is y = 3x − 8: bij p = 0 is Z = (3, 1), en elke keer dat p met 1 toeneemt schuift Z 25 opzij en 65 omhoog. Snijden met y = x geeft ook (4, 4) ✓

Opgave 5: Draaierig

Een punt P beweegt volgens

x(t) = sin(t) − cos(3t) y(t) = cos(t) + sin(3t) voor 0 ≤ t ≤ 2π

met t in seconden.

Vraag 8 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Op zes tijdstippen is P op de y-as. Bereken ze exact.

Het idee. Op de y-as is x = 0, dus sin(t) = cos(3t). Een sinus en een cosinus kun je niet direct vergelijken, maar een cosinus is een sinus die een kwart slag voorloopt: cos(α) = sin(α + 12π). Dan staat er sin = sin, en daar horen twee oplossingsfamilies bij.

Opfrissen: sin(A) = sin(B) en de twee families en Formules herleiden.

Bekijk de uitwerking van vraag 8

sin(t) = cos(3t) = sin(3t + 12π)

Eerste familie: de hoeken zijn gelijk.

t = 3t + 12π + k · 2π → −2t = 12π + k · 2π → t = −14π + k · π

Op [0, 2π]: t = 34π en t = 134π.

Tweede familie: de ene hoek is π min de andere.

t = π − (3t + 12π) + k · 2π → 4t = 12π + k · 2π → t = 18π + k · 12π

Op [0, 2π]: t = 18π, 58π, 118π, 158π.

Samen zes tijdstippen: 18π, 58π, 34π, 118π, 158π en 134π.

Let op de deling in de tweede familie: je deelt ook k · 2π door 4, en dan wordt het k · 12π. Daardoor krijg je vier oplossingen uit deze familie in plaats van één.

Vraag 9 · 5 punten

Wat wordt er gevraagd? Op t = 12π en op t = π is P in het punt (1, −1). Daar kruist de baan zichzelf. Bereken algebraïsch onder welke hoek, als geheel getal.

Het idee. De richting van de baan op een moment is de richting van de snelheidsvector. De hoek waaronder de baan zichzelf snijdt, is dus de hoek tussen de twee snelheidsvectoren. En een hoek tussen twee vectoren reken je uit met het inproduct.

Opfrissen: de snelheidsvector en de hoek via het inproduct.

Bekijk de uitwerking van vraag 9

Differentiëren (kettingregel bij 3t: keer 3):

x'(t) = cos(t) + 3sin(3t) y'(t) = −sin(t) + 3cos(3t)

De twee snelheidsvectoren. Met sin(112π) = −1, cos(112π) = 0, sin(3π) = 0 en cos(3π) = −1:

v(12π) = 0 + 3 · −1−1 + 3 · 0 = −3−1 v(π) = −1 + 3 · 00 + 3 · −1 = −1−3

De hoek.

cos(φ) = (−3)(−1) + (−1)(−3)√10 · √10 = 610 = 0,6 → φ ≈ 53°

Was de hoek boven de 90° uitgekomen, dan had je hem van 180° af moeten trekken: de hoek waaronder twee lijnen elkaar snijden is altijd de scherpe. Hier is cos(φ) positief, dus is de hoek al scherp.

Opgave 6: Minimale lengte en grenswaarde

De functies zijn

f(x) = x² · ln(12x) g(x) = x² · ln(x)

A(2√e, −2e) is de top van f, en B is de top van g. Let op: op het examen betekent top elk punt waar de grafiek omkeert, een hoogste óf laagste punt. A en B zijn hier allebei laagste punten.

Vraag 10 · 7 punten

Wat wordt er gevraagd? Door A en B worden vierkanten getekend met zijden evenwijdig aan de assen (A en B liggen op de rand). Bereken algebraïsch de zijde van het kleinst mogelijke vierkant, in vier decimalen.

Het idee. Eerst B uitrekenen: waar is g'(x) = 0? Daarvoor heb je de productregel nodig. Daarna: een vierkant is even breed als hoog. Om A en B allebei op de rand te krijgen, moet het minstens zo breed zijn als het horizontale verschil tussen A en B, en minstens zo hoog als het verticale verschil. Het kleinste vierkant heeft dus als zijde het grootste van die twee.

Opfrissen: de productregel en de afgeleide van ln.

Bekijk de uitwerking van vraag 10

De top B. Productregel:

g'(x) = 2x · ln(x) + x² · 1x = x(2ln(x) + 1)

x = 0 valt buiten het domein, dus 2ln(x) + 1 = 0:

ln(x) = −12 → x = e⁻¹² = 1√e y = 1e · −12 = −12e

De twee afstanden.

horizontaal: 2√e − 1√e = 1√e ≈ 0,6065

verticaal: −12e − −2e = 32e ≈ 0,5518

De horizontale afstand is de grootste. Met een zijde van 1√e ≈ 0,6065 liggen A en B op de linker- en rechterzijde, en het verticale verschil van 0,55 past er dan ruim in. Kleiner kan niet, want dan past de breedte niet meer. De zijde is 0,6065.

Vraag 11 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? Voor h(x) = g(x)f(x) nadert h(x) een grenswaarde als x steeds groter wordt. Bereken die exact.

Het idee. De x² valt weg. Wat overblijft is een breuk met twee logaritmen. Splits ln(12x) = ln(12) + ln(x), en deel teller en noemer door ln(x): de truc die je ook bij horizontale asymptoten gebruikt.

Opfrissen: de rekenregels voor logaritmen en limieten.

Bekijk de uitwerking van vraag 11

h(x) = x² · ln(x)x² · ln(12x) = ln(x)ln(12) + ln(x) = 1ln(12)ln(x) + 1

Als x steeds groter wordt, wordt ln(x) ook steeds groter, en gaat ln(12)ln(x) naar 0 (een vast getal gedeeld door iets heel groots). Dus

lim_x→∞ h(x) = 10 + 1 = 1

Dat gaat wel heel langzaam: bij x = 100 000 is h nog 1,06. Een logaritme groeit zo traag dat de −ln(2) in de noemer lang merkbaar blijft.

Opgave 7: Een gebroken wortelfunctie

De functie is

f(x) = 3√x

met de punten A(1, 3) en B(9, 1) op de grafiek.

Vraag 12 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Tussen A en B is een punt waar de helling van de grafiek even groot is als de helling van het lijnstuk AB. De x-coördinaat daarvan is te schrijven als ^q√p: de q-de machtswortel van p (bijvoorbeeld ³√8 = 2, want 2³ = 8). Bereken exact een mogelijke p en q.

Het idee. Reken de helling van AB uit, differentieer f, en stel die twee gelijk. Om de wortel kwijt te raken, kwadrateer je op het eind.

Opfrissen: De afgeleide en wortels als machten.

Bekijk de uitwerking van vraag 12

Helling van AB. 1 − 39 − 1 = −14.

f'. Schrijf f(x) = 3x⁻¹²:

f'(x) = −112x⁻¹¹² = −32x√x

Gelijkstellen.

−32x√x = −14 → 2x√x = 12 → x√x = 6

Kwadrateer: (x√x)² = x² · x = x³, dus

x³ = 36 → x = ³√36

Dus q = 3 en p = 36.

Klopt het? ³√36 ≈ 3,30, en dat ligt netjes tussen 1 en 9 ✓. Er staat "een mogelijke waarde" omdat bijvoorbeeld ⁶√1296 hetzelfde getal is; de simpelste keuze is q = 3.

Vraag 13 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? V is het gebied tussen de horizontale lijn door A (y = 3), de verticale lijn door B (x = 9) en de grafiek. Draai V om de x-as. Bereken algebraïsch de inhoud, als geheel getal.

Het idee. Het lichaam is een buis met een gat erin: van buiten een cilinder met straal 3, van binnen uitgehold door de grafiek. Je rekent dus π∫(boven² − onder²) dx, en níét (boven − onder)².

Opfrissen: Oppervlakte & inhoud met integralen.

Bekijk de uitwerking van vraag 13

I = π∫91 (3² − (3√x)²) dx = π∫91 (9 − 9x) dx

Een primitieve van 9 − 9x is 9x − 9ln(x):

I = π · [9x − 9ln(x)]91 = π((81 − 9ln(9)) − (9 − 0)) = π(72 − 9ln(9)) ≈ 164

Vraag 14 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? Met twee transformaties maak je van de grafiek van f de grafiek van een functie g die door A(1, 3) gaat en door C(9, 0), het punt recht onder B op de x-as. Geef de twee transformaties in de goede volgorde.

Het idee. A moet blijven waar hij is, B moet van hoogte 1 naar hoogte 0. Schuif eerst alles 1 omlaag: dan ligt B goed, maar A zakt naar hoogte 2. Rek daarna verticaal uit zodat 2 weer 3 wordt. Punten op hoogte 0 blijven bij uitrekken op hoogte 0, dus B blijft liggen.

Opfrissen: Grafieken transformeren.

Bekijk de uitwerking van vraag 14

Eerst een translatie van 1 omlaag: y = 3√x − 1. Nu is de hoogte bij x = 9 gelijk aan 0, en bij x = 1 gelijk aan 2.

Dan een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met factor 112: de hoogte 2 bij x = 1 wordt 3, en de hoogte 0 bij x = 9 blijft 0.

g(x) = 112(3√x − 1) g(1) = 3 ✓ g(9) = 0 ✓

De volgorde doet ertoe. Andersom (eerst ×112, dan 1 omlaag) kom je niet op hetzelfde uit. Wil je toch eerst uitrekken, dan moet je daarna 112 omlaag schuiven in plaats van 1; dat is ook goed.

