Bijles

Home › Meetkunde › Rekenen in driehoeken

Rekenen in driehoeken

Elke driehoek heeft drie zijden en drie hoeken. Ken je er genoeg, dan kun je de rest uitrekenen. Er zijn maar drie gereedschappen voor nodig: Pythagoras, de sinusregel en de cosinusregel.

Een driehoek uitrekenen betekent: je krijgt een paar zijden en hoeken, en jij vindt de zijden en hoeken die nog ontbreken. Dat is de basis van alle meetkunde die daarna komt. Zodra je met coördinaten gaat werken (afstanden tussen punten, de hoek tussen twee lijnen, de raaklijn aan een cirkel), verstop je bijna altijd een driehoek in de figuur en reken je die uit.

Deze regels heb je waarschijnlijk al eens gezien. Op het examen wordt ervan uitgegaan dat je ze kent, dus het is de moeite waard om ze goed op te frissen: ze komen daarna overal terug.

Even opfrissen: de rechthoekige driehoek

Een rechthoekige driehoek is een driehoek met één rechte hoek (een hoek van 90°, herkenbaar aan het kleine vierkantje). De twee zijden die samen de rechte hoek maken heten de rechthoekszijden. De zijde tegenover de rechte hoek is de schuine zijde (ook wel hypotenusa): dat is altijd de langste zijde.

De twee rechthoekszijden maken samen de rechte hoek; de schuine zijde ligt daar tegenover en is de langste. In deze driehoek zijn de rechthoekszijden 3 en 4, en de schuine zijde 5.

📐 De stelling van Pythagoras

In een rechthoekige driehoek geldt: de twee rechthoekszijden in het kwadraat, bij elkaar opgeteld, geven de schuine zijde in het kwadraat.

(rechthoekszijde)² + (rechthoekszijde)² = (schuine zijde)²

Neem de driehoek uit de figuur hierboven, met rechthoekszijden 3 en 4. Dan geeft Pythagoras 3² + 4² = 9 + 16 = 25, dus de schuine zijde is √25 = 5, precies wat er staat. Let op de volgorde: de schuine zijde staat altijd alleen aan de kant van het isgelijkteken, want die is het grootst.

Afstand tussen twee punten

Pythagoras is meteen je gereedschap om de afstand tussen twee punten in een assenstelsel te vinden. Teken tussen de punten een rechthoekige driehoek: één zijde loopt horizontaal, één verticaal, en de afstand die je zoekt is de schuine zijde.

Van P(1, 1) naar Q(5, 4): 4 naar rechts en 3 omhoog. De afstand PQ is de schuine zijde: √(4² + 3²) = √25 = 5.

De horizontale zijde is het verschil van de x-waarden, de verticale zijde het verschil van de y-waarden. Zo krijg je de afstandsformule:

afstand = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Voor P(1, 1) en Q(5, 4): √((5 − 1)² + (4 − 1)²) = √(16 + 9) = √25 = 5. Omdat je de verschillen kwadrateert, maakt het niet uit welk punt je eerst neemt: een min-teken valt na het kwadrateren toch weg.

sin, cos en tan in een rechthoekige driehoek

Met alleen Pythagoras vind je zijden, maar geen hoeken. Voor hoeken gebruik je sinus, cosinus en tangens (afgekort sin, cos en tan). Die verbinden een hoek met de verhouding tussen twee zijden.

Kies eerst een hoek waar je naar kijkt (niet de rechte hoek). Vanuit die hoek krijgen de drie zijden een naam:

Vanuit de gemarkeerde hoek gezien: de overstaande zijde ligt er recht tegenover, de aanliggende zijde zit eraan vast, en de schuine zijde ligt tegenover de rechte hoek.

De drie verhoudingen hebben elk een naam. Het ezelsbruggetje SOS CAS TOA houdt ze uit elkaar:

🔺 SOS CAS TOA

sin(hoek) = OverstaandSchuin    cos(hoek) = AanliggendSchuin    tan(hoek) = OverstaandAanliggend

Sin = Overstaand / Schuin, Cos = Aanliggend / Schuin, Tan = Overstaand / Aanliggend. Ken je een hoek en één zijde, dan vind je hiermee een andere zijde. Ken je twee zijden, dan vind je de hoek met de omgekeerde knop op je rekenmachine: sin⁻¹, cos⁻¹ of tan⁻¹.

Voorbeeld. Een rechthoekige driehoek heeft een hoek van 35° en de aanliggende zijde daarvan is 10 lang. Hoe lang is de overstaande zijde? Je hebt de aanliggende en zoekt de overstaande, dat is de tan:

tan(35°) = overstaand10   →   overstaand = 10 · tan(35°) ≈ 7,0

De sinus en cosinus ken je misschien ook van de eenheidscirkel, waar ze de hoogte en de breedte van een punt op de cirkel aangeven. Wil je opfrissen waar ze precies vandaan komen (en de exacte waarden bij 30°, 45° en 60°), lees dan De eenheidscirkel & exacte waarden.

💡 Waarom die verhoudingen vastliggen: gelijkvormigheid

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze dezelfde hoeken hebben: dezelfde vorm, alleen een andere grootte, als een foto die je vergroot of verkleint. Bij gelijkvormige driehoeken zijn alle zijden met dezelfde factor geschaald, dus de verhouding tussen twee zijden blijft precies gelijk.

Daarom werkt SOS CAS TOA: alle rechthoekige driehoeken met een hoek van bijvoorbeeld 35° zijn gelijkvormig. Hoe groot je de driehoek ook tekent, de verhouding overstaand : schuin is altijd hetzelfde getal. Dat getal hebben we sin(35°) genoemd.

En als de driehoek niet rechthoekig is?

SOS CAS TOA en Pythagoras werken alleen bij een rechte hoek. Heeft de driehoek die niet, dan heb je twee sterkere regels nodig: de sinusregel en de cosinusregel. Ze werken in élke driehoek.

Eerst even de namen op orde. In een driehoek ABC noemen we de hoeken met hoofdletters (A, B, C) en de zijden met kleine letters. De afspraak: zijde a ligt tegenover hoek A, zijde b tegenover hoek B, en zijde c tegenover hoek C. Zo hoort bij elke hoek precies één zijde: die recht ertegenover.

Elke kleine letter ligt tegenover de gelijknamige hoofdletter: a tegenover A, b tegenover B, c tegenover C.

En er is nog een eigenschap die voor elke driehoek geldt en die je hierna steeds gebruikt: de drie hoeken (A, B en C in de figuur) zijn samen altijd 180°. Ken je er dus twee, dan vind je de derde meteen door ze samen van 180° af te trekken. (In een rechthoekige driehoek is één hoek al 90°, dus houden de andere twee samen precies 90° over.)

📏 De sinusregel

Een zijde gedeeld door de sinus van zijn overstaande hoek is voor alle drie de zijden hetzelfde:

asin(A) = bsin(B) = csin(C)

Je gebruikt telkens twee van de drie breuken tegelijk. Handig als je een zijde met zijn overstaande hoek kent (een "koppel"), plus nog één zijde of hoek.

📐 De cosinusregel

Voor elke zijde geldt: die zijde in het kwadraat is de som van de kwadraten van de andere twee, min een correctie met de ingesloten hoek:

a² = b² + c² − 2·b·c·cos(A)

Handig als je twee zijden en de hoek ertussen kent (dan vind je de derde zijde), of als je alle drie de zijden kent (dan vind je een hoek). Voor een hoek schrijf je hem om:

cos(A) = b² + c² − a²2·b·c

💡 De cosinusregel is Pythagoras plus een correctie

Vul in de cosinusregel een rechte hoek in bij A, dus A = 90°. Dan is cos(90°) = 0 en valt de hele correctie weg: a² = b² + c². Dat is precies Pythagoras, met a als schuine zijde. De cosinusregel is dus de grote broer van Pythagoras: hij werkt óók als de hoek geen 90° is, en die extra term −2·b·c·cos(A) verrekent hoe scheef de hoek staat.

⚠️ Waar het misgaat: de verkeerde regel pakken

1. SOS CAS TOA in een scheve driehoek gebruiken. sin, cos en tan als verhouding van zijden gelden alleen bij een rechte hoek. Heeft de driehoek geen rechte hoek, dan moet je de sinus- of cosinusregel gebruiken.

2. De sinusregel pakken waar de cosinusregel moet. Dit is de klassieke instinker. Kijk altijd eerst naar wat je gegeven hebt:

Probeer je bij twee zijden met de hoek ertussen tóch de sinusregel, dan heb je in elke breuk een onbekende en loop je vast. De cosinusregel heeft die situatie juist precies één onbekende.

📋 Het stappenplan

  1. Teken de driehoek en zet alle gegeven zijden en hoeken erin. Benoem de zijden met kleine letters tegenover de hoeken, dan zie je meteen welke koppels je hebt.
  2. Rechte hoek in de driehoek? Gebruik Pythagoras (bij twee zijden) of SOS CAS TOA (met een hoek erbij). Klaar.
  3. Geen rechte hoek? Kies de regel op basis van je gegevens: een koppel zijde + overstaande hoek → sinusregel; twee zijden met de ingesloten hoek, of alle drie de zijden → cosinusregel.
  4. Vul in en los op. Zoek je een hoek uit een sinus of cosinus, gebruik dan sin⁻¹ of cos⁻¹ op je rekenmachine.
  5. Controleer. De drie hoeken horen samen 180° te zijn, en de langste zijde ligt tegenover de grootste hoek. Klopt dat?

Speel met een driehoek

Sleep aan de drie hoekpunten en kijk hoe de zijden en hoeken meebewegen. Onderaan zie je dat een zijde gedeeld door de sinus van zijn overstaande hoek voor alle drie de zijden hetzelfde blijft: dat is de sinusregel, die je hier steeds ziet kloppen.

asin(A) = bsin(B) = csin(C) =

Sleep aan de blauwe punten A, B en C. De drie uitkomsten onder de figuur blijven altijd gelijk aan elkaar, precies zoals de sinusregel zegt. En de hoeken samen zijn steeds 180°.

Uitgewerkte examenopgave

Een landmeter wil de afstand van B naar C weten, maar er staat een schuur tussen die twee punten in. Vanaf punt A meet hij: AB = 50 m, AC = 80 m, en de hoek bij A is 60°. Bereken de afstand BC. Bereken daarna hoek B en hoek C. Rond af op één decimaal.

De gegevens die je krijgt: AB = 50, AC = 80 en de hoek bij A is 60°. De afstand BC is nog onbekend (grijs).

We lopen het stappenplan af.

Stap 1: teken en benoem. De driehoek staat hierboven. De zijde die we zoeken is BC; die ligt tegenover hoek A, dus noemen we hem a. De andere twee zijden benoemen we net zo: b = AC = 80 (tegenover hoek B) en c = AB = 50 (tegenover hoek C).

Stap 2: is er een rechte hoek? Nee. Hoek A is 60° en verder is geen hoek gegeven, dus er is geen rechte hoek om mee te werken. Pythagoras en SOS CAS TOA vallen af; we hebben de sinus- of cosinusregel nodig.

Stap 3: kies de regel. We kennen twee zijden (b = 80 en c = 50) met de hoek A er precies tussenin. Dat is de situatie voor de cosinusregel, met a als de zijde die we zoeken.

Stap 4: invullen en oplossen. Eerst de afstand BC (dat is a) met de cosinusregel:

a² = b² + c² − 2·b·c·cos(A) = 80² + 50² − 2·80·50·cos(60°)

a² = 6400 + 2500 − 8000 · 12 = 8900 − 4000 = 4900

a = √4900 = 70 (dus BC = 70 m)

Nu ken je alle drie de zijden (a = 70, b = 80, c = 50) én een koppel: a = 70 tegenover hoek A = 60°. Met de sinusregel vind je een tweede hoek. Ik zoek hoek C, tegenover de kortste zijde (c = 50): die is gegarandeerd de kleinste, scherpe hoek, dus daar kan geen verwarring ontstaan.

sin(C)c = sin(A)a   →   sin(C) = c · sin(A)a = 50 · sin(60°)70 ≈ 0,6186

C = sin⁻¹(0,6186) ≈ 38,2°

De laatste hoek volgt uit "samen 180°":

B = 180° − 60° − 38,2° = 81,8°

Stap 5: controleer. De langste zijde (b = 80, dus AC) hoort tegenover de grootste hoek te liggen. En inderdaad: de grootste hoek is B = 81,8°, precies de hoek tegenover AC. ✓ En de hoeken samen: 60° + 81,8° + 38,2° = 180°. ✓ Zo ziet de volledig ingevulde driehoek eruit:

De volledig ingevulde driehoek: de gevonden afstand BC = 70 en de hoeken B = 81,8° en C = 38,2° (groen), naast de gegeven zijden en hoek A (blauw).

🎯 Waarom eerst de kleinste hoek?

Als je met de sinusregel een hoek zoekt, kan het antwoord soms twee kanten op: een scherpe hoek (kleiner dan 90°) of zijn stompe partner die dezelfde sinus heeft. Kies daarom de hoek tegenover de kortste zijde; die is altijd de kleinste hoek van de driehoek en dus zeker scherp. De grootste hoek reken je daarna veilig uit met "samen 180°", precies zoals hierboven.

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Teken bij elke opgave de driehoek en bepaal eerst welke regel je nodig hebt.

Opgave 1 (rechthoekige driehoek). Een ladder van 6 m staat tegen een muur. De voet staat 2 m van de muur. Hoe hoog reikt de ladder tegen de muur? En welke hoek maakt de ladder met de grond?

De muur en de grond maken een rechte hoek. De ladder is de schuine zijde (6 m), de afstand tot de muur is de onderste rechthoekszijde (2 m).

De hoek tussen muur en grond is recht, dus dit is een rechthoekige driehoek en Pythagoras mag. De ladder (6) is de schuine zijde, de afstand tot de muur (2) een rechthoekszijde. De hoogte h is de andere rechthoekszijde:

2² + h² = 6²   →   h² = 36 − 4 = 32   →   h = √32 = 4√2 ≈ 5,7 m

Voor de hoek α met de grond: de aanliggende zijde is 2, de schuine zijde 6. Aanliggend en schuin, dat is de cosinus:

cos(α) = 26   →   α = cos⁻¹(13) ≈ 70,5°

Controle met Pythagoras: √2 ≈ 1,41, dus 4√2 ≈ 5,66; en 2² + 5,66² ≈ 4 + 32 = 36 = 6². ✓

Opgave 2 (drie zijden gegeven). Een driehoek heeft zijden van 5, 6 en 7. Bereken de grootste hoek. Rond af op één decimaal.

De grootste hoek ligt tegenover de langste zijde (7). Dat is de hoek die hier groen gemarkeerd is.

Je hebt alle drie de zijden, dus: cosinusregel. De grootste hoek ligt tegenover de langste zijde (7). Noem die hoek A, dan is a = 7 en zijn de andere twee b = 6 en c = 5. Gebruik de omgeschreven vorm:

cos(A) = b² + c² − a²2·b·c = 6² + 5² − 7²2·6·5 = 36 + 25 − 4960 = 1260 = 0,2

A = cos⁻¹(0,2) ≈ 78,5°

Merk op: had de teller een negatief getal opgeleverd, dan was de cosinus negatief geweest en de hoek stomp (groter dan 90°). Bij de langste zijde kan dat, en de cosinusregel geeft dat vanzelf goed aan.

Opgave 3 (twee hoeken en een zijde). In driehoek ABC is hoek A = 40°, hoek B = 75° en zijde a (tegenover A) is 10. Bereken zijde b. Rond af op één decimaal.

Gegeven: hoek A = 40°, hoek B = 75° en de zijde a = 10 tegenover A (blauw). Gevraagd: zijde b tegenover B (groen).

Je hebt een compleet koppel: zijde a = 10 met zijn overstaande hoek A = 40°. En je zoekt zijde b, waarvan je de overstaande hoek B = 75° kent. Twee koppels, dus: sinusregel.

bsin(B) = asin(A)   →   b = a · sin(B)sin(A) = 10 · sin(75°)sin(40°) ≈ 15,0

Controle: b (15,0) is langer dan a (10), en inderdaad ligt b tegenover de grotere hoek (75° tegen 40°). De langste zijde bij de grootste hoek. ✓ De derde hoek is trouwens C = 180° − 40° − 75° = 65°.

Hiermee kun je in elke driehoek de ontbrekende zijden en hoeken vinden. In de volgende pagina's van deze hub leg je driehoeken, lijnen en cirkels in een assenstelsel, en gebruik je precies deze regels om met coördinaten te rekenen.

Kom je er niet uit?

De juiste regel kiezen is het halve werk, en dat is precies waar het op het examen vaak misgaat. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking