Home › Functies › Exponentiële & logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies

Alles wat steeds keer hetzelfde getal wordt (rente, een bacterie die zich deelt, een medicijn dat afbreekt) groeit of krimpt exponentieel. De logaritme is het gereedschap om zo'n som weer terug te rekenen.

Wat is een exponentiële functie?

Een exponentiële functie is een functie waarbij de x in de exponent staat, zoals y = 2^x. Dat betekent: elke keer dat x één omhoog gaat, wordt y vermenigvuldigd met hetzelfde getal (hier met 2). Bij x = 0, 1, 2, 3 krijg je 1, 2, 4, 8: steeds het dubbele. Zet je dat in een grafiek, dan krijg je een lijn die eerst bijna vlak is en daarna razendsnel omhoog schiet.

🔀 Niet te verwarren met een machtsfunctie

Let goed op waar de x staat. Bij een machtsfunctie zoals y = x² staat de x onderaan (in het grondtal) en de macht vast. Bij een exponentiële functie y = 2^x is het net andersom: het grondtal ligt vast en de x staat bovenaan, in de exponent. Dat zijn compleet verschillende grafieken, ook al lijken de formules op elkaar.

Beginwaarde en groeifactor

Elke exponentiële functie kun je schrijven in de standaardvorm y = b · g^x. Die twee letters b en g leggen de hele grafiek vast:

b is de beginwaarde: de waarde waar je mee start, bij x = 0. (Want g⁰ = 1, dus bij x = 0 blijft alleen b over.) In een grafiek is dat het punt waar de grafiek de y-as snijdt.
g is de groeifactor: het getal waarmee je vermenigvuldigt telkens als x één stap groter wordt. Is g groter dan 1, dan wordt y steeds groter (groei). Ligt g tussen 0 en 1, dan wordt y steeds kleiner (afname).

💡 Exponentieel = keer, niet plus

Het verschil met een gewone rechte lijn zit hem in dat ene woord: keer. Bij een rechte lijn tel je er elke stap hetzelfde bij op (+3, +3, +3, …). Bij exponentiële groei vermenigvuldig je elke stap met hetzelfde getal (×3, ×3, ×3, …). Daardoor blijft het eerst klein en loopt het daarna gigantisch op. Dat is precies waarom "het groeide exponentieel" zoiets betekent als "het ging steeds sneller".

Sleep hieronder aan de beginwaarde en de groeifactor en kijk wat de grafiek doet. Het groene punt is de beginwaarde; de oranje lijn laat de verdubbelingstijd of halveringstijd zien (die leggen we zo uit).

⚠️ Van percentage naar groeifactor

Groeit iets met 3% per jaar, dan is de groeifactor 1,03, niet 0,03. Je houdt namelijk de hele 100% én er komt 3% bij: 100% + 3% = 103% = 1,03. Bij een afname van 3% houd je 97% over, dus is de groeifactor 0,97 (100% − 3%). De valkuil is 0,03 of 0,97 verwisselen, of "+3" invullen alsof het optellen is.

Verdubbelingstijd en halveringstijd

Bij exponentiële groei duurt het altijd even lang om te verdubbelen, waar je ook begint. Die vaste tijd heet de verdubbelingstijd. Bij afname is er net zo'n vaste tijd om te halveren: de halveringstijd (denk aan radioactief verval of een medicijn dat uit je bloed verdwijnt).

Hoe reken je die uit? Je zoekt de tijd T waarop de groeifactor precies 2 keer (of 12 keer) heeft gewerkt:

g^T = 2 (verdubbeling) of g^T = 12 (halvering)

De onbekende T staat nu in de exponent. Om hem naar beneden te halen heb je de logaritme nodig. Dat is precies waar die voor is uitgevonden.

De logaritme: de omgekeerde van een macht

De logaritme beantwoordt de vraag: "tot welke macht moet ik het grondtal verheffen om dit getal te krijgen?" We schrijven ^glog(a) voor "de macht waarmee je g tot a maakt". Een paar voorbeelden maken het meteen duidelijk:

²log(8) = 3, want 2³ = 8.
¹⁰log(1000) = 3, want 10³ = 1000.
³log(9) = 2, want 3² = 9.

De logaritme is dus letterlijk de inverse (de terugreken-knop) van de exponentiële functie: de exponentiële functie maakt van een macht een getal, de logaritme haalt die macht er weer uit. Op je rekenmachine reken je elke logaritme uit met de knoppen log (grondtal 10) of ln via de regel ^glog(a) = log(a)log(g) (boven en onder hetzelfde grondtal, dat mag log óf ln zijn).

📐 Rekenregels voor machten en logaritmen

Deze regels heb je steeds nodig bij het herleiden en het oplossen van vergelijkingen. Het mooie: de logaritmeregels zijn precies de spiegeling van de machtsregels. Een keer bij machten wordt een plus bij logaritmen, en een macht wordt een keer.

Machten (met grondtal a > 0)

a^p · a^q = a^{p + q} keer wordt plus in de exponent
a^pa^q = a^{p − q} delen wordt min
(a^p)^q = a^{p · q} macht van een macht: keer
(a · b)^p = a^p · b^p
a^−p = 1a^p negatieve macht = 1 gedeeld door
a¹ⁿ = ⁿ√a en a⁰ = 1

Logaritmen (grondtal g > 0, g ≠ 1; a, b > 0)

^glog(a · b) = ^glog(a) + ^glog(b) keer wordt plus
^glog(ab) = ^glog(a) − ^glog(b) delen wordt min
^glog(a^p) = p · ^glog(a) de macht mag naar voren
^glog(g) = 1 en ^glog(1) = 0
^glog(a) = log(a)log(g) omschrijven naar grondtal 10 of ln
g^{(^glog a)} = a exp en log heffen elkaar op (inverse)

💡 Elkaars spiegelbeeld in de lijn y = x

Omdat exp en log elkaars omgekeerde zijn, zijn hun grafieken elkaars spiegelbeeld in de lijn y = x. Bij het spiegelen verwisselen x en y van rol: ligt het punt (1, 2) op y = 2^x, dan ligt het gespiegelde punt (2, 1) op y = ²log(x). Zo verandert de ene grafiek in de andere.

Het grondtal e en de natuurlijke logaritme ln

Tot nu toe kon het grondtal van alles zijn: 2, 10, 3. Maar één getal komt zó vaak voor in de natuur en de wiskunde dat het een eigen naam kreeg: het getal e ≈ 2,718 (het getal van Euler). Je vindt het bijvoorbeeld terug bij continue groei, zoals rente die op elk moment wordt bijgeschreven.

Een exponentiële functie met dit grondtal, y = e^x, heet de natuurlijke exponentiële functie. En de logaritme die daarbij hoort, ^elog, krijgt een eigen korte schrijfwijze: ln (van "logaritme naturalis"). Meer is het niet: ln is gewoon de logaritme met grondtal e. Alle rekenregels uit het blok hierboven gelden dus net zo goed voor ln, en op je rekenmachine zit er een aparte ln-knop voor.

ln(e) = 1, want e¹ = e.
ln(e^x) = x en e^ln(x) = x: e-macht en ln heffen elkaar op, precies zoals elke exp en log dat doen.

Waarom juist e zo bijzonder is, zie je pas echt bij differentiëren: e^x is de enige functie die zijn eigen helling is (de afgeleide is weer e^x). Dat werken we uit bij de afgeleide van e-machten en ln.

📋 Een exponentiële formule opstellen en de tijd terugrekenen

Beginwaarde b: lees de waarde bij x = 0 af (het snijpunt met de y-as), of hij staat gewoon in de opgave.
Groeifactor g: staat er een percentage? Dan is g = 1 + percentage100 bij groei, of 1 − percentage100 bij afname. Heb je twee punten? Deel de twee waarden op elkaar en trek de wortel die past bij het aantal stappen ertussen: g^{(x₂ − x₁)} = y₂y₁.
Schrijf de formule als y = b · g^x.
Tijd terugrekenen (bijvoorbeeld verdubbelings- of halveringstijd): zet de eis op als een vergelijking met de onbekende in de exponent, en haal hem eruit met de logaritme. Voor verdubbeling: g^T = 2, dus T = ^glog(2) = log(2)log(g).

Uitgewerkte examenopgave

In een petrischaaltje zitten bacteriën. Op t = 0 uur zijn het er 50, en na 3 uur zijn het er 1350. Het aantal bacteriën N groeit exponentieel.

a) Stel een formule op voor N als functie van de tijd t (in uren).
b) Bereken de verdubbelingstijd. Rond af op twee decimalen.

Onderdeel a, stap 1: de beginwaarde. Op t = 0 zijn er 50 bacteriën, dus b = 50. Dat is het groene punt op de y-as.

Stap 2: de groeifactor. Tussen t = 0 en t = 3 is het aantal met factor 135050 = 27 toegenomen. Dat gebeurt in 3 stappen van een uur, dus:

g³ = 27, dus g = ³√27 = 3 (het getal dat je 3 keer met zichzelf vermenigvuldigt tot 27)

Stap 3: de formule. Invullen in N = b · g^t:

N = 50 · 3^t

Controle: N(3) = 50 · 3³ = 50 · 27 = 1350. ✓

Onderdeel b: de verdubbelingstijd. Zoek de tijd T waarop het aantal precies verdubbeld is, dus waarop de groeifactor 2 is geworden:

3^T = 2

De onbekende T staat in de exponent, dus haal hem eruit met de logaritme:

T = ³log(2) = log(2)log(3) ≈ 0,63 uur

🔎 Controle

Klopt dat? Elke 0,63 uur zou het aantal moeten verdubbelen. Vul in: 50 · 3^0,63 ≈ 50 · 2,0 = 100, precies het dubbele van 50. ✓ En omdat de verdubbelingstijd vast is, staat er na nog eens 0,63 uur weer het dubbele: 200.

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Let bij afname goed op: de groeifactor is dan kleiner dan 1.

Opgave 1 (afname). Een medicijn wordt afgebroken in het bloed: elk uur verdwijnt 20% van de aanwezige hoeveelheid. Bij t = 0 zit er 80 mg in het bloed. Stel een formule op en bereken de halveringstijd (op twee decimalen).

Beginwaarde: b = 80.

Groeifactor: er verdwijnt 20%, dus er blijft 80% over. g = 1 − 20100 = 0,8 (níét 0,2: dat is wat wég is).

H = 80 · 0,8^t

Halveringstijd: zoek T waarvoor de groeifactor 12 is geworden:

0,8^T = 12, dus T = log(0,5)log(0,8) ≈ 3,11 uur

Opgave 2 (groeifactor uit twee punten). Een stad groeit exponentieel. In 2015 wonen er 40 000 mensen, in 2020 zijn dat er 51 000. Bepaal de groeifactor per jaar en het groeipercentage per jaar.

Tussen 2015 en 2020 zitten 5 jaar. In die 5 stappen groeit het aantal met factor 51 00040 000 = 1,275. Die factor is g vijf keer toegepast:

g⁵ = 1,275, dus g = ⁵√1,275 = 1,275^1/5 ≈ 1,05

Een groeifactor van 1,05 betekent 100% + 5%, dus de stad groeit met ongeveer 5% per jaar.

Op de rekenmachine tik je 1,275^1/5 als 1,275 tot de macht (1/5), of als de vijfdemachtswortel van 1,275. Controle: 1,05⁵ ≈ 1,276, keer 40 000 ≈ 51 000. ✓

Opgave 3 (van grafiek naar voorschrift). Hieronder zie je de grafiek van een exponentiële functie y = b · g^x. Lees de beginwaarde en een handig punt af, en stel het voorschrift op.

Klik hier voor de uitwerking van opgave 3.

Beginwaarde. De grafiek snijdt de y-as op hoogte 3 (het groene punt), dus b = 3.

Groeifactor. Zoek een tweede punt dat je precies kunt aflezen: bij x = 2 is y = 12 (het blauwe punt). Vanaf de beginwaarde is het aantal in 2 stappen met factor 123 = 4 gegroeid:

g² = 4, dus g = 2

y = 3 · 2^x

Controle: bij x = 1 hoort y = 3·2 = 6, bij x = 3 hoort y = 3·8 = 24. Lees dat maar terug in de grafiek.

Heb je zo'n formule staan, dan is de volgende stap vaak een vergelijking oplossen, bijvoorbeeld uitrekenen wanneer er precies 5000 bacteriën zijn. Dat type (met de onbekende in de exponent, opgelost met de logaritme) staat bij Vergelijkingen exact oplossen.

Kom je er niet uit?

Groeifactoren, logaritmen en het getal e: dit onderwerp valt op zijn plek zodra je ziet dat de logaritme gewoon de terugreken-knop is. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking