Bijles

Home › Differentiëren en integreren › Extremen, buigpunten en optimaliseren

Extremen, buigpunten en optimaliseren

Zodra je de afgeleide kunt uitrekenen, kun je de bijzondere punten van een grafiek opsporen: de toppen, de dalen en het punt waar de bocht omslaat. En daarmee kun je ook echte problemen oplossen, zoals "hoe groot kan die oppervlakte maximaal worden?"

Waar gaat dit over?

Een top is een plek waar de grafiek even het hoogst staat voordat hij weer daalt; een dal is een plek waar hij even het laagst staat voordat hij weer stijgt. Toppen en dalen samen noemen we extremen (een top is een maximum, een dal een minimum). Een buigpunt is nog iets anders: het punt waar de grafiek van bol naar hol overgaat, oftewel waar de bocht van kant wisselt.

Op deze pagina leer je die drie soorten punten vinden met de afgeleide, en daarna optimaliseren: een grootheid (een oppervlakte, een inhoud, een afstand) zo groot of zo klein mogelijk maken. Dat blijkt gewoon "een top of dal zoeken" in vermomming.

Je hebt hiervoor twee dingen nodig: weten wat de afgeleide betekent (dat leer je bij De afgeleide: helling, raaklijn en hellinggrafiek) en die afgeleide kunnen uitrekenen (de regels staan bij Productregel, quotiëntregel en kettingregel).

Het idee: stijgen, dalen en de helling

Alles op deze pagina draait om één ding dat je al kent: het teken van de afgeleide vertelt of de grafiek stijgt of daalt.

Een top of dal zit dus altijd op een plek waar f'(x) = 0: net vóór een top stijgt de grafiek nog (f' positief) en net erna daalt hij (f' negatief), dus precies op de top is de helling even nul. Bij een dal net andersom. Daarom is de aanpak steeds: eerst f' uitrekenen, dan kijken waar die nul wordt, en dan het teken eromheen bekijken.

💡 Waarom niet gewoon "f'(x) = 0 is een top of dal"?

Omdat een vlakke raaklijn nog niet betekent dat de grafiek daar omkeert. Kijk maar naar f(x) = x³: de afgeleide is f'(x) = 3x², en die is nul bij x = 0. Toch is x = 0 géén top of dal: de grafiek stijgt ervoor én erna, hij haalt alleen heel even adem. Zo'n punt heet een buigpunt met een vlakke raaklijn. De les: f'(x) = 0 levert alleen kandidaten op. Of het echt een top of dal is, moet je nog controleren, en dat doe je met een tekenschema.

Het gereedschap: het tekenschema van f'

Een tekenschema (je hoort ook wel tekenverloop) is een getallenlijn waarop je per stuk opschrijft of f' positief of negatief is. Zo zie je in één oogopslag waar de grafiek stijgt, waar hij daalt, en dus waar de toppen en dalen liggen.

Zo maak je er een: los f'(x) = 0 op, zet die x-waarden op een lijn, en vul in elk tussenstuk één getal in om te zien of f' daar plus of min is. Waar het teken van + naar − springt heb je een top, waar het van − naar + springt een dal.

Speel er hieronder mee. Je ziet de grafiek van f(x) = x³ + p·x, waarin je het getal p kunt verschuiven. Onder de grafiek bouwt zich het tekenschema van f' op. Let vooral op wat er gebeurt rond p = 0.

De grafiek van f(x) = x³ + p·x (groen = stijgend, rood = dalend)

Tekenschema van de afgeleide

De tweede afgeleide en buigpunten

De afgeleide van f vertelt hoe steil f loopt. Maar je kunt f' zelf ook weer differentiëren. Dat geef je de tweede afgeleide, geschreven als f''(x) (spreek uit: "f dubbel accent"). Waar f' zegt hóe steil de grafiek is, zegt f'' hoe die steilheid zélf verandert: wordt de grafiek steeds steiler, of juist steeds vlakker?

Een buigpunt is het punt waar de grafiek van hol naar bol overgaat (of andersom): waar de bocht van kant wisselt. Daar is de tweede afgeleide nul, met een tekenwissel:

buigpunt: f''(x) = 0, en f'' wisselt daar van teken

Bij een derdegraadsfunctie is er altijd precies één buigpunt: het is het punt waar de grafiek het steilst loopt en waar de S-bocht "kantelt".

💡 Twee manieren om een top of dal te herkennen

Als je een plek hebt waar f'(x) = 0, kun je op twee manieren nagaan wat voor punt het is:

1. Het tekenschema van f' (werkt altijd): + naar − is een top, − naar + is een dal, geen wissel is geen extreem.

2. De tweede afgeleide invullen (vaak sneller): is f'' daar negatief, dan kromt de grafiek als ∩ en heb je een top; is f'' positief, dan kromt hij als ∪ en heb je een dal. Alleen als f'' óók nul is, zegt deze manier niets en moet je terug naar het tekenschema.

⚠️ Waar het misgaat

1. Denken dat f'(x) = 0 altijd een top of dal is. Zoals bij x³ hierboven: de raaklijn kan vlak liggen zonder dat de grafiek omkeert. Controleer daarom altijd het tekenverloop; alleen een echte wissel van + naar − of andersom geeft een extreem.

2. De y-waarde vergeten, of x in f' invullen. Als je x = 1 vindt als plek van een top, dan is de hoogte van die top f(1), niet f'(1). In f' vullen levert juist 0 op (dat was immers de voorwaarde). Vul de gevonden x dus in de oorspronkelijke functie in om de coördinaten te krijgen.

3. Een buigpunt zoeken met f'(x) = 0. Een buigpunt hoort bij de tweede afgeleide: f''(x) = 0 met tekenwissel. Bij f'(x) = 0 zoek je juist toppen en dalen.

4. Bij optimaliseren te vroeg differentiëren. Staat er nog meer dan één variabele in je formule, dan kun je niet zomaar de afgeleide nemen. Werk eerst met het gegeven verband één variabele weg, zodat er een functie van één variabele overblijft.

📋 Toppen en dalen bepalen

  1. Differentieer: bepaal f'(x).
  2. Los f'(x) = 0 op. Dit zijn de x-waarden waar de raaklijn vlak ligt: de kandidaten voor een top of dal.
  3. Maak een tekenschema van f'. Zet die x-waarden op een getallenlijn en vul in elk tussenstuk één getal in: is f' daar positief (+, f stijgt) of negatief (−, f daalt)?
  4. Lees af wat voor punt het is: + naar − is een top (maximum), − naar + een dal (minimum). Blijft het teken gelijk, dan is het géén extreem.
  5. Bereken de y-waarde: vul de x van elk extreem in de oorspronkelijke functie f in. Nu heb je de coördinaten van de top of het dal.

Een buigpunt vind je met dezelfde aanpak, maar dan een verdieping: bereken f''(x), los f''(x) = 0 op, controleer dat f'' daar van teken wisselt, en bereken de y-waarde met f.

Uitgewerkte examenopgave

Gegeven is de functie f(x) = x³ − 6x² + 9x. Bepaal de coördinaten van de toppen en dalen, en van het buigpunt.

De grafiek van f: groen waar hij stijgt, rood waar hij daalt. De blauwe punten zijn de top (1, 4) en het dal (3, 0); het oranje punt is het buigpunt (2, 2), waar de grafiek van hol naar bol overgaat.

Stap 1: differentiëren. Term voor term met de machtregel:

f'(x) = 3x² − 12x + 9

Stap 2: los f'(x) = 0 op. Deel eerst door 3, dat rekent prettiger:

3x² − 12x + 9 = 0  →  x² − 4x + 3 = 0  →  (x − 1)(x − 3) = 0

x = 1  of  x = 3

Stap 3: tekenschema van f'. De parabool 3x² − 12x + 9 is een dalparabool (opent naar boven), dus positief buiten de nulpunten en negatief ertussen. Even checken door getallen in te vullen: f'(0) = 9 (+), f'(2) = 12 − 24 + 9 = −3 (−), f'(4) = 48 − 48 + 9 = 9 (+).

x:   ←  +  | 1 |  −  | 3 |  +  →

Bij x = 1 gaat het teken van + naar −: een top. Bij x = 3 van − naar +: een dal.

Stap 4: de y-waarden. Vul in de oorspronkelijke functie in:

f(1) = 1 − 6 + 9 = 4  →  top (1, 4)

f(3) = 27 − 54 + 27 = 0  →  dal (3, 0)

Stap 5: het buigpunt. Differentieer f' nog een keer, los op, en controleer de tekenwissel:

f''(x) = 6x − 12 = 0  →  x = 2

Links van 2 is f'' negatief (bijv. f''(0) = −12, grafiek hol), rechts positief (f''(4) = 12, grafiek bol): het teken wisselt, dus x = 2 is een buigpunt. De hoogte is f(2) = 8 − 24 + 18 = 2, dus het buigpunt is (2, 2).

🔎 Controle

Het buigpunt (2, 2) ligt precies tussen de top (1, 4) en het dal (3, 0) in, zowel in de x als in de hoogte. Dat klopt met de figuur: op het buigpunt loopt de grafiek het steilst omlaag, midden op de S-bocht tussen de top en het dal.

Optimaliseren: het grootst of kleinst maken

Bij een optimaliseringsprobleem krijg je geen kant-en-klare functie, maar een situatie in gewone taal: "voor welke afmetingen is de inhoud het grootst?" of "wanneer is de afstand het kleinst?" Het woord maximaal of minimaal verraadt wat er gevraagd wordt: een top of een dal. En die kun je sinds deze pagina vinden. Het enige extra werk is dat je de functie eerst zélf moet opstellen uit het verhaaltje.

Dat opstellen heeft steeds hetzelfde patroon. Geef de maat die je mag kiezen een letter, meestal x (de zijde van een vierkantje, de straal van een blik, de lengte van een zijde). Schrijf daarmee een formule op voor wat je groot of klein wilt maken. Hangt die formule nog van een tweede onbekende af, dan is er altijd een verband gegeven dat de twee aan elkaar knoopt (denk aan "samen 40 meter hek" of "een vel van 12 bij 12"). Met dat verband werk je die tweede letter weg, zodat er een functie van alleen x overblijft. En vanaf daar is het weer precies wat je net hebt geleerd: los f'(x) = 0 op en check met een tekenschema of het een top of dal is.

📋 Een optimaliseringsprobleem aanpakken

  1. Geef de onbekende maat een letter (meestal x) en schrijf daarmee een formule op voor wat je groot of klein wilt maken (bijvoorbeeld oppervlakte A of inhoud V).
  2. Druk alles uit in één letter. Staat er nog een tweede onbekende in je formule, gebruik dan het gegeven verband (een vaste omtrek, oppervlakte of hoeveelheid materiaal) om die weg te werken. Je houdt dan een functie over die alleen van x afhangt.
  3. Differentieer en stel de afgeleide gelijk aan 0.
  4. Los op en kies de oplossing die bij het probleem past (een lengte kan niet negatief zijn).
  5. Controleer met een tekenschema dat het echt een maximum (of minimum) is, en beantwoord dan pas de vraag: soms willen ze de afmeting, soms de maximale waarde zelf.

Uit een vierkant vel karton van 12 bij 12 cm knip je in elke hoek een even groot vierkantje weg. Daarna vouw je de vier randen omhoog tot een open bakje. Hoe groot moet je de weggeknipte vierkantjes maken zodat het bakje de grootste inhoud krijgt?

Voordat we rekenen: waaróm is dit eigenlijk een vraag? Je zou denken dat je de meeste ruimte overhoudt door zo min mogelijk weg te knippen. Maar let op wat x doet: de zijde die je wegknipt, wordt na het opvouwen de hoogte van het bakje. Knip je niks weg (x = 0), dan blijft het vel plat: hoogte 0, dus inhoud 0. Knip je juist bijna alles weg (x bijna 6), dan is het bakje hoog maar heeft het amper nog een bodem: inhoud weer bijna 0. Ergens tussen die twee uitersten is de inhoud het grootst, en dat is precies wat we zoeken.

Schuif met x en kijk wat er met het bakje gebeurt

weggeknipt: hoogte: bodem: inhoud:

Links zie je het vlakke vel van bovenaf: de rode hoekjes knip je weg en langs de blauwe stippellijnen vouw je de randen omhoog. Rechts staat het opgevouwen bakje. Nu de berekening.

Stap 1: de formule. Noem de zijde van een weggeknipt vierkantje x. Na het opvouwen is de hoogte van het bakje x, en de bodem is een vierkant dat aan beide kanten 2x korter is geworden: 12 − 2x bij 12 − 2x. De inhoud is lengte keer breedte keer hoogte:

V(x) = x·(12 − 2x)²

Stap 2: alles in één letter. Dat zit hier al goed: de hele vorm van het bakje volgt uit x, dus V hangt alleen van x af en er is geen tweede letter om weg te werken. (In opgaven waar wél een tweede maat opduikt, gebruik je eerst het gegeven verband, zoals in oefenopgave 3 hieronder.) Bedenk nog wel dat x tussen 0 en 6 moet liggen: knip je 6 weg, dan blijft er geen bodem meer over.

Stap 3: differentiëren. Hier gebruik je de product- en kettingregel. Het eerste stuk is x (afgeleide 1), het tweede stuk is (12 − 2x)² (afgeleide 2·(12 − 2x)·(−2) met de kettingregel):

V'(x) = 1·(12 − 2x)² + x·2·(12 − 2x)·(−2)

V'(x) = (12 − 2x)² − 4x·(12 − 2x)

Zet nu de gemeenschappelijke factor (12 − 2x) buiten haakjes, dat maakt oplossen makkelijk:

V'(x) = (12 − 2x)·[(12 − 2x) − 4x] = (12 − 2x)(12 − 6x)

Stap 4: oplossen. Een product is nul als een van de factoren nul is:

12 − 2x = 0  →  x = 6   (valt af: dan is er geen bodem)

12 − 6x = 0  →  x = 2

Stap 5: controleren en antwoorden. Vul links en rechts van x = 2 een getal in V' in: V'(1) = 10·6 = 60 (+, stijgend) en V'(3) = 6·(−6) = −36 (−, dalend). Het teken gaat van + naar −, dus x = 2 is inderdaad een maximum. De grootste inhoud is:

V(2) = 2·(12 − 4)² = 2·8² = 2·64 = 128

Je knipt dus vierkantjes van 2 bij 2 cm weg; het bakje heeft dan een inhoud van 128 cm³.

De inhoud V(x) voor elke x: stijgend (groen) tot x = 2, daarna dalend (rood). De top bij x = 2 is het maximum van 128 cm³. En let op de uitersten: bij x = 0 en bij x = 6 is de inhoud 0, precies zoals je in de tekening hierboven zag. ✓

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen, anders leer je alleen dat je het kunt lézen.

Opgave 1. Bepaal de coördinaten van de toppen en dalen van f(x) = x³ − 3x.

Differentieer en los f'(x) = 0 op:

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1)

x = −1  of  x = 1

Tekenschema: 3x² − 3 is een dalparabool, dus + buiten [−1, 1] en − ertussen. Bij x = −1 gaat het teken van + naar − (een top), bij x = 1 van − naar + (een dal). De y-waarden:

f(−1) = −1 + 3 = 2  →  top (−1, 2)

f(1) = 1 − 3 = −2  →  dal (1, −2)

De top (−1, 2) en het dal (1, −2), precies op de plekken waar de grafiek van stijgen naar dalen wisselt en terug. ✓

Opgave 2. Gegeven is f(x) = x³ − 3x² + 2. Voor welke x stijgt de grafiek, en wat zijn de coördinaten van het buigpunt?

Stijgen of dalen lees je af uit f':

f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)

f'(x) = 0 bij x = 0 en x = 2

De dalparabool 3x(x − 2) is positief buiten [0, 2] en negatief ertussen. De grafiek stijgt dus voor x < 0 en voor x > 2, en daalt tussen 0 en 2. (Bij x = 0 zit dus een top en bij x = 2 een dal.)

Het buigpunt vind je met de tweede afgeleide:

f''(x) = 6x − 6 = 0  →  x = 1

Links van 1 is f'' negatief (hol), rechts positief (bol): tekenwissel, dus een buigpunt. De hoogte is f(1) = 1 − 3 + 2 = 0, dus het buigpunt is (1, 0).

De grafiek stijgt (groen) buiten [0, 2] en daalt (rood) ertussen, met top (0, 2) en dal (2, −2). Het oranje buigpunt (1, 0) ligt er precies tussenin. ✓

Opgave 3 (optimaliseren). Een boer zet met 40 meter hek een rechthoekig weiland af tegen een rechte muur. Langs de muur hoeft geen hek. Bij welke afmetingen is de oppervlakte het grootst?

Stap 1: de formule. Noem de twee zijden die loodrecht op de muur staan allebei x. Het hek loopt langs die twee zijden en langs de kant tegenover de muur; die laatste zijde is dus 40 − 2x lang. De oppervlakte is:

A(x) = x·(40 − 2x) = 40x − 2x²

Stap 2: A hangt al van één variabele af (met 0 < x < 20).

Stap 3 en 4: differentiëren en oplossen.

A'(x) = 40 − 4x = 0  →  x = 10

Stap 5: controleren en antwoorden. A'(9) = 4 (+) en A'(11) = −4 (−): van + naar −, dus een maximum. De zijde tegenover de muur is 40 − 2·10 = 20 meter. Het grootste weiland is dus 10 bij 20 meter, met een oppervlakte van

A(10) = 10·20 = 200 m²

De oppervlakte A(x) als functie van x: stijgend (groen) tot x = 10, daarna dalend (rood). Het maximum van 200 m² zit in de top bij x = 10. ✓

Merk op: de zijde langs de muur (20 m) is precies twee keer zo lang als elk van de zijkanten (10 m). Dat is bij dit soort "tegen een muur"-opgaven altijd zo.

Hiermee kun je de belangrijkste eigenschappen van een grafiek helemaal in kaart brengen: waar hij stijgt en daalt, zijn toppen en dalen, en zijn buigpunt. De volgende stap is de omgekeerde beweging, integreren, waarmee je oppervlaktes onder een grafiek berekent. Dat leer je bij Primitiveren en de bepaalde integraal.

Loop je vast op toppen, dalen of optimaliseren?

Het lastige zit vaak niet in het differentiëren, maar in het opstellen van de juiste formule en het netjes aflezen van een tekenschema. Eén-op-één hebben we dat zo te pakken. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking