Home › Functies › Grafieken transformeren
Grafieken transformeren
Je hoeft niet elke grafiek opnieuw te tekenen. Een ingewikkelde formule is vaak gewoon een bekende basisgrafiek die is opgeschoven of uitgerekt. Leer de vier bewegingen herkennen en je leest de grafiek zo af.
Wat betekent een grafiek transformeren?
Een grafiek transformeren betekent: een bekende grafiek pakken en hem verschuiven (op een andere plek zetten) of vermenigvuldigen (uitrekken of indrukken). De vorm blijft herkenbaar, alleen de plaats of de grootte verandert.
Dat is handig om twee redenen. Je kunt een nieuwe grafiek snel tekenen zonder een tabel met punten te maken. En andersom: als je in een formule de basisfunctie herkent, weet je meteen hoe de grafiek eruitziet. We gebruiken de letter f voor de basisfunctie (de grafiek waar je mee begint) en g voor de nieuwe grafiek die eruit ontstaat.
De vier transformaties
Er zijn vier bewegingen. Twee ervan werken op de hoogte (buiten de functie, op de y) en twee op de breedte (binnen de functie, op de x). Sleep hieronder aan de vier schuiven en kijk hoe de grijze basisgrafiek verandert in de blauwe nieuwe grafiek. De stippen zijn de top van de vorm, zodat je goed ziet waar hij naartoe beweegt.
Zo lees je elk van de vier af. In de standaardvorm g(x) = a · f(b(x − c)) + d:
- + d verschuift omhoog of omlaag. f(x) + d tilt de hele grafiek d omhoog (of omlaag bij een negatieve d). Dit werkt precies zoals je verwacht: +2 is twee omhoog.
- × a maakt hoger of lager. a · f(x) rekt de grafiek uit vanaf de x-as: elk punt gaat a keer zo ver van de x-as af. Bij a = 2 wordt alles twee keer zo hoog, bij a = 12 half zo hoog. Is a negatief, dan klapt de grafiek ook nog om over de x-as (ondersteboven).
- x − c verschuift naar links of rechts. f(x − c) schuift de grafiek c naar rechts (let op: naar rechts bij een minteken). Bij f(x + c) gaat hij naar links.
- × b maakt breder of smaller. f(b · x) rekt de grafiek uit of drukt hem in richting de y-as, met factor 1b. Bij b = 2 wordt de grafiek twee keer zo smal, bij b = 12 juist twee keer zo breed. Een negatieve b spiegelt in de y-as.
💡 Buiten de haakjes: gewoon. Binnen de haakjes: omgekeerd.
Dit is de sleutel tot het hele onderwerp. Alles wat je buiten de functie doet (de +d en de ×a, dus op de y) werkt zoals je verwacht: +3 is drie omhoog, ×2 is twee keer zo hoog.
Alles wat je binnen de functie doet (op de x) werkt juist omgekeerd: f(x − 3) gaat naar rechts (niet links), en f(2x) maakt de grafiek smaller (niet breder).
Waarom? Neem f(x − 3). Het punt dat bij f op x = 0 lag, heb je nu pas als je invult x − 3 = 0, dus bij x = 3. Elk punt heeft dus 3 extra nodig om hetzelfde te doen: de hele grafiek schuift 3 naar rechts. Precies andersom dan het minteken suggereert.
⚠️ Waar het misgaat
1. f(x − 3) naar links schuiven. Het minteken misleidt: f(x − 3) gaat naar rechts. Reken één punt na als je twijfelt, dan zie je meteen welke kant het op moet.
2. f(2x) uitrekken in plaats van indrukken. Een factor 2 binnen de haakjes maakt de grafiek juist twee keer zo smal. De breedte verandert met 1b, dus met het omgekeerde van b.
3. a·f(x) en f(a·x) door elkaar halen. 2·f(x) maakt de grafiek twee keer zo hoog (verticaal), maar f(2x) maakt hem twee keer zo smal (horizontaal). De ene 2 staat buiten, de andere binnen de haakjes: dat scheelt alles.
Een formule herkennen als een verschoven basisfunctie
Deze vier transformaties werken de andere kant op net zo goed. Zie je een formule die op een basisfunctie lijkt, dan lees je de transformaties er zo uit af. Neem:
y = 2(x − 3)2 + 1
Herken de basisfunctie f(x) = x2 (de parabool). De rest zijn transformaties: het (x − 3) schuift 3 naar rechts, de 2· ervoor maakt hem twee keer zo hoog (smaller ogende parabool), en de + 1 tilt alles 1 omhoog. De top van de parabool, die bij x2 in (0, 0) ligt, verhuist zo naar (3, 1). Zonder één punt uit te rekenen weet je nu al hoe de grafiek eruitziet.
💡 Dit heb je al eerder gedaan
De sinusoïde y = a + b·sin(c(x − d)) is niets anders dan de basisfunctie sin, getransformeerd met precies deze vier bewegingen: b maakt hem hoger (de amplitude), c maakt hem smaller of breder (de periode), d schuift naar rechts en a schuift omhoog. Als je de sinusoïde al kunt aflezen, ken je transformeren dus eigenlijk al. De basisfuncties zelf (machten, wortels, e-machten) staan bij Machts- & wortelfuncties en Exponentiële & logaritmische functies.
Twee functies optellen of vermenigvuldigen
De +d en de ×a hierboven zijn eigenlijk een functie combineren met een gewoon getal. Je kunt ook twee hele functies combineren, met +, −, × of ÷. De grafiek van f(x) + g(x) maak je door op elke x de twee hoogtes bij elkaar op te tellen.
Voor −, × en ÷ werkt het net zo, maar dan trek je de hoogtes van elkaar af, vermenigvuldig je ze, of deel je ze (per x). Let bij delen op: waar de noemer g(x) = 0 is, bestaat f(x)g(x) niet, precies zoals bij de domein-regels van breukfuncties.
📋 Stappenplan
Van een formule naar de transformaties (om de grafiek te tekenen):
- Herken de basisfunctie onder alle getallen: is het x2, √x, 2x, sin(x)?
- Lees de vier transformaties af. Buiten de haakjes: de ×a (hoogte) en de +d (omhoog/omlaag). Binnen de haakjes: de ×b (breedte, omgekeerd) en de −c (links/rechts, omgekeerd).
- Volg een herkenbaar punt. Neem een duidelijk punt van de basisfunctie (de top, het beginpunt van een wortel) en pas de transformaties erop toe. Zo weet je precies waar de nieuwe grafiek ligt.
Van transformaties naar een formule (in de goede volgorde invullen):
- Breedte en horizontale verschuiving eerst, want die zitten binnen de haakjes: vervang de x door b(x − c). Onthoud dat "naar rechts met c" een − c geeft en "breder met factor k" een 1k voor de x.
- Hoogte en verticale verschuiving daarna (buiten de haakjes): zet de ×a ervoor en tel de +d erbij: a · f(b(x − c)) + d.
Uitgewerkte examenopgave
Gegeven is de basisfunctie f(x) = √x. De grafiek van f wordt achtereenvolgens 4 naar links verschoven, twee keer zo hoog gemaakt (ten opzichte van de x-as) en daarna 3 omlaag geschoven. Dit geeft de grafiek van g.
a) Welke van deze transformaties werken binnen de functie en welke erbuiten?
b) Stel het voorschrift van g op.
Onderdeel a. Kijk of de transformatie op de x werkt (binnen de haakjes) of op de hoogte (erbuiten):
- 4 naar links: dat is een horizontale verschuiving, dus binnen de functie, op de x. Naar links betekent + 4 bij de x: √(x + 4).
- Twee keer zo hoog: dat werkt op de hoogte, dus buiten de functie: 2 · √…
- 3 omlaag: ook op de hoogte, buiten de functie: … − 3
Onderdeel b. Bouw het voorschrift op. Eerst het stuk binnen de haakjes (naar links), dan de hoogte-bewerkingen erbuiten:
g(x) = 2·√(x + 4) − 3
🔎 Controle met het beginpunt
De wortel begint bij f in (0, 0). Na 4 naar links en 3 omlaag hoort het beginpunt in (−4, −3) te liggen. Reken na: g(−4) = 2·√(−4 + 4) − 3 = 2·0 − 3 = −3. ✓ Precies het blauwe beginpunt in de figuur. Ook het domein schuift mee: onder de wortel moet x + 4 ≥ 0, dus x ≥ −4.
Zelf oefenen
Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Volg steeds één herkenbaar punt (de top of het beginpunt) om je antwoord te controleren.
Opgave 1. De grafiek van g(x) = (x − 2)2 − 5 ontstaat uit de parabool y = x2. Beschrijf de transformaties en geef de top van g.
Herken de basisfunctie f(x) = x2. Dan:
- (x − 2) binnen de haakjes: 2 naar rechts.
- − 5 buiten de haakjes: 5 omlaag.
De top van y = x2 ligt in (0, 0). Na 2 naar rechts en 5 omlaag komt de top in:
top van g: (2, −5)
Er staat geen getal vóór de haakjes, dus a = 1: de parabool wordt niet hoger of lager, alleen verplaatst.
Opgave 2 (van woorden naar formule). De grafiek van y = 2x wordt twee keer zo breed gemaakt (ten opzichte van de y-as) en daarna 3 omlaag geschoven. Geef het voorschrift.
Twee keer zo breed is een horizontale vermenigvuldiging, dus binnen de haakjes en met het omgekeerde: breder met factor 2 betekent de x vervangen door 12x.
3 omlaag is buiten de haakjes: − 3.
y = 212x − 3
Controle: bij y = 2x hoort het punt (2, 4). Twee keer zo breed betekent dat dat punt op x = 4 terechtkomt, en 3 omlaag geeft (4, 1). Reken na: 2½·4 − 3 = 22 − 3 = 1. ✓
Opgave 3 (van grafiek naar voorschrift). Hieronder zie je een parabool die is ontstaan uit y = x2. Stel het voorschrift op in de vorm y = a(x − c)2 + d.
Klik hier voor de uitwerking van opgave 3.
Top aflezen. De top ligt in (−1, 2), dus de parabool is 1 naar links en 2 omhoog geschoven. Dat geeft (x + 1) binnen de haakjes en + 2 erbuiten:
y = a(x + 1)2 + 2
Factor a via een tweede punt. De grafiek gaat door (0, 0) (en door (−2, 0)). Bovendien opent hij naar beneden, dus a is negatief. Vul (0, 0) in:
0 = a(0 + 1)2 + 2, dus a = −2
y = −2(x + 1)2 + 2
De −2 zorgt voor twee dingen tegelijk: het minteken klapt de parabool om (opent naar beneden) en de 2 maakt hem twee keer zo smal.
Zodra je functies kunt verschuiven en combineren, is de volgende stap ze in elkaar schuiven (samenstellen) en weer terugrekenen (de inverse). Dat is de volgende pagina in deze hub: Samengestelde & inverse functies.
Kom je er niet uit?
Vooral dat "binnen de haakjes werkt alles omgekeerd" blijft lastig. Eén keer samen goed op een rij zetten en het went snel. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.
Plan een gratis kennismaking