Opgave 8: Twee cirkels

De cirkel c₁ heeft middelpunt O en straal r₁. De lijn k raakt c₁ in A (met positieve coördinaten) en snijdt de positieve x-as in M, zo dat ∠AMO = 30° (de hoek in hoekpunt M, tussen MA en MO). De cirkel c₂ heeft middelpunt M en een kleinere straal r₂. De lijn l gaat door O en raakt c₂ in B (boven de x-as). l snijdt c₁ in C, en k snijdt c₂ in D. E ligt recht onder C op de x-as, F recht onder D.

Vraag 15 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Gegeven is dat de driehoeken OBM en OEC gelijkvormig zijn. Bewijs dat CE = DF = 12r₂.

Het idee. Twee feiten doen het werk. Een raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt, dus er ontstaan rechthoekige driehoeken. En in een rechthoekige driehoek met een hoek van 30° is de zijde tegenover die hoek precies de helft van de schuine zijde, want sin(30°) = 12.

Opfrissen: raaklijn staat loodrecht op de straal en sinus en gelijkvormigheid.

Bekijk de uitwerking van vraag 15

DF. Driehoek DFM is rechthoekig in F, met ∠DMF = 30° (D ligt op k) en schuine zijde DM = r₂ (een straal van c₂):

DF = r₂ · sin(30°) = 12r₂

OM. k raakt c₁ in A, dus OA ⊥ k: driehoek OAM is rechthoekig in A, met de hoek van 30° bij M:

sin(30°) = OAOM → OM = r₁12 = 2r₁

CE. In driehoek OBM (rechthoekig in B, want l raakt c₂) en driehoek OEC (rechthoekig in E) horen de schuine zijden OM en OC bij elkaar, en de zijden BM en CE (allebei tegenover de hoek bij O). Gelijkvormig, dus

OMOC = BMCE → 2r₁r₁ = r₂CE → 2 = r₂CE → CE = 12r₂

Dus CE = DF = 12r₂.

Vraag 16 · 5 punten

Wat wordt er gevraagd? Neem nu r₁ = 4 en M(8, 0). EFDC is dan een rechthoek, en de oppervlakte ervan hangt af van r₂. Bereken de grootste oppervlakte, in twee decimalen.

Het idee. De hoogte is 12r₂ (vraag 15). De breedte EF is OM min de twee stukken OE en MF, en die vind je met Pythagoras en met cos(30°). Zet de oppervlakte in één formule met r₂, en laat de rekenmachine het maximum zoeken.

Opfrissen: Pythagoras en cosinus.

Bekijk de uitwerking van vraag 16

OE met Pythagoras in driehoek OEC (OC = 4, CE = 12r₂):

OE = √(16 − 14r₂²)

MF in driehoek DFM (schuine zijde r₂, hoek 30° bij M):

MF = r₂ · cos(30°) = 12√3 · r₂

De oppervlakte.

EF = 8 − √(16 − 14r₂²) − 12√3 · r₂

O = 12r₂ · (8 − √(16 − 14r₂²) − 12√3 · r₂)

Voer dit in (met x voor r₂, venster van 0 tot 4, want r₂ is kleiner dan r₁) en laat het maximum berekenen: bij r₂ ≈ 2,74 is de oppervlakte

O ≈ 2,56

Wat dit examen je leert

Een paar dingen die in dit examen steeds terugkwamen, en die je op elk examen punten opleveren:

Zoek de verborgen herhaling. In vraag 4 was 5 uur precies twee keer 2,5 uur, en in vraag 5 waren e^−0,15t en e^−0,2t machten van hetzelfde getal. Wie dat ziet, rekent alles exact uit.
Ontbinden maakt breuken simpel. In vraag 3 werd de hele breuk ineens 12sin(x) + 1 dankzij a² − b² = (a − b)(a + b).
Hoek tussen banen = hoek tussen snelheidsvectoren. Vraag 9 was gewoon het inproduct, zodra je dat zag.
Boven² min onder², niet (boven − onder)². In vraag 13 is dat het verschil tussen goed en fout.
"Top" is ook een dal. In opgave 6 waren beide toppen laagste punten.

Andere uitgewerkte examens vind je bij de uitwerkingen per examen, en een week-voor-week-planning naar je examen toe in het leerschema.

Hetzelfde examen, maar dan het andere tijdvak: vwo wiskunde B 2026, 1e tijdvak uitgewerkt. Of een ander jaar: vwo wiskunde B 2025, 1e tijdvak en 2e tijdvak.

Liep je bij een paar vragen vast?

Dat is precies de informatie die je nu nodig hebt: het laat zien welke onderwerpen nog niet zitten. In een kennismaking kijken we samen naar waar het misging, en maken we een plan voor de tijd die je nog hebt. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking