Home › Functies › Samengestelde & inverse functies

Samengestelde & inverse functies

Twee manieren om van bekende functies iets nieuws te maken. Je kunt ze achter elkaar zetten (de ene in de andere schuiven) of een functie omkeren, zodat hij terugrekent naar waar je begon.

Waar gaat dit over?

Een functie is een reken-machine: je stopt er een getal in en er komt een getal uit. Op deze pagina doen we twee dingen met zulke machines.

Samenstellen: twee machines achter elkaar zetten. De uitvoer van de eerste gaat meteen de tweede in. Zo maak je van twee eenvoudige functies één samengestelde functie.
De inverse: een machine omkeren, zodat hij precies terugrekent. Doet de functie "keer 2", dan doet de inverse "deel door 2". Stop je erin wat eruit kwam, dan krijg je je begingetal terug.

Allebei komen ze op het examen terug, en de inverse duikt straks weer op bij het exact oplossen van vergelijkingen. We beginnen bij het samenstellen, want dat heb je stiekem al vaker gedaan dan je denkt.

Functies samenstellen: de ene in de andere

Neem twee functies, bijvoorbeeld g(x) = x + 3 en f(x) = x². Ze samenstellen betekent: eerst het getal door g halen, en de uitkomst daarvan meteen door f. Je schrijft dat als f(g(x)): van binnen naar buiten lezen, dus eerst de g die het dichtst bij de x staat.

Wat gebeurt er als je 2 invoert? Eerst g: g(2) = 2 + 3 = 5. Die 5 gaat door f: f(5) = 5² = 25. Dus f(g(2)) = 25. Wil je niet elk getal apart doen, dan stel je één formule op door in f overal de x te vervangen door de hele g:

f(g(x)) = (x + 3)² (in f(x) = x² is x vervangen door x + 3)

💡 Binnenste en buitenste functie

Bij f(g(x)) heet g de binnenste functie (die staat binnen de haakjes, hij gaat als eerste aan de beurt) en f de buitenste functie (die werkt op de uitkomst van g). Herken je in een ingewikkelde formule een binnenste en een buitenste stuk, dan zie je meteen dat het een samengestelde functie is.

Voorbeeld: y = √(2x − 1) is samengesteld. Binnenste: 2x − 1. Buitenste: de wortel. Precies dit uit elkaar halen heb je nodig bij de kettingregel: eerst de buitenste afleiden, dan keer de afgeleide van de binnenste.

De volgorde maakt uit. Draai je f en g om, dan krijg je bijna altijd iets anders:

g(f(x)) = f(x) + 3 = x² + 3 (nu eerst kwadrateren, dan pas + 3)

(x + 3)² en x² + 3 zijn niet hetzelfde. "Eerst 3 erbij en dan kwadrateren" geeft een ander getal dan "eerst kwadrateren en dan 3 erbij". Let dus altijd goed op welke functie binnen staat.

De inverse: het terugreken-recept

De inverse van een functie is de functie die alles weer terugdraait. Stopt f een 5 erin en komt er 10 uit, dan doet de inverse het omgekeerde: stop je die 10 erin, dan krijg je 5 terug. De inverse van f schrijf je als f⁻¹ (spreek uit: "f-inverse").

Het simpelste voorbeeld: f(x) = 2x doet "keer 2". Wat maakt dat weer ongedaan? "Deel door 2". Dus f⁻¹(x) = 12x. Controleer: f(5) = 10 en f⁻¹(10) = 5. Je bent terug bij af.

🔎 Zo test je of twee functies elkaars inverse zijn

Doe ze allebei achter elkaar (samenstellen!). Als je precies je begingetal terugkrijgt, kloppen ze: f⁻¹(f(x)) = x voor elke x. Bij het voorbeeld: f⁻¹(f(x)) = 12·(2x) = x. ✓ De ene machine maakt de andere volledig ongedaan.

Dat "keer 2 tegenover deel door 2" is precies waarom de logaritme bestaat: de logaritme is de inverse van de exponentiële functie. De ^glog rekent terug wat g^x heeft gedaan. Op deze pagina leer je hoe je zo'n inverse zelf opstelt.

De inverse in de grafiek: spiegelen in y = x

Bij de inverse verwisselen invoer en uitvoer van rol. Ligt op de grafiek van f het punt (a, b) (je stopt a erin, b komt eruit), dan hoort bij de inverse het punt (b, a) (nu stop je b erin en komt a eruit). De x en de y wisselen dus van plaats. En dat is precies wat er meetkundig gebeurt als je spiegelt in de lijn y = x, de schuine lijn onder 45°.

Sleep hieronder het blauwe punt over de grafiek van f en kijk waar het groene spiegelpunt op f⁻¹ terechtkomt. Wissel ook eens van functie.

💡 Ook domein en bereik wisselen om

Omdat invoer en uitvoