Home › Meetkunde › Stellingen & bewijzen
Meetkundige stellingen en bewijzen
Een stelling is een meetkundige regel die altijd waar is. Op het examen moet je een handvol van die regels kennen, en soms zelf laten zien dat ze kloppen. Dat laatste heet een bewijs, en dat is minder eng dan het klinkt.
Deze pagina heeft twee helften. Eerst de stellingen zelf: kant-en-klare regels over cirkels, raaklijnen en afstanden die je mag gebruiken. Daarna het bewijzen: hoe je met een paar van die regels sluitend laat zien dat iets altijd zo is. Net als de vorige pagina hoort dit bij de voorkennis: je hebt het waarschijnlijk al eens gezien, maar op het examen komt het terug, dus het is de moeite waard om het scherp te krijgen. (De driehoeksregels van Rekenen in driehoeken heb je hier steeds bij de hand.)
Wat is een stelling, en wat is een bewijs?
Een stelling is een bewering die voor alle gevallen waar is, niet toevallig voor één plaatje. "In een rechthoekige driehoek geldt Pythagoras" is een stelling: hij klopt voor élke rechthoekige driehoek, hoe groot of scheef ook.
Een bewijs is een sluitende redenering die laat zien dat een stelling altijd waar is. Je begint bij dingen die je al zeker weet (andere stellingen, gelijke stralen, de hoekensom van 180°) en bouwt daar stap voor stap naartoe, elke stap met een reden erbij. Aan het eind staat er onontkoombaar wat je moest bewijzen.
💡 Waarom niet gewoon meten?
Je zou de figuur kunnen natekenen en de hoek opmeten: 90°, klaar? Nee. Meten geeft altijd een klein foutje, en één plaatje zegt niets over alle andere. Een bewijs werkt daarom met algemene grootheden (een straal r, een hoek α) in plaats van vaste getallen, zodat de redenering in één keer voor élk geval geldt.
⚠️ Waar het misgaat: voorbeelden zijn geen bewijs
De klassieke valkuil: je laat de stelling voor twee of drie tekeningen kloppen en denkt dat je hem "bewezen" hebt. Dat is niet zo. Hoeveel voorbeelden je ook laat zien, er blijven er oneindig veel over die je niet gecontroleerd hebt. Een bewijs moet álle gevallen tegelijk afdekken.
Andersom is één tegenvoorbeeld wél genoeg om een bewering onderuit te halen. Voorbeelden kunnen dus iets weerleggen, maar nooit bewijzen. Zie ook het werkwoord "bewijs" bij de examenwerkwoorden.
Stellingen over de cirkel
Eerst wat namen. Het middelpunt is het punt in het hart van de cirkel; de straal is de afstand van het middelpunt tot de rand (en elke straal is even lang). Een middellijn is een lijn dwars door het middelpunt, van rand tot rand: precies twee stralen lang. Een raaklijn is een lijn die de cirkel in maar één punt aanraakt, het raakpunt.
1. De stelling van Thales
Neem een middellijn AB en zet een punt C ergens anders op de cirkel. Dan is de hoek bij C altijd 90°, waar je C ook neerzet. Sleep C over de cirkel en zie het zelf: de hoek blijft recht.
Dit werkt ook andersom, en dat is vaak het handigst: heb je een rechthoekige driehoek, dan ligt de schuine zijde als middellijn en past er precies een cirkel omheen (de omgeschreven cirkel) met het midden van de schuine zijde als middelpunt. Het midden van de schuine zijde is dus even ver van alle drie de hoekpunten.
2. Een raaklijn staat loodrecht op de straal
In het raakpunt staat de raaklijn altijd loodrecht (⊥) op de straal naar dat punt. Dit is de stelling die je het vaakst gebruikt, want hij tovert overal rechte hoeken tevoorschijn waar je Pythagoras op kunt loslaten.
3. Twee raaklijnstukken vanuit één punt zijn even lang
Sta je met een punt P buiten de cirkel, dan kun je van daaruit precies twee raaklijnen tekenen. De twee stukken van P tot de raakpunten (de raaklijnstukken PA en PB) zijn altijd even lang. De figuur is volmaakt symmetrisch om de lijn MP.
4. Rakende cirkels: het raakpunt ligt op de lijn door de middelpunten
Twee cirkels die elkaar raken, doen dat in één punt. Dat raakpunt ligt altijd op de rechte lijn door de twee middelpunten (de centraallijn). Handig gevolg: raken de cirkels elkaar aan de buitenkant, dan is de afstand tussen de middelpunten gelijk aan de som van de stralen; raken ze elkaar aan de binnenkant, dan is het juist het verschil.
Meetkundige plaatsen: middelloodlijn en bissectrice
Een meetkundige plaats is de verzameling van álle punten die aan een bepaalde afstandseis voldoen. Twee ervan moet je kennen; ze zien er in een bewijs vaak uit als een handige lijn vol gelijke afstanden.
5. De middelloodlijn: even ver van twee punten
De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de lijn die er loodrecht op staat, precies door het midden. De eigenschap die je gebruikt: elk punt op die lijn ligt even ver van A als van B. En andersom, elk punt dat even ver van A en B ligt, ligt op de middelloodlijn.
6. De bissectrice: even ver van twee lijnen
De bissectrice (of deellijn) van een hoek is de lijn die de hoek precies doormidden deelt. De eigenschap: elk punt op de bissectrice ligt even ver van de ene lijn als van de andere, waarbij je "afstand tot een lijn" meet langs de loodlijn (de kortste weg).
Zo schrijf je een bewijs op
Een bewijs is geen kladwerk maar een nette redenering die een lezer stap voor stap kan volgen. Dit stramien werkt bijna altijd:
📋 Het stappenplan
- Schrijf op wat gegeven is en wat je moet bewijzen. Begin met "Gegeven:" en "Te bewijzen:". Teken er een duidelijke figuur bij en zet de namen (M, P, A, …) erin.
- Verzamel je gereedschap. Welke stellingen mag je gebruiken? Stralen zijn gelijk, een raaklijn staat loodrecht op de straal, de hoekensom is 180°, Pythagoras, gelijkvormigheid. Kijk welke passen bij je figuur.
- Bouw de ketting. Zet stappen die elk uit de vorige volgen, met telkens een reden erachter ("want …"). Reken met algemene grootheden (een straal r, een hoek α), niet met vaste getallen, zodat het voor elk geval geldt.
- Sluit af met de conclusie. Eindig met precies de bewering uit "Te bewijzen". Een korte afsluiting als "wat te bewijzen was" (soms afgekort tot q.e.d.) maakt duidelijk dat je klaar bent.
Uitgewerkt bewijs
Bewijs dat de twee raaklijnstukken vanuit een punt P aan een cirkel even lang zijn. We lopen het stappenplan hierboven af.
Stap 1: teken de figuur, en noteer wat gegeven is en wat je moet bewijzen.
Gegeven: een cirkel met middelpunt M. Vanuit een punt P buiten de cirkel raken twee lijnen de cirkel, in de punten A en B.
Te bewijzen: PA = PB.
Stap 2: verzamel je gereedschap. In de figuur zitten stralen (die zijn onderling gelijk) en raaklijnen (die staan loodrecht op de straal in het raakpunt). Die twee rechte hoeken leveren twee rechthoekige driehoeken op, en daar past Pythagoras op.
Stap 3: bouw de ketting.
MA = MB (het zijn allebei stralen van dezelfde cirkel)
MA ⊥ PA en MB ⊥ PB (een raaklijn staat loodrecht op de straal in het raakpunt)
De driehoeken MAP en MBP zijn dus allebei rechthoekig, met de rechte hoek bij A respectievelijk B, en ze delen de schuine zijde MP. Pythagoras in elk van de twee geeft:
PA² = MP² − MA² en PB² = MP² − MB²
Omdat MA = MB zijn de rechterkanten gelijk, dus PA² = PB².
Stap 4: de conclusie. Lengtes zijn nooit negatief, dus uit PA² = PB² volgt:
PA = PB (wat te bewijzen was)
Merk op hoe het bewijs leunt op een eerdere stelling (raaklijn ⊥ straal) en op Pythagoras van de vorige pagina. Zo bouw je nieuwe waarheden bovenop wat je al zeker weet.
Zelf oefenen
Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Schrijf bij elk bewijs netjes "Gegeven", "Te bewijzen" en dan je redenering met redenen.
Opgave 1 (bewijs de stelling van Thales). AB is een middellijn van een cirkel met middelpunt M, en C ligt op de cirkel. Bewijs dat de hoek bij C gelijk is aan 90°.
Stap 1: teken de figuur, en noteer gegeven en te bewijzen. Trek de straal MC erbij, dan heb je alle stralen in beeld.
Gegeven: cirkel met middelpunt M, middellijn AB, punt C op de cirkel.
Te bewijzen: hoek ACB = 90°.
Stap 2: gereedschap. MA, MB en MC zijn stralen, dus even lang. Twee gelijke zijden maken een gelijkbenige driehoek, en die heeft gelijke basishoeken. En de hoekensom van een driehoek is 180°.
Stap 3: de ketting.
MA = MB = MC (alle drie stralen van dezelfde cirkel)
driehoek MAC is gelijkbenig (MA = MC), dus hoek A = hoek MCA; noem die α
driehoek MBC is gelijkbenig (MB = MC), dus hoek B = hoek MCB; noem die β
De hoek bij C bestaat uit die twee samen: hoek ACB = α + β. En de hoekensom van driehoek ABC is 180°:
α + β + (α + β) = 180° → 2(α + β) = 180° → α + β = 90°
Stap 4: de conclusie.
hoek ACB = α + β = 90° (wat te bewijzen was)
Dit bewijs gebruikt gelijke stralen én de hoekensom van 180° van de vorige pagina. Precies zoals de stelling belooft, en zoals je in de widget hierboven al zag gebeuren.
Opgave 2 (bewijs de middelloodlijn-eigenschap). N is het midden van lijnstuk AB, en de middelloodlijn staat in N loodrecht op AB. P ligt op die middelloodlijn. Bewijs dat PA = PB.
Stap 1: teken de figuur, en noteer gegeven en te bewijzen.
Gegeven: N is het midden van AB (dus AN = NB), en PN ⊥ AB (P ligt op de middelloodlijn).
Te bewijzen: PA = PB.
Stap 2: gereedschap. Omdat PN loodrecht op AB staat, zijn de driehoeken PNA en PNB rechthoekig, met de rechte hoek bij N. Ze delen de zijde PN, dus Pythagoras is je gereedschap.
Stap 3: de ketting.
PA² = PN² + AN² en PB² = PN² + NB² (Pythagoras in beide rechthoekige driehoeken)
N is het midden, dus AN = NB. Daardoor zijn de rechterkanten gelijk: PA² = PB².
Stap 4: de conclusie. Lengtes zijn positief, dus:
PA = PB (wat te bewijzen was)
Zelfde truc als bij het uitgewerkte bewijs: twee rechthoekige driehoeken, Pythagoras, en een gelijkheid die de rest laat wegvallen.
Opgave 3 (toepassing: rakende cirkels). Twee cirkels met stralen 4 en 6 raken elkaar. Bereken de afstand tussen de middelpunten als ze elkaar uitwendig raken. En als ze elkaar inwendig raken?
Teken eerst de twee situaties. Dit is een berekening, geen bewijs, maar een schets maakt meteen duidelijk waarom je optelt of aftrekt.
Het raakpunt ligt op de lijn door de twee middelpunten (stelling 4). Je meet de afstand dus gewoon langs die lijn, van middelpunt tot middelpunt, via het raakpunt.
Uitwendig (de cirkels liggen naast elkaar): het raakpunt ligt tussen de middelpunten in, dus je telt de stralen op.
afstand = 4 + 6 = 10
Inwendig (de kleine cirkel ligt in de grote): nu ligt het raakpunt aan dezelfde kant als het kleine middelpunt, dus je trekt de stralen af.
afstand = 6 − 4 = 2
Beide keren gebruik je dezelfde stelling: omdat alles op één rechte lijn ligt, is de afstand simpelweg de som of het verschil van de stralen.
In de volgende pagina's van deze hub leg je deze stellingen in een assenstelsel: je krijgt de vergelijking van een lijn en van een cirkel, en dan reken je snijpunten en raaklijnen niet meer met een tekening uit, maar met coördinaten.
Vind je bewijzen lastig?
Weten wélke stelling je moet pakken en hoe je de stappen opschrijft: dat is precies waar bewijzen om draait, en waar bijles het snelst helpt. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.
Plan een gratis kennismaking