Home › Functies › Vergelijkingen exact oplossen

Vergelijkingen exact oplossen

Een vergelijking oplossen lijkt telkens anders, maar in de praktijk zijn er maar een handvol soorten. Als je herkent welk type voor je staat, weet je meteen welke aanpak erbij hoort.

Wat betekent "exact oplossen"?

Een vergelijking is een som met een isgelijkteken en een onbekende erin, bijvoorbeeld 2x + 1 = 7. De vergelijking oplossen betekent: uitzoeken welke waarde(n) van x de linkerkant precies gelijk maken aan de rechterkant. Hier is dat x = 3, want dan staat er 7 = 7.

Exact oplossen betekent dat je het antwoord niet afrondt: je laat wortels, breuken, π en logaritmen gewoon staan. Niet x ≈ 1,41 maar x = √2. En je doet het met pen en papier, niet met een knop van je rekenmachine. Meer over dat woord (en over "algebraïsch") lees je bij Examenwerkwoorden.

De gouden regel: aan beide kanten hetzelfde

Bij het oplossen wil je de x alleen krijgen: "x = iets". Dat doe je door de vergelijking stap voor stap eenvoudiger te maken. De enige regel die je daarbij nodig hebt:

Herken het type, kies de aanpak

Bijna elke vergelijking op het examen valt in een van deze soorten. De eerste stap is altijd: kijk waar de x staat (gewoon, onder een wortel, in een macht, in een logaritme) en herken zo het type.

1. Lineair: alleen x, geen x²

Staat er alleen een gewone x in (geen x², geen wortel), dan verzamel je alle x'en aan één kant en de getallen aan de andere kant.

2x + 1 = 7 − x → 3x = 6 → x = 2

2. Kwadratisch: er staat een x² in

Zet eerst alles naar één kant, zodat er ... = 0 staat. Daarna zijn er twee manieren.

Ontbinden in factoren (als het lukt): schrijf het als een product dat 0 is. Een product is 0 zodra een van de factoren 0 is.

x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2  of  x = 3

De abc-formule werkt altijd, ook als ontbinden niet lukt. Voor ax² + bx + c = 0:

x = −b ± √(b² − 4ac)2a

Het stuk onder de wortel, D = b² − 4ac, heet de discriminant. Die vertelt je meteen hoeveel oplossingen er zijn: is D > 0 dan twee, is D = 0 dan één, en is D < 0 dan geen (want je kunt geen wortel uit een negatief getal trekken). Voorbeeld waarbij ontbinden lastig is:

x² − 4x + 1 = 0 (a = 1, b = −4, c = 1)

D = (−4)² − 4·1·1 = 16 − 4 = 12

x = 4 ± √122 = 4 ± 2√32 = 2 ± √3

Zie je hoe "exact" hier werkt? Je laat 2 ± √3 gewoon staan; afronden naar 0,27 en 3,73 zou juist punten kosten. (De wortel √12 = 2√3 vereenvoudigen? Dat staat bij Machts- & wortelfuncties.)

3. Type xⁿ = c: een macht is bekend

Staat de x tot een macht en de rest is een getal, dan trek je aan beide kanten de wortel. Let op het verschil tussen even en oneven machten:

• Even macht (x², x⁴, …): twee oplossingen, met een ±. x² = 9 → x = ±3 en x² = 5 → x = ±√5. Maar x² = −4 heeft geen oplossing (een kwadraat is nooit negatief).
• Oneven macht (x³, x⁵, …): één oplossing, het teken komt vanzelf mee. x³ = 8 → x = 2 en x³ = −8 → x = −2.

4. Type √(...) = c: een wortel staat alleen

Zet de wortel eerst alleen aan één kant en kwadrateer dan beide kanten om hem weg te werken.

√(x − 1) = 3 → x − 1 = 9 → x = 10 (controle: √9 = 3 ✓)

Twee dingen om te onthouden. Een wortel is nooit negatief, dus √(...) = c kan alleen als c ≥ 0. En kwadrateren kan er stiekem oplossingen bij verzinnen die niet echt kloppen (schijnoplossingen). Daarom moet je hier altijd je antwoord terugvullen. Zie de misvatting en de uitgewerkte opgave hieronder.

5. Type a^x = c: de x staat in de exponent

Staat de x bovenin, in de exponent, dan haal je hem eruit met de logaritme. Zet de macht eerst alleen (deel eerst weg wat ervoor staat).

3·2^x = 48 → 2^x = 16 → x = 4 (want 2⁴ = 16)

Komt er geen mooi getal uit, dan laat je de logaritme staan; dat is het exacte antwoord:

2^x = 10 → x = ²log(10) = log(10)log(2)

Hoe die logaritme precies werkt, staat bij Exponentiële & logaritmische functies. Het is niets anders dan het terugreken-recept van de macht.

6. Type ^glog(...) = c: de x staat in een logaritme

Andersom: staat de x in een logaritme, dan maak je er weer een macht van. De regel ^glog(A) = c betekent precies A = g^c.

²log(x) = 5 → x = 2⁵ = 32

³log(x − 1) = 2 → x − 1 = 3² = 9 → x = 10

7. Type f(x) = g(x): twee functies aan elkaar gelijk

Staan er links en rechts allebei formules met x, breng dan alles naar één kant zodat er ... = 0 staat, en herken het type dat overblijft.

x² = 2x → x² − 2x = 0 → x(x − 2) = 0 → x = 0  of  x = 2

Pas op: deel hier nooit links en rechts door x om van x² = 2x naar x = 2 te gaan. Dan ben je de oplossing x = 0 kwijt. Haal in plaats daarvan de x buiten haakjes (ontbinden). Meer daarover in de misvatting hieronder.

Grafisch: oplossen is snijpunten zoeken

Elke vergelijking f(x) = g(x) kun je ook als plaatje zien: teken y = f(x) en y = g(x), en de x-waarden van de snijpunten zijn precies de oplossingen. Daar zijn de twee kanten immers even groot. Dat is een handige controle bij een exacte berekening: klopt het aantal oplossingen?

Hieronder de eenvoudigste versie: y = x² (blauw) en de horizontale lijn y = c (oranje). Oplossen van x² = c is dus: waar snijden ze elkaar? Sleep de lijn omhoog en omlaag.

Stelsel van twee lineaire vergelijkingen

Soms krijg je twee vergelijkingen met twee onbekenden (x én y) tegelijk, een stelsel. Je zoekt het paar (x, y) dat in allebei de vergelijkingen klopt. De handigste aanpak is elimineren: zorg dat één van de twee onbekenden wegvalt, zodat je een gewone vergelijking met nog maar één onbekende overhoudt.

Een voorbeeld, stap voor stap:

2x + y = 5 (vergelijking I)

x − y = 1 (vergelijking II)

Stap 2 en 3. In I staat +y en in II staat −y: even groot, tegengesteld teken. Dus tel I en II op, dan valt de y weg:

(2x + y) + (x − y) = 5 + 1 → 3x = 6

Stap 4. Los op:

x = 2

Stap 5. Vul x = 2 in II in om y te vinden:

2 − y = 1 → y = 1

Stap 6 (controle). Vul (2, 1) in beide vergelijkingen in: I geeft 2·2 + 1 = 5 ✓ en II geeft 2 − 1 = 1 ✓. De oplossing is het paar (x, y) = (2, 1).

Meetkundig is elke vergelijking een lijn, en de oplossing is hun snijpunt: het enige punt dat op allebei de lijnen ligt.

Een alternatief is substitutie: maak van één vergelijking "y = ..." en vul dat in de andere in. Even laten zien dat dat op hetzelfde antwoord uitkomt. Uit II volgt y = x − 1. Vul dat in de plaats van y in vergelijking I:

2x + (x − 1) = 5 → 3x − 1 = 5 → 3x = 6 → x = 2

En dan y = x − 1 = 2 − 1 = 1. Weer (x, y) = (2, 1): allebei de methodes geven hetzelfde. Kies zelf wat je het snelst afgaat.

Uitgewerkte examenopgave

Los exact op: √(2x + 3) = x.

Stap 1: type herkennen. De x staat onder een wortel, en die wortel staat al alleen. Dit is type 4: kwadrateren.

Stap 2: kwadrateren. Beide kanten in het kwadraat. Links valt de wortel weg, rechts wordt x²:

2x + 3 = x²

Stap 3: nu is het kwadratisch. Alles naar één kant en ontbinden:

x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3  of  x = −1

Stap 4: controleren (bij een wortel verplicht). Vul beide terug in de oorspronkelijke vergelijking √(2x + 3) = x:

x = 3:   √(2·3 + 3) = √9 = 3,  en rechts staat 3.   3 = 3 ✓

x = −1:   √(2·(−1) + 3) = √1 = 1,  maar rechts staat −1.   1 ≠ −1 ✗

De x = −1 is een schijnoplossing: die is er bij het kwadrateren bij gekomen. Het enige echte antwoord is x = 3.

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Denk bij elke opgave eerst: welk type is dit, en wat is dus de aanpak?

Opgave 3 (van grafiek naar oplossing). Hieronder staan y = √(x + 7) (blauw) en y = x − 5 (oranje). Los met behulp van de figuur en een berekening op: √(x + 7) = x − 5.

Moet je een vergelijking met sinus of cosinus oplossen? Dat gaat net even anders, met twee oplossingsfamilies. Kijk daarvoor bij Goniometrische vergelijkingen oplossen.

Staat er een < of > in plaats van een isgelijkteken? Dan is het een ongelijkheid. Je begint dan met precies dezelfde stappen als hierboven, maar het antwoord is een interval in plaats van losse getallen. Hoe dat werkt lees je bij Ongelijkheden oplossen.