Home › Functies › Machts- & wortelfuncties

Machts- en wortelfuncties

Heel veel grafieken zijn eigenlijk één en dezelfde formule: y = x^p. Verander alleen de exponent p en de grafiek verandert compleet van vorm. Zodra je die familie herkent, lees je domein en bereik zo af.

Wat is een machtsfunctie?

Een machtsfunctie is een functie van de vorm y = x^p. Dat betekent: je neemt je invoer x en zet hem tot de macht p. Die p heet de exponent en is gewoon een vast getal. De x is steeds hetzelfde (dat is je invoer); alleen de exponent bepaalt welke grafiek je krijgt.

Neem als voorbeeld p = 2. Dan is y = x²: je vermenigvuldigt elk getal met zichzelf. Vul je x = 3 in, dan komt er 9 uit; bij x = −2 komt er 4 uit (min keer min is plus). Zet je al die punten in een assenstelsel, dan krijg je een vloeiende, komvormige kromme. Zo'n kromme heet een parabool.

Maar p hoeft geen positief heel getal te zijn. Is p negatief, dan krijg je een heel andere vorm (een hyperbool); is p een breuk, dan krijg je een wortel. Hoe die vormen er precies uitzien, zie je straks vanzelf in de grafiek verschijnen. Onthoud voor nu vooral dit: het is steeds dezelfde formule y = x^p, en alleen de exponent verschilt.

Op het examen moet je deze grafieken herkennen en van zo'n functie het domein en het bereik kunnen bepalen. Die twee woorden leggen we eerst uit, want daar draait bijna elke opgave om.

Domein en bereik: de twee vragen bij elke functie

Zie een functie als een machientje: je stopt er een getal in (de x) en er rolt een getal uit (de y). Bij zo'n machine horen twee vragen:

Het domein is de verzameling van alle getallen die je erin mág stoppen. Soms is dat elk getal, maar soms niet: uit een negatief getal kun je geen (gewone) wortel trekken, en delen door 0 mag nooit. Die verboden getallen horen niet bij het domein.
Het bereik is de verzameling van alle getallen die er uit kunnen komen: alle y-waarden die de grafiek echt aanneemt. Een parabool y = x² geeft bijvoorbeeld nooit een negatieve uitkomst, dus is 0 het laagste dat eruit komt.

In een grafiek zie je het meteen: het domein is hoe ver de grafiek loopt van links naar rechts (langs de x-as), het bereik is hoe ver hij loopt van onder naar boven (langs de y-as).

✍️ Zo schrijf je het op

Meestal noteer je domein en bereik met een < of ≥, bijvoorbeeld domein: x ≥ −3 of bereik: y ≥ −1. Je mag het ook als interval schrijven, met een pijltje voor "oneindig ver door": [−3, →⟩ betekent hetzelfde als x ≥ −3. Een rechte haak [ betekent dat de grens erbij hoort, een ronde haak ⟨ dat hij er net niet bij hoort (zoals bij x ≠ 0).

De familie y = x^p: sleep aan de exponent

Hieronder staat de grafiek van y = x^p. Sleep aan de exponent p en kijk hoe de grafiek van vorm verandert. Let ondertussen op het domein en het bereik die eronder meelopen.

Wat je in de widget ziet, valt in drie soorten uiteen. Zo herken je ze:

p is een positief heel getal (1, 2, 3, …): een gewone parabool-achtige grafiek. Bij een even exponent (2, 4) is de grafiek een dal dat symmetrisch is in de y-as; bij een oneven exponent (3, 5) loopt hij van linksonder naar rechtsboven. Domein: alle x mag.
p is een negatief heel getal (−1, −2, …): een hyperbool. Je kunt hier x = 0 niet invullen (delen door 0 mag niet), dus de grafiek valt in twee losse takken uiteen. Hij kruipt naar de x-as en de y-as toe zonder ze ooit te raken: dat zijn asymptoten (de lijnen waar een grafiek oneindig dicht naartoe gaat).
p is een breuk (zoals 12 of 13): een wortelfunctie. Die bekijken we hieronder apart.

💡 Waarom een wortel een macht is

De wortel √x is precies hetzelfde als de macht x¹². Dat is geen toevallige afspraak, maar volgt uit de rekenregel voor machten: x¹² · x¹² = x^{12 + 12} = x¹ = x. Iets dat met zichzelf vermenigvuldigd x oplevert: dat ís precies wat √x betekent. En zo is de derdemachtswortel ³√x = x¹³. Meer van dit soort omschrijfregels staan bij De 10 algebrafouten.

De wortelfunctie: y = √x

De grafiek van y = √x begint in de oorsprong (0, 0) en klimt naar rechts steeds langzamer omhoog. Het belangrijkste zit in het domein: je kunt geen wortel trekken uit een negatief getal, dus je mag alleen x ≥ 0 invullen. Daarom is er ook helemaal geen grafiek links van de y-as.

Domein: x ≥ 0 (negatieve getallen mag je niet onder de wortel stoppen).
Bereik: y ≥ 0 (een wortel is nooit negatief; de kleinste uitkomst is √0 = 0).

Zodra er iets in de wortel staat, zoals √(x − 2), verandert het domein mee: dan moet het stuk onder de wortel groter of gelijk aan 0 zijn. Dat rekentrucje oefenen we straks in de examenopgave.

De absolute-waardefunctie: y = |x|

Nog een basisfunctie die je moet herkennen. De absolute waarde |x| betekent: de afstand van x tot 0, dus altijd het positieve "kale" getal. Zo is |3| = 3, maar ook |−3| = 3. Een minteken valt gewoon weg.

De grafiek van y = |x| is daardoor een V: voor positieve x is het gewoon de lijn y = x, en voor negatieve x klapt hij naar boven om tot y = −x. In het knikpunt (0, 0) komen de twee helften samen.

Staat er |x − a|, dan schuift het knikpunt mee naar x = a. Zo heeft y = |x − 3| zijn knik in (3, 0). Hoe dat schuiven precies werkt bij álle functies komt op de pagina over grafieken transformeren (binnenkort in deze hub).

⚠️ Waar het misgaat

1. Het domein vergeten bij een wortel of een breuk. Bij y = √x en y = 1x mag je niet zomaar elk getal invullen. Onder een wortel moet het minstens 0 zijn, en delen door 0 mag nooit. Vul je toch iets verbodens in, dan reken je met een punt dat niet op de grafiek ligt. Controleer bij elke wortel- of breukfunctie eerst wat je erin mág stoppen.

2. √(a + b) uitrekenen als √a + √b. Dat mag niet. √(9 + 16) = √25 = 5, maar √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Een wortel mag je niet los over een plus of min uitdelen. (Over een keer of gedeeld mag het wél: √(a·b) = √a · √b.)

3. |x| = x invullen. Voor negatieve x is dat fout: |−5| is 5, niet −5. De absolute waarde maakt er altijd een positief getal van.

📋 Domein en bereik bepalen

Zoek de "gevaarlijke" plekken in de formule. Staat er een wortel? Dan moet alles onder de wortel ≥ 0 zijn. Staat er een breuk met x in de noemer? Dan mag de noemer niet 0 worden. Nergens een wortel of deling? Dan is het domein gewoon alle x.
Los die eis op om het domein te vinden. Bij √(x − 2): eis x − 2 ≥ 0, dus x ≥ 2. Bij 1x − 5: eis x − 5 ≠ 0, dus x ≠ 5.
Bepaal het bereik via de grafiek of de bouwstenen. Begin bij de kleinste bouwsteen (een wortel geeft ≥ 0, een kwadraat geeft ≥ 0) en werk de bewerkingen na: keer maal een getal, tel er iets bij op. Een handige aanpak: welke y hoort bij het "randpunt" van het domein, en gaat de grafiek daarna omhoog of omlaag?
Schrijf beide netjes op met ≥, ≤, <, > of ≠ (of als interval). Twijfel je? Teken de grafiek erbij, dan zie je domein (breedte) en bereik (hoogte) meteen.

Uitgewerkte examenopgave

Gegeven is de functie f(x) = 2√(x + 3) − 1. Bepaal het domein en het bereik van f.

Stap 1: zoek de gevaarlijke plek. In de formule staat een wortel: √(x + 3). Dat is het enige wat het domein kan beperken (er is geen breuk met x in de noemer). Alles onder de wortel moet groter of gelijk aan 0 zijn.

Stap 2: los de eis op. Onder de wortel staat x + 3, dus:

x + 3 ≥ 0, dus x ≥ −3 (dit is het domein: de rode stippellijn in de figuur)

Stap 3: het bereik. Bouw de uitkomst op vanaf de wortel. De wortel zelf is altijd ≥ 0, en het kleinst (namelijk 0) precies op de rand x = −3. Reken vanaf daar de rest van de formule na:

√(x + 3) ≥ 0 (een wortel is nooit negatief)

2·√(x + 3) ≥ 0 (maal 2 verandert daar niets aan)

2·√(x + 3) − 1 ≥ −1 (er gaat overal 1 af, dus de ondergrens ook)

De kleinste uitkomst is dus −1, bereikt in het beginpunt (−3, −1). Daarna klimt de grafiek alleen maar omhoog. Het bereik is dus:

bereik: y ≥ −1 (de blauwe stippellijn in de figuur is de onderrand)

🔎 Controle

Vul het randpunt in: f(−3) = 2√(−3 + 3) − 1 = 2√0 − 1 = −1. ✓ En een punt verderop, bijvoorbeeld x = 1: f(1) = 2√4 − 1 = 2·2 − 1 = 3, netjes boven −1. De grafiek stijgt dus vanaf (−3, −1), precies zoals in de figuur.

Kort samengevat: domein: x ≥ −3 en bereik: y ≥ −1 (of als interval: domein [−3, →⟩, bereik [−1, →⟩).

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Teken bij twijfel een schetsje: domein is de breedte, bereik de hoogte.

Opgave 1. Bepaal het domein en het bereik van f(x) = 1x − 2 + 3.

Dit is een hyperbool (een negatieve macht): de grafiek van 1x, maar verschoven.

Domein. De gevaarlijke plek is de breuk: de noemer mag niet 0 worden.

x − 2 ≠ 0, dus x ≠ 2 (bij x = 2 zou je door 0 delen: verticale asymptoot)

Bereik. De breuk 1x − 2 kan elk getal zijn behalve 0 (een breuk met teller 1 wordt nooit precies 0). Er komt overal +3 bij, dus de uitkomst kan alles zijn behalve 3.

bereik: y ≠ 3 (y = 3 is de horizontale asymptoot)

Opgave 2. Bepaal het domein en het bereik van g(x) = 5 − √x.

Domein. Er staat een wortel, dus wat eronder staat (hier gewoon x) moet ≥ 0 zijn.

x ≥ 0 (je kunt geen wortel uit een negatief getal trekken)

Bereik. Bouw op vanaf de wortel: √x ≥ 0, met kleinste waarde 0 bij x = 0. Er staat een minteken voor, dus draait het om, en er komt 5 bij:

√x ≥ 0, dus −√x ≤ 0, dus 5 − √x ≤ 5

De grootste uitkomst is 5 (bij x = 0), en daarna daalt de grafiek. Dus:

bereik: y ≤ 5

Let op het minteken: doordat er −√x staat, klapt de "≥" om naar een "≤". Dat is precies de valkuil bij dit type.

Opgave 3 (van grafiek naar voorschrift). Hieronder zie je de grafiek van een verschoven hyperbool. Lees de asymptoten af en stel het voorschrift op in de vorm y = 1x − a + b.

Klik hier voor de uitwerking van opgave 3.

Zoek eerst de twee stippellijnen waar de grafiek naartoe kruipt (de asymptoten):

De verticale asymptoot staat bij x = 1. Dat is waar de noemer 0 wordt, dus in de formule staat 1x − 1. Dus a = 1.
De horizontale asymptoot ligt op y = 2. Dat is de +b aan het eind, dus b = 2.

y = 1x − 1 + 2

Controle met een punt. De grafiek gaat door (2, 3). Invullen: y = 12 − 1 + 2 = 1 + 2 = 3. ✓

Domein en bereik volgen meteen uit de asymptoten: domein x ≠ 1, bereik y ≠ 2.

Zodra je zo'n functie kunt lezen, is de volgende stap: een vergelijking ermee oplossen, bijvoorbeeld uitrekenen bij welke x geldt f(x) = 4. De aanpak per functietype (wortel, macht, breuk) komt op de pagina over vergelijkingen exact oplossen, verderop in deze hub. En de asymptoten die je hier tegenkwam, krijgen een eigen pagina bij Asymptoten & limieten.

Kom je er niet uit?

Machten, wortels en domeinen: het klikt vaak pas als je ze een paar keer samen doet. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking