Home › Examen › Uitwerkingen › vwo wiskunde B 2026, 1e tijdvak

Examen vwo wiskunde B 2026 uitgewerkt (1e tijdvak)

Het centraal examen vwo wiskunde B van woensdag 13 mei 2026, helemaal uitgewerkt. Niet in de korte taal van een correctievoorschrift, maar zoals je het zelf zou kunnen bedenken: wat wordt er gevraagd, wat is het idee, en hoe schrijf je het op.

Het examen bestaat uit 7 opgaven met samen 17 vragen, goed voor 75 punten. Je had er drie uur voor.

Leg de opgaven ernaast. De opgaveteksten zelf staan hier niet: die zijn van de examenmakers. Je vindt ze gratis als PDF op examenblad.nl. Hieronder staat per vraag in een paar woorden wat er gevraagd wordt, met de formules die je nodig hebt en een eigen figuur, zodat je ook zonder de PDF kunt volgen.

🎯 Zo haal je er het meeste uit

1. Eerst zelf. Lees de vraag en het idee, en probeer het dan eerst zelf. De uitwerking staat steeds achter een knop.

2. Loop je vast? Bij elke vraag staat een link naar de pagina waar het onderwerp wordt uitgelegd. Lees die, en probeer het daarna opnieuw.

3. Pas dan de uitwerking. Kijk niet alleen of je antwoord klopt, maar ook of je het net zo volledig hebt opgeschreven. Op het examen krijg je punten voor de stappen, niet alleen voor het eindantwoord.

Wat er in dit examen zit

Een punt en een lijn (vraag 1 en 2, 9 punten): cirkel, lijn en een bissectrice. → De cirkel en Vectoren
Twee snijpunten (vraag 3 tot en met 5, 12 punten): raaklijnen, loodrecht en een transformatie. → De afgeleide en Grafieken transformeren
Perforatie en oppervlakte (vraag 6 en 7, 8 punten): een gaatje in de grafiek en een integraal. → Asymptoten & limieten en Primitiveren
Stuiterbal (vraag 8 en 9, 9 punten): snelheid als afgeleide en een parabool opstellen. → De afgeleide
Lus (vraag 10 tot en met 12, 13 punten): een bewegend punt. → Bewegende punten
Gebroken gonio (vraag 13 tot en met 15, 14 punten): een breuk met sin en cos. → Gonio-vergelijkingen en de quotiëntregel
Begrensde inhoud (vraag 16 en 17, 10 punten): een omwentelingslichaam. → Oppervlakte & inhoud

Twee woorden komen steeds terug: exact (geen afgeronde kommagetallen, wortels en ln laten staan) en algebraïsch (met een berekening op papier, niet met de rekenmachine iets opzoeken). Wat die precies van je vragen, staat op Examenwerkwoorden.

Opgave 1: Een punt en een lijn

Gegeven is het punt P(7, 24) en de lijn k: 3x − 4y = 0. Die lijn gaat door de oorsprong O. De cirkel c heeft middelpunt O en gaat door P.

Vraag 1 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Bereken exact de coördinaten van S, het snijpunt van c en k rechts van de y-as.

Het idee. Van de cirkel ken je het middelpunt al (O), dus je hebt alleen de straal nog nodig: dat is de afstand van O tot P. Daarna is het een gewoon snijpunt van een lijn en een cirkel: schrijf de lijn als y = … en vul dat in de cirkelvergelijking in.

Opfrissen: De cirkel: vergelijking, snijpunten & raaklijnen.

Bekijk de uitwerking van vraag 1

De straal. De afstand van O(0, 0) tot P(7, 24) is met Pythagoras

r² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625 dus c: x² + y² = 625

De lijn als y = …. Uit 3x − 4y = 0 volgt 4y = 3x, dus

y = 34x

Invullen in de cirkel. Overal waar y staat, zet je 34x neer:

x² + (34x)² = 625

x² + 916x² = 625

2516x² = 625 → x² = 625 · 1625 = 400 → x = 20 of x = −20

S ligt rechts van de y-as, dus x = 20. Dan is y = 34 · 20 = 15.

S(20, 15)

Controle: 20² + 15² = 400 + 225 = 625 ✓ en 3 · 20 − 4 · 15 = 0 ✓. Let op het kwadraat van de breuk: (34x)² is 916x², de 3 en de 4 gaan allebei in het kwadraat.

Vraag 2 · 5 punten

Eerst twee begrippen. Het punt A ligt op k. Het punt B is de loodrechte projectie van A op de y-as: je gaat vanaf A recht (loodrecht) naar de y-as, en waar je aankomt ligt B. B heeft dus dezelfde y-coördinaat als A, en x = 0.

Met ∠OAB bedoelen we de hoek in hoekpunt A (de middelste letter) tussen de lijnstukken AO en AB. Een bissectrice is de lijn die zo'n hoek precies in twee gelijke helften deelt.

Wat wordt er gevraagd? A kan zo gekozen worden dat de bissectrice van ∠OAB door P gaat. Bereken algebraïsch de coördinaten van A.

Het idee. Teken vanuit A twee pijlen die even lang zijn: één langs AO en één langs AB. Tel je die op, dan wijst de som precies midden tussen de twee in. Dat is dus de richting van de bissectrice. Met die richting en het punt P heb je een vectorvoorstelling van de bissectrice, en A is waar die lijn k snijdt.

Opfrissen: Vectoren & het inproduct (optellen, lengte en de vectorvoorstelling van een lijn) en Stellingen & bewijzen (de bissectrice).

Bekijk de uitwerking van vraag 2

Waarom werkt die som? Twee pijlen vanuit hetzelfde punt tel je op met een parallellogram. Zijn de twee pijlen even lang, dan is dat parallellogram een ruit (alle zijden even lang). En in een ruit deelt de diagonaal de hoek precies doormidden. De somvector ligt dus op de bissectrice.

Twee even lange pijlen vanuit A. A ligt rechtsboven op k (zie de figuur). Een richtingsvector van k is 43, want bij y = 34x ga je 4 opzij en 3 omhoog. Van A naar O ga je de andere kant op:

richting AO: −4−3 lengte √(16 + 9) = 5

Van A naar B ga je recht naar links. Maak die pijl ook 5 lang:

richting AB: −50 lengte 5

Optellen.

−4−3 + −50 = −9−3

Elk veelvoud wijst dezelfde kant op, dus 31 is ook een richtingsvector van de bissectrice. Dat rekent makkelijker.

De bissectrice door P. Met steunpunt P(7, 24):

xy = 724 + t · 31 oftewel x = 7 + 3t, y = 24 + t

Snijden met k. Vul x en y in 3x − 4y = 0 in:

3(7 + 3t) − 4(24 + t) = 0

21 + 9t − 96 − 4t = 0 → 5t = 75 → t = 15

A = (7 + 3 · 15, 24 + 15) = (52, 39)

Controle met het inproduct: vanuit A wijst P de kant van −3−1 op. De hoek tussen die richting en AB is gelijk aan de hoek tussen die richting en AO, want cos = 3√10 bij allebei: (−3)(−5) + (−1)(0)√10 · 5 = (−3)(−4) + (−1)(−3)√10 · 5 = 155√10 ✓

Opgave 2: Twee snijpunten

De functie is

f(x) = 2ln(x) + 32x − 1 voor 0 < x ≤ 2

Het punt P ligt op de grafiek met x_P = 12. De lijn k raakt de grafiek in P. De lijn m staat loodrecht op k en raakt de grafiek in een ander punt, Q.

Vraag 3 · 6 punten

Wat wordt er gevraagd? Bereken exact de x-coördinaat van Q.

Het idee. De richtingscoëfficiënt (rc) van een raaklijn is de afgeleide in dat punt. Dus: reken de rc van k uit met f'(12). Omdat m daar loodrecht op staat, weet je dan ook de rc van m. Q is de plek waar de afgeleide precies díé waarde heeft.

Opfrissen: De afgeleide: helling & raaklijn, de afgeleide van ln(x) en loodrecht: m₁ · m₂ = −1.

Bekijk de uitwerking van vraag 3

De afgeleide. Schrijf de breuk als macht: 32x = 32x⁻¹. Dan geeft de machtsregel −32x⁻². De afgeleide van ln(x) is 1x, en de −1 valt weg:

f'(x) = 2x − 32x²

De rc van k.

f'(12) = 212 − 32 · 14 = 4 − 6 = −2

De rc van m. Loodrecht betekent dat het product van de twee rc's −1 is. Bij −2 hoort dus 12, want −2 · 12 = −1.

Waar is de helling 12?

2x − 32x² = 12

Vermenigvuldig links en rechts met 2x². Dat mag, want x is nooit 0 op het domein:

4x − 3 = x² → x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0

x = 1 of x = 3

x = 3 valt buiten het domein (dat stopt bij 2), dus x_Q = 1.

Controle: f'(1) = 2 − 32 = 12 ✓. Schrijf er altijd bij wáárom x = 3 afvalt (buiten het domein), anders lijkt het alsof je hem gewoon vergeten bent.

Vraag 4 · 2 punten

Wat wordt er gevraagd? Er is een tweede functie

g(x) = 2ln(2x) + 34x − 1

De grafiek van g ontstaat uit die van f met één transformatie. Welke?

Het idee. Kijk wat er in f veranderd is. Overal waar x stond, staat nu 2x. Wat betekent dat voor de grafiek?

Opfrissen: Grafieken transformeren ("binnen de haakjes gaat het omgekeerd").

Bekijk de uitwerking van vraag 4

Vul 2x in f in:

f(2x) = 2ln(2x) + 32 · 2x − 1 = 2ln(2x) + 34x − 1 = g(x)

Dus g(x) = f(2x). Een getal dat vóór de x komt, zit "binnen" de functie en werkt omgekeerd: de grafiek wordt niet twee keer zo breed, maar twee keer zo smal.

Antwoord: een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor 12.

Je hebt beide stukken nodig voor de twee punten: ten opzichte van wélke as, en met welke factor. "Ten opzichte van de y-as" betekent dat elk punt in horizontale richting naar de y-as toe (of ervan af) schuift. Daardoor loopt g maar tot x = 1: het domein wordt ook gehalveerd.

Vraag 5 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? De grafieken van f en g snijden elkaar in S. Bereken exact de x-coördinaat van S.

Het idee. Stel f(x) = g(x). Het lastige is dat er twee verschillende logaritmen in staan. Maar met de rekenregel ln(a) − ln(b) = ln(ab) smelten die samen tot gewoon een getal.

Opfrissen: de rekenregels voor logaritmen en Vergelijkingen exact oplossen.

Bekijk de uitwerking van vraag 5

2ln(x) + 32x − 1 = 2ln(2x) + 34x − 1

Zet de breuken links en de logaritmen rechts. De −1 valt aan beide kanten weg:

32x − 34x = 2ln(2x) − 2ln(x)

Links: gelijknamig maken, 32x = 64x, dus links staat 34x.

Rechts: 2(ln(2x) − ln(x)) = 2ln(2xx) = 2ln(2). De x is weg.

34x = 2ln(2) → 3 = 8x · ln(2) → x = 38ln(2)

Dat is ongeveer 0,54, en dat ligt op het domein van allebei (tussen 0 en 1) ✓. Laat het antwoord zo staan: "exact" betekent dat je ln(2) niet mag uitrekenen. Ook goed is bijvoorbeeld 34ln(4), want 2ln(2) = ln(4).

Opgave 3: Perforatie en oppervlakte

Er is een hele familie functies, één voor elke waarde van p:

f_p(x) = x − 2 + px − 1

Vraag 6 · 5 punten

Een perforatie is een gaatje in de grafiek: op één x-waarde bestaat de functie niet, maar van links en van rechts loopt de grafiek gewoon naar hetzelfde punt toe. Zo'n gaatje ontstaat als teller én noemer op dezelfde plek 0 worden.

Wat wordt er gevraagd? Voor één waarde van p heeft de grafiek een perforatie. Bereken exact de coördinaten ervan.

Het idee. De noemer is 0 bij x = 1. Kies p zo dat de teller daar óók 0 is. De y-coördinaat van het gaatje vind je met een limiet, want invullen geeft 00.

Opfrissen: Asymptoten & limieten (daar staat ook het verschil tussen een gaatje en een asymptoot).

Bekijk de uitwerking van vraag 6

Waar kan het gaatje zitten? De noemer x − 1 is 0 bij x = 1. Dus de x-coördinaat van de perforatie is 1.

Welke p? Bij x = 1 moet de teller ook 0 zijn:

1 − 2 + p = 0 → p = 1

(Voor elke andere p is de teller bij x = 1 niet 0. Dan deel je iets door bijna niks, en schiet de grafiek weg: een verticale asymptoot, geen gaatje.)

De y-coördinaat. Voor p = 1 staat er

f₁(x) = x − 2 + 1x − 1 = x − 1x − 1 = 1 (voor x ≠ 1)

lim_x→1 f₁(x) = lim_x→1 1 = 1

De perforatie is (1, 1).

Schrijf de limiet echt op. "Invullen geeft 1" klopt niet: invullen geeft 00, en juist daarom heb je de limiet nodig.

Vraag 7 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? Voor p = 0 kun je het voorschrift schrijven als

f₀(x) = 1 − 1x − 1

De grafiek snijdt de x-as in (2, 0). V is het vlakdeel tussen de grafiek, de x-as en de lijn x = 5. Bereken exact de oppervlakte van V.

Het idee. Oppervlakte onder een grafiek is een integraal, hier van 2 tot 5. De vorm 1 − 1x − 1 is precies zo gekozen dat je hem stukje voor stukje kunt primitiveren.

Opfrissen: Primitiveren & de bepaalde integraal.

Bekijk de uitwerking van vraag 7

V ligt boven de x-as, dus de oppervlakte is gewoon de integraal:

O(V) = ∫52 (1 − 1x − 1) dx

Primitiveren. Een primitieve van 1 is x. Een primitieve van 1x − 1 is ln(x − 1) (controle met de kettingregel: de afgeleide van x − 1 is 1). Omdat x hier groter dan 1 is, is x − 1 positief en mag de ln gewoon.

F(x) = x − ln(x − 1)

Grenzen invullen.

O(V) = [x − ln(x − 1)]52 = (5 − ln(4)) − (2 − ln(1)) = 3 − ln(4)

want ln(1) = 0. De oppervlakte is 3 − ln(4).

Klopt dat ongeveer? 3 − ln(4) ≈ 1,61. V is 3 breed en loopt op van 0 tot 0,75 hoog; een oppervlakte van ongeveer 1,6 past daar goed bij ✓

Opgave 4: Stuiterbal

Een stuiterbal wordt op t = 0 losgelaten van 1 meter hoogte. Elke keer dat hij de grond raakt heet een stuit; de eerste stuit is na 0,45 seconden. Tussen twee stuiten is de hoogte steeds een stukje parabool. Tot de eerste stuit heet die functie h₀, daarna h₁, dan h₂, enzovoort. De opgave rekent met t in seconden en de hoogte in meters, en voor de eerste val geldt

h₀(t) = −4,9t² + 1

Vraag 8 · 2 punten

Wat wordt er gevraagd? Bereken algebraïsch met welke snelheid (in m/s) de bal voor het eerst de grond raakt. Geef je antwoord in één decimaal.

Het idee. Snelheid is hoe snel de hoogte verandert: de afgeleide. Reken h₀'(t) uit en vul het moment van de eerste stuit in.

Opfrissen: De afgeleide: helling & raaklijn.

Bekijk de uitwerking van vraag 8

h₀'(t) = −9,8t

h₀'(0,45) = −9,8 · 0,45 = −4,41

Het minteken betekent alleen dat de bal omlaag gaat. De snelheid is ongeveer 4,4 m/s.

"Algebraïsch" betekent hier: echt differentiëren, en de afgeleide ook opschrijven. De helling in een punt laten uitrekenen door je rekenmachine is geen algebraïsche berekening.

Vraag 9 · 7 punten

Wat wordt er gevraagd? Twee extra gegevens. Het hoogste punt van elke boog is steeds 64% van het hoogste punt van de boog ervoor. En de tijd tussen stuit n en stuit n + 1 is

T_n = 0,9 · 0,8ⁿ (n ≥ 1)

Zo is T₁ = 0,72 de tijd tussen de eerste en de tweede stuit. Stel een voorschrift op van h₃, met getallen in twee decimalen.

Het idee. Van een parabool die de grond raakt in K en L, weet je meteen de vorm: h(t) = a(t − K)(t − L). Je hebt dus drie dingen nodig: de tijdstippen K en L, en één extra punt om a te vinden. Dat extra punt is de top: die ligt precies in het midden tussen K en L, op een hoogte die je met die 64% uitrekent.

Opfrissen: groeifactoren (64% van de vorige is steeds keer 0,64) en parabolen en hun nulpunten.

Bekijk de uitwerking van vraag 9

Stap 1: wanneer zijn de stuiten? Tel de tijden bij elkaar op:

stuit 1: t = 0,45

stuit 2: t = 0,45 + T₁ = 0,45 + 0,72 = 1,17

stuit 3: t = 1,17 + T₂ = 1,17 + 0,9 · 0,8² = 1,17 + 0,576 = 1,746 (dit is K)

stuit 4: t = 1,746 + T₃ = 1,746 + 0,9 · 0,8³ = 1,746 + 0,4608 = 2,2068 (dit is L)

Stap 2: hoe hoog is de top van h₃? Het eerste hoogste punt is 1 meter (daar wordt de bal losgelaten). Elke boog daarna is keer 0,64:

top h₁: 0,64 top h₂: 0,64² top h₃: 0,64³ = 0,262144

Stap 3: wanneer is de top? Een parabool is symmetrisch, dus de top ligt precies in het midden tussen K en L:

t = 1,746 + 2,20682 = 1,9764

Stap 4: a uitrekenen. Vul de top in h₃(t) = a(t − 1,746)(t − 2,2068) in:

a · (1,9764 − 1,746)(1,9764 − 2,2068) = 0,262144

a · 0,2304 · (−0,2304) = 0,262144 → a = 0,262144−0,05308416 ≈ −4,938

Antwoord:

h₃(t) = −4,94(t − 1,75)(t − 2,21)

Met de top als vertrekpunt mag ook: h₃(t) = −4,94(t − 1,98)² + 0,26. Rond pas aan het eind af. Rond je K, L of de tophoogte tussendoor al af, dan komt a er net anders uit, en dat kan je een punt kosten.

Valt je iets op? a ≈ −4,94 is bijna precies de −4,9 uit h₀. Dat is geen toeval: het is steeds dezelfde zwaartekracht die de bal afremt. Maar gebruik die −4,9 niet zomaar: de vraag is om h₃ op te stellen met de gegevens, en dan moet je a uitrekenen.

Opgave 5: Lus

Een punt P beweegt volgens

x(t) = t²(2 − t) y(t) = 2t(2 − t) met 0 ≤ t ≤ 2

De snelheidsvector wordt er gratis bij gegeven:

v(t) = 4t − 3t²4 − 4t

Vraag 10 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? De baansnelheid van P is op één tijdstip minimaal. Bereken dat tijdstip, in twee decimalen.

Het idee. De baansnelheid is de lengte van de snelheidsvector: Pythagoras op de twee kentallen. Er staat niet "algebraïsch" of "exact", dus het minimum mag je met je rekenmachine zoeken. Je moet wel opschrijven wát je invoert en wat je laat berekenen.

Opfrissen: Bewegende punten: baan, snelheid & versnelling.

Bekijk de uitwerking van vraag 10

baansnelheid = |v(t)| = √((4t − 3t²)² + (4 − 4t)²)

Voer deze formule in als y1 in je rekenmachine, met een venster van t = 0 tot t = 2, en laat het minimum berekenen. Dat geeft

t ≈ 1,12

De baansnelheid is daar ongeveer 0,86. Aan het begin (t = 0) is hij 4 en aan het eind (t = 2) ongeveer 5,7, dus het minimum zit echt ergens midden in de beweging. Schrijf de zin "minimum berekenen met de rekenmachine" er letterlijk bij: bij "beschrijf hoe" of een rekenmachine-antwoord hoort altijd wat je hebt gedaan.

Vraag 11 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Een tweede punt Q loopt over dezelfde baan, dezelfde kant op, maar steeds 1 seconde achter P aan. Er is één tijdstip waarop P en Q even hoog zijn. Bereken exact de lengte van PQ op dat moment.

Het idee. "1 seconde achter" betekent: Q is nu waar P één seconde geleden was. De plek van Q op tijdstip t is dus de plek van P op tijdstip t − 1. Stel de twee hoogtes gelijk en los t op. Omdat ze even hoog liggen, is PQ gewoon het verschil in x.

Opfrissen: Parametervoorstellingen (punten uitrekenen door t in te vullen).

Bekijk de uitwerking van vraag 11

De hoogte van Q. Vervang t door t − 1 in y(t) = 2t(2 − t):

y_Q = 2(t − 1)(2 − (t − 1)) = 2(t − 1)(3 − t)

Even hoog.

2t(2 − t) = 2(t − 1)(3 − t)

4t − 2t² = 2(3t − t² − 3 + t) = −2t² + 8t − 6

De −2t² valt links en rechts weg:

4t = 8t − 6 → 4t = 6 → t = 112

De twee x-coördinaten. P is op t = 112, Q is waar P op t = 12 was:

x_P = (112)² · 12 = 94 · 12 = 98 x_Q = (12)² · 112 = 14 · 32 = 38

PQ = 98 − 38 = 68 = 34

Controle van "even hoog": y(112) = 3 · 12 = 112 en y(12) = 1 · 112 = 112 ✓

Vraag 12 · 6 punten

Wat wordt er gevraagd? Nu is er een ander punt, met

x(t) = t²(2 − t) y(t) = at(2 − t) (a is een constante, niet 0)

A is het punt van de baan dat het verst naar rechts ligt (x maximaal), B het punt dat het hoogst ligt (y maximaal). Voor één waarde van a is de richtingscoëfficiënt van de lijn AB gelijk aan −1. Bereken die a exact.

Het idee. Het verste punt naar rechts vind je waar x even niet meer groeit: x'(t) = 0. Het hoogste punt waar y'(t) = 0. Dat geeft A en B, met a er nog in. De rc van AB reken je uit zoals altijd (verschil in y gedeeld door verschil in x), en die stel je gelijk aan −1.

Opfrissen: Extremen en de rc uit twee punten.

Bekijk de uitwerking van vraag 12

Punt A. Werk eerst de haakjes weg: x(t) = 2t² − t³, dus

x'(t) = 4t − 3t² = t(4 − 3t) = 0 → t = 0 of t = 43

Bij t = 0 is x = 0, dat is het begin van de baan en niet het verste punt. Het maximum zit bij t = 43:

x = (43)² · (2 − 43) = 169 · 23 = 3227 y = a · 43 · 23 = 89a

Punt B. y(t) = 2at − at², dus

y'(t) = 2a − 2at = 0 → t = 1 → B = (1, a)

De rc van AB.

rc = 89a − a3227 − 1 = −19a527 = −19a · 275 = −35a

−35a = −1 → a = 53

Waarom is t = 1 echt het hoogste punt? Voor a > 0 is y'(t) = 2a(1 − t) positief vóór t = 1 en negatief erna: eerst stijgen, dan dalen. Het antwoord a = 53 is ook echt positief, dus dat klopt.

Opgave 6: Gebroken gonio

De functie is

f(x) = 1 + 2sin(x)1 + cos(x) voor 0 ≤ x < 3π, maar x ≠ π

Bij x = π en x = 3π is cos(x) = −1, dus de noemer 0: daar zitten twee verticale asymptoten. De lijn y = 1 snijdt de grafiek in A, B en C (van links naar rechts).

Vraag 13 · 3 punten

Wat wordt er gevraagd? Toon op algebraïsche wijze aan dat AB = BC.

Het idee. A, B en C liggen alle drie op hoogte 1, dus AB en BC zijn gewoon verschillen in x. Los f(x) = 1 op. Er komt een tangens-vergelijking uit, en de oplossingen daarvan liggen steeds precies π uit elkaar.

Opfrissen: Goniometrische vergelijkingen oplossen en tan = sin gedeeld door cos.

Bekijk de uitwerking van vraag 13

1 + 2sin(x)1 + cos(x) = 1 → 1 + 2sin(x) = 1 + cos(x) → 2sin(x) = cos(x)

Mag je hier door cos(x) delen? Normaal doe je dat nooit zomaar, want dan kun je oplossingen kwijtraken: de plekken waar cos(x) = 0. Controleer die dus eerst. Als cos(x) = 0, dan zou ook 2sin(x) = 0 moeten zijn. Maar sin en cos zijn nooit tegelijk 0 (op de eenheidscirkel is dat het middelpunt, en daar ligt geen enkel punt van de cirkel). Je verliest dus niks, en je mag delen:

tan(x) = sin(x)cos(x) = 12

Waarom liggen de oplossingen π uit elkaar? Ga je op de eenheidscirkel een halve slag (π) verder, dan kom je recht tegenover uit: sin en cos klappen allebei van teken om. Hun verhouding, de tangens, blijft dan hetzelfde. Dus

x = tan⁻¹(12) + k · π (≈ 0,46 + k · π)

Op het domein geeft dat drie oplossingen, telkens π verder: ongeveer 0,46, 3,61 en 6,75 (de volgende, 9,89, ligt voorbij 3π ≈ 9,42). Dat zijn A, B en C. Omdat ze allemaal op hoogte 1 liggen, is

AB = x_B − x_A = π en BC = x_C − x_B = π, dus AB = BC

Vraag 14 · 6 punten

Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat voor de x-coördinaat van de top T geldt:

5cos²(x) + 8cos(x) + 3 = 0

Let op het woord top. Op deze site is een top een hoogste punt, maar op het examen betekent "top" elk punt waar de grafiek omkeert: een hoogste óf een laagste punt. T is hier eigenlijk een dal.

Het idee. Bij een top is de afgeleide 0. Differentieer met de quotiëntregel en stel de teller gelijk aan 0. Er komt een vergelijking met sin én cos uit; met sin²(x) + cos²(x) = 1 werk je de sinus weg, zodat er alleen cos overblijft.

Opfrissen: de quotiëntregel en sin² + cos² = 1 (die staat níét op de formulelijst, dus die moet je zelf kennen). "Bewijs" betekent dat elke stap uit de vorige moet volgen: zie Examenwerkwoorden.

Bekijk de uitwerking van vraag 14

Differentiëren. De teller 1 + 2sin(x) heeft afgeleide 2cos(x), de noemer 1 + cos(x) heeft afgeleide −sin(x). Met de quotiëntregel ("noemer maal afgeleide teller, min teller maal afgeleide noemer, gedeeld door de noemer in het kwadraat"):

f'(x) = (1 + cos(x)) · 2cos(x) − (1 + 2sin(x)) · (−sin(x))(1 + cos(x))²

De teller uitwerken.

2cos(x) + 2cos²(x) + sin(x) + 2sin²(x)

= 2cos(x) + sin(x) + 2(cos²(x) + sin²(x))

= 2cos(x) + sin(x) + 2

Top: f'(x) = 0. Een breuk is 0 als de teller 0 is:

2cos(x) + sin(x) + 2 = 0 → sin(x) = −2 − 2cos(x)

De sinus wegwerken. Kwadrateer beide kanten, zodat er sin²(x) komt te staan:

sin²(x) = 4 + 8cos(x) + 4cos²(x)

Vervang sin²(x) door 1 − cos²(x):

1 − cos²(x) = 4 + 8cos(x) + 4cos²(x) → 0 = 5cos²(x) + 8cos(x) + 3

Dat is precies wat bewezen moest worden.

Let op wat je hier wél en niet hebt bewezen. Door het kwadrateren kunnen er oplossingen bij zijn gekomen die niet bij een top horen. De top voldoet aan deze vergelijking, maar niet elke oplossing is de top. Precies dat zoek je in vraag 15 uit.

Vraag 15 · 5 punten

Wat wordt er gevraagd? Bereken algebraïsch de y-coördinaat van T.

Het idee. De vergelijking uit vraag 14 is een gewone kwadratische vergelijking als je cos(x) even een letter geeft. Daarna heb je sin(x) nodig om f(x) in te vullen. En pas op: door het kwadrateren moet je controleren welke oplossing echt klopt.

Opfrissen: Vergelijkingen exact oplossen (ontbinden, en schijnoplossingen na kwadrateren).

Bekijk de uitwerking van vraag 15

Oplossen. Noem cos(x) = c:

5c² + 8c + 3 = 0 → (5c + 3)(c + 1) = 0 → c = −35 of c = −1

cos(x) = −1 hoort bij x = π, en daar zit de asymptoot. Die valt af. Dus cos(x) = −0,6.

De sinus. Uit sin²(x) = 1 − 0,36 = 0,64 volgt sin(x) = 0,8 of sin(x) = −0,8. Welke hoort bij de top? Kijk terug naar de vergelijking vóór het kwadrateren:

sin(x) = −2 − 2cos(x) = −2 − 2 · (−0,6) = −2 + 1,2 = −0,8

Invullen.

y_T = 1 + 2 · (−0,8)1 + (−0,6) = −0,60,4 = −1,5

Met sin(x) = 0,8 had je 2,60,4 = 6,5 gekregen. Dat kan ook niet kloppen, want T ligt onder de x-as. Zo'n tweede controle is altijd handig: kijk in de figuur of je antwoord past.

Opgave 7: Begrensde inhoud

De functie is

f(x) = e^−x − e^−2x

De grafiek begint in de oorsprong. Neem een getal p > 0 en kijk naar het vlakdeel tussen de grafiek, de x-as en de lijn x = p. Draai dat vlakdeel rond de x-as: zo ontstaat een omwentelingslichaam met inhoud L_p.

Vraag 16 · 6 punten

Wat wordt er gevraagd? Bewijs dat

L_p = 112π(1 − 6e^−2p + 8e^−3p − 3e^−4p)

Het idee. De inhoud van een omwentelingslichaam is π∫(f(x))² dx. Werk het kwadraat netjes uit, primitiveer elk stuk apart, en vul de grenzen 0 en p in.

Opfrissen: Oppervlakte & inhoud met integralen en e-machten primitiveren.

Bekijk de uitwerking van vraag 16

L_p = π∫p0 (e^−x − e^−2x)² dx

Het kwadraat uitwerken. Gebruik (a − b)² = a² − 2ab + b², en bij machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op:

(e^−x − e^−2x)² = e^−2x − 2e^−3x + e^−4x

Primitiveren. Een primitieve van e^kx is 1ke^kx. Dus:

e^−2x → −12e^−2x −2e^−3x → −2 · (−13)e^−3x = 23e^−3x e^−4x → −14e^−4x

F(x) = −12e^−2x + 23e^−3x − 14e^−4x

Grenzen invullen. Bij x = 0 is elke e-macht 1:

F(0) = −12 + 23 − 14 = −612 + 812 − 312 = −112

L_p = π(F(p) − F(0)) = π(−12e^−2p + 23e^−3p − 14e^−4p + 112)

Haal 112 buiten de haakjes. Dan wordt alles binnen de haakjes keer 12: −12 · 12 = −6, 23 · 12 = 8 en −14 · 12 = −3:

L_p = 112π(1 − 6e^−2p + 8e^−3p − 3e^−4p)

De klassieke fout hier: (e^−x − e^−2x)² uitwerken als e^−2x − e^−4x. Een kwadraat van een verschil heeft altijd drie termen. Zie ook De 10 algebrafouten.

Vraag 17 · 4 punten

Wat wordt er gevraagd? Als p onbegrensd groter wordt, nadert L_p een grenswaarde L. Voor welke p is L_p precies de helft van L? Geef p in twee decimalen.

Het idee. Eerst L: wat gebeurt er met de e-machten als p heel groot wordt? Daarna stel je L_p = 12L en los je dat op met je rekenmachine (er staat niet "exact").

Opfrissen: limieten (wat doet e^−2p als p naar oneindig gaat?).

Bekijk de uitwerking van vraag 17

De grenswaarde. Als p heel groot wordt, worden e^−2p, e^−3p en e^−4p allemaal bijna 0 (één gedeeld door een reusachtig getal). Er blijft over:

L = 112π · 1 = 112π (≈ 0,26)

De helft. Stel L_p = 124π. De 112π valt dan aan beide kanten weg, en je houdt over:

1 − 6e^−2p + 8e^−3p − 3e^−4p = 12

Voer de linkerkant in als y1 en y2 = 0,5, en laat het snijpunt berekenen. Dat geeft

p ≈ 0,95

Probeer het in de widget hierboven: rond p = 0,95 staat de uitlezing op 50%. Opvallend is hoe vroeg dat is. De helft van de hele inhoud zit al in het stukje tot x ≈ 0,95; alles daarna samen is de andere helft.

Wat dit examen je leert

Een paar dingen die in dit examen steeds terugkwamen, en die je op elk examen punten opleveren:

Het domein doet mee. In vraag 3 viel x = 3 af omdat het buiten het domein lag, in vraag 15 viel cos(x) = −1 af omdat daar een asymptoot zit. Noem die reden altijd.
Na kwadrateren controleren. In vraag 15 gaf het kwadrateren twee waarden voor sin(x), en maar één klopte.
"Top" betekent op het examen hoogste óf laagste punt. In opgave 6 lag de top zelfs onder de x-as.
Niet tussendoor afronden. In vraag 9 verandert een afgeronde K of L je eindantwoord, en dat kan een punt kosten.
Schrijf op wat je rekenmachine doet. Bij vraag 10 en 17 mocht de rekenmachine het werk doen, maar alleen "p = 0,95" opschrijven is niet genoeg.

Wil je de rest van je voorbereiding plannen? Het leerschema zet alle onderwerpen in een week-voor-week-planning, met hele examens zoals dit in de laatste week.

Hetzelfde examen, maar dan het andere tijdvak: vwo wiskunde B 2026, 2e tijdvak uitgewerkt. Of een ander jaar: vwo wiskunde B 2025, 1e tijdvak en 2e tijdvak.

Liep je bij een paar vragen vast?

Dat is precies de informatie die je nu nodig hebt: het laat zien welke onderwerpen nog niet zitten. In een kennismaking kijken we samen naar waar het misging, en maken we een plan voor de tijd die je nog hebt. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking