Home › Meetkunde › Lijnen

Lijnen: vergelijking, richtingscoëfficiënt en loodrecht

Zodra een lijn in een assenstelsel ligt, kun je hem in één formule vangen. Met die formule reken je uit waar twee lijnen elkaar snijden, wanneer ze loodrecht op elkaar staan, en hoe ver een punt van een lijn af ligt.

In een assenstelsel heeft elk punt twee coördinaten: de x zegt hoe ver het punt naar rechts ligt, de y hoe hoog het staat. Een punt schrijf je als A(3, 5): eerst de x, dan de y.

Een lijn is een verzameling van zulke punten. De vergelijking van een lijn is de eis waaraan de coördinaten van een punt moeten voldoen om op die lijn te liggen. Neem de lijn y = 2x − 1. Ligt A(3, 5) erop? Vul de x in: 2 · 3 − 1 = 5, en dat is precies de y van A. Dus ja. En B(4, 3)? Dan krijg je 2 · 4 − 1 = 7, en dat is geen 3. B ligt er dus naast.

Op deze pagina leer je zo'n vergelijking zelf opstellen, en wat je er daarna mee kunt: het snijpunt van twee lijnen berekenen, een lijn maken die loodrecht op een andere staat, en de afstand van een punt tot een lijn bepalen.

De richtingscoëfficiënt: hoe schuin staat de lijn

Het belangrijkste getal van een lijn is de richtingscoëfficiënt, bijna altijd afgekort tot rc en in formules geschreven als de letter m. Die vertelt in één getal hoe schuin de lijn loopt: hoeveel de lijn omhoog gaat als je één stap naar rechts zet. Is de rc 2, dan ga je bij elke stap naar rechts 2 omhoog.

Je leest hem af met een richtingsdriehoek: ga vanaf een punt op de lijn een stuk naar rechts, en dan omhoog (of omlaag) tot je weer op de lijn zit. Die twee stukken vormen samen met de lijn een driehoek, en dan is:

rc = hoeveel omhooghoeveel naar rechts

Het maakt dus niet uit welk stuk van de lijn je pakt. De richtingsdriehoeken die je tekent zijn gelijkvormig (dezelfde vorm, andere grootte), en dan blijft de verhouding tussen de zijden gelijk. Zegt gelijkvormigheid je niets meer, kijk dan even bij Rekenen in driehoeken.

De rc uit twee punten

Ken je twee punten van de lijn, dan is de richtingsdriehoek al bijna klaar: het stuk naar rechts is het verschil van de x-en, het stuk omhoog het verschil van de y's. Noem de punten (x₁, y₁) en (x₂, y₂):

rc = y₂ − y₁x₂ − x₁

Voor P(1, 2) en Q(5, 4) geeft dat (4 − 2) / (5 − 1) = 2 / 4, dus rc = 12. Welk punt je eerst neemt maakt niet uit, zolang je boven én onder dezelfde volgorde aanhoudt: (2 − 4) / (1 − 5) = −2 / −4 geeft weer 12.

Wat het teken van de rc betekent

• rc groter dan 0: de lijn stijgt (naar rechts gaat hij omhoog). Hoe groter het getal, hoe steiler.
• rc kleiner dan 0: de lijn daalt. Bij rc = −3 ga je per stap naar rechts 3 omlaag.
• rc = 0: de lijn is horizontaal: je gaat nergens omhoog.
• Een verticale lijn heeft geen rc. Je zou nul stappen naar rechts zetten en toch omhoog gaan, en delen door 0 kan niet.

Evenwijdig en loodrecht

Twee lijnen die precies dezelfde kant op lopen en elkaar dus nooit snijden, heten evenwijdig. Dezelfde richting betekent dezelfde schuinte, dus:

evenwijdig ⇔ dezelfde rc

De lijnen y = 2x + 1 en y = 2x − 4 zijn evenwijdig: allebei rc = 2, alleen ligt de tweede lager. In de figuur zie je waarom dat hetzelfde is als "dezelfde richting": de richtingsdriehoek is bij allebei precies dezelfde driehoek.

Staan twee lijnen in een rechte hoek van 90° op elkaar, dan noem je ze loodrecht. Het teken daarvoor is ⊥: met k ⊥ l bedoel je "k staat loodrecht op l". Wat gebeurt er dan met de rc?

Kijk naar wat de kwartslag met de stappen doet. Op lijn k ga je 1 naar rechts en 2 omhoog, dus rc = 2. Draai je die pijl een kwartslag, dan ga je 2 naar links en 1 omhoog: het stuk naar rechts en het stuk omhoog wisselen van plek, en één van de twee draait van teken om. De rc van l is dus 1 gedeeld door −2, oftewel −12.

Dat werkt bij elke lijn hetzelfde, en dat geeft de regel die je uit je hoofd moet kennen:

De hoek tussen twee lijnen

Evenwijdig en loodrecht zijn de twee uitersten: de hoek tussen de lijnen is dan 0° of 90°. Daartussen kan hij elke waarde hebben, en op het examen wordt gevraagd die hoek te berekenen. Dat doe je in twee stappen, met de tangens uit het inzicht hierboven.

Stap 1: bereken van elke lijn de hoek met de x-as met α = tan⁻¹(m). Komt daar een negatief getal uit, dan betekent dat gewoon: de lijn helt de andere kant op (hij daalt).

Stap 2: neem het verschil van die twee hoeken. Is dat meer dan 90°, trek het dan van 180° af; je geeft altijd de scherpe hoek tussen de twee lijnen.

Voorbeeld. Bereken de hoek tussen k: y = x + 1 en l: y = −3x + 5.

α_k = tan⁻¹(1) = 45° (k stijgt onder 45°)

α_l = tan⁻¹(−3) ≈ −71,6° (het minteken: l daalt, onder 71,6° de andere kant op)

verschil = 45° − (−71,6°) = 116,6° (meer dan 90°, dus nog van 180° aftrekken)

hoek tussen k en l = 180° − 116,6° = 63,4°

De controle die altijd werkt: bij evenwijdige lijnen zijn de twee hoeken met de x-as gelijk, dus is het verschil 0°. En staan de lijnen loodrecht, dan komt er precies 90° uit. Verderop kun je dat zelf zien gebeuren in de widget, waar de hoek meeloopt terwijl je sleept.

Er bestaat later in deze hub nog een tweede manier om zo'n hoek te berekenen, zonder tan⁻¹ en zonder gedoe met mintekens: met het inproduct, op Vectoren & het inproduct. Daar heb je de richting van de lijnen voor nodig in plaats van hun richtingscoëfficiënt, en dat werkt ook bij een verticale lijn, die immers geen rc heeft.

De vorm y = mx + n

Tot nu toe ging het over hoe een lijn loopt. Nu de vraag hoe je hem opschrijft. De bekendste manier is:

y = m · x + n

Daarin is m de richtingscoëfficiënt die je hierboven hebt leren kennen, en n de hoogte waarop de lijn de y-as snijdt. Dat laatste zie je zo: vul x = 0 in, dan valt de m-term weg en blijft y = n over. Het punt (0, n) is dus het snijpunt met de y-as.

Bij y = 2x − 1 uit de eerste figuur is m = 2 (per stap naar rechts 2 omhoog) en n = −1 (de lijn kruist de y-as op hoogte −1). In sommige boeken staat er y = ax + b; dat is precies dezelfde vorm, alleen met andere letters.

De andere vorm: ax + by = c

Op het examen krijg je een lijn net zo vaak in deze vorm, met a, b en c gewone getallen:

a · x + b · y = c

Waarom een tweede vorm? Omdat er lijnen zijn die niet in y = mx + n passen: een verticale lijn heeft geen rc, dus daar is geen m voor. In deze vorm lukt het wel, bijvoorbeeld x = 3 (alle punten met x = 3, hoe hoog ze ook liggen).

Je stapt van de ene vorm naar de andere door y vrij te maken of juist naar links te halen. Van 3x + 4y = 12 naar de rc:

4y = −3x + 12

y = −34x + 3 (beide kanten door 4)

Deze lijn heeft dus rc = −34 en snijdt de y-as op hoogte 3. Andersom werkt net zo goed: van y = 2x − 1 maak je 2x − y = 1 door 2x links te zetten en y naar links te halen. Dezelfde lijn, andere jas.

Het snijpunt van twee lijnen

Het snijpunt is het punt waar twee lijnen elkaar kruisen. Dat punt ligt op allebei de lijnen, dus het voldoet aan allebei de vergelijkingen tegelijk. Precies daarom kun je het uitrekenen: je zoekt de x en y die in beide vergelijkingen kloppen.

Zo'n paar vergelijkingen dat tegelijk moet kloppen heet een stelsel. Wil je de algemene aanpak van stelsels opfrissen (ook als beide lijnen in de vorm ax + by = c staan), kijk dan bij Vergelijkingen exact oplossen.

Er zijn drie mogelijke uitkomsten, en die kun je aan de vergelijkingen zien:

• Verschillende rc's: precies één snijpunt. Je vindt netjes één x en één y.
• Gelijke rc, verschillende n (evenwijdig): je krijgt een uitkomst die nooit kan, bijvoorbeeld 2x + 1 = 2x + 4 en dus 1 = 4. De x valt weg en er blijft iets onmogelijks staan. Conclusie: geen snijpunt.
• Gelijke rc én gelijke n (samenvallend): het is twee keer dezelfde lijn, alleen anders opgeschreven (zoals x + 2y = 4 en 2x + 4y = 8). Je krijgt iets dat altijd klopt, zoals 0 = 0. Conclusie: oneindig veel gemeenschappelijke punten.

Speel met twee lijnen

Sleep aan de vier rondjes en kijk wat er met de rc's, de hoek en het snijpunt gebeurt. Probeer het product van de rc's op precies −1 te krijgen: dan verschijnt het vierkantje van de rechte hoek in het snijpunt.

Uitgewerkte examenopgave

Gegeven zijn de lijn k met vergelijking x + 2y = 8 en het punt P(4, 7).

a. Stel een vergelijking op van de lijn l die door P gaat en loodrecht op k staat.
b. Bereken het snijpunt S van k en l.
c. Bereken exact de afstand van P tot de lijn k.

a. De vergelijking van l

We lopen het stappenplan voor het opstellen van een vergelijking af.

Stap 1: schets. Die staat hierboven: de lijn k loopt dalend, en P ligt er rechtsboven naast. De lijn l die we zoeken moet loodrecht op k staan, dus die zal juist stijgen.

Stap 2: de richtingscoëfficiënt. Eerst k omschrijven naar de vorm y = mx + n, want in de vorm x + 2y = 8 kun je de rc niet aflezen:

2y = −x + 8   →   y = −12x + 4

De rc van k is dus −12. Voor de loodlijn draai je die om en zet je er een minteken voor:

m_k = −12   →   m_l = −1m_k = 2 (controle: −12 · 2 = −1 ✓)

Stap 3: n uitrekenen. De lijn l gaat door P(4, 7), dus die x en y moeten kloppen in y = 2x + n:

7 = 2 · 4 + n = 8 + n   →   n = −1

Stap 4: opschrijven.

l: y = 2x − 1

Stap 5: controleren. Vul P in: 2 · 4 − 1 = 7 ✓. En l stijgt inderdaad, terwijl k daalt, precies zoals in de schets. ✓

b. Het snijpunt S

Nu het tweede stappenplan.

Stap 1: allebei als y = mx + n. Dat hebben we al: k: y = −12x + 4 en l: y = 2x − 1.

Stap 2: rc's vergelijken. −12 en 2 zijn verschillend, dus er is precies één snijpunt.

Stap 3: gelijkstellen en x oplossen.

−12x + 4 = 2x − 1

4 + 1 = 2x + 12x (x-en naar rechts, getallen naar links)

5 = 212x   →   x = 2

Stap 4: y erbij zoeken. Vul x = 2 in in l:

y = 2 · 2 − 1 = 3   →   S(2, 3)

Stap 5: controleren in de andere vergelijking, en meteen in de oorspronkelijke vorm van k:

−12 · 2 + 4 = 3 ✓    en    2 + 2 · 3 = 8 ✓

c. De afstand van P tot k

De afstand van een punt tot een lijn meet je altijd loodrecht naar die lijn toe, want dat is de kortste weg; elke schuine verbinding is langer. Die loodrechte verbinding is precies het stuk PS dat we nu hebben liggen: van P over de loodlijn l naar het snijpunt S. (Dit idee komt terug bij Stellingen en bewijzen, bij de bissectrice.)

De afstand tussen twee punten reken je uit met de afstandsformule, die op zijn beurt gewoon Pythagoras is:

PS = √((4 − 2)² + (7 − 3)²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5 ≈ 4,5

Er stond "exact", dus het antwoord is 2√5 en niet het afgeronde 4,5. Zo'n wortel schrijf je zo eenvoudig mogelijk op: uit √20 haal je het kwadraat 4 naar buiten, want √20 = √(4 · 5) = 2√5. Meer daarover staat bij Machts- & wortelfuncties, en wanneer je exact moet antwoorden bij de examenwerkwoorden.

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Maak bij elke opgave eerst een schets: dat is stap 1, en het scheelt de meeste fouten.

Opgave 3. Lees uit de figuur hieronder de vergelijkingen van de lijnen p en q af. Bereken daarna hun snijpunt, en ga na of de lijnen loodrecht op elkaar staan.

Met de rc, de twee vormen van de vergelijking en het snijpunt heb je het gereedschap voor alle rechte lijnen in een assenstelsel. In de volgende pagina van deze hub komt de cirkel erbij: die krijgt ook een vergelijking, en dan snijd je lijnen met cirkels en zoek je raaklijnen. Dat de raaklijn loodrecht op de straal staat, is dan ineens iets wat je kunt uitrekenen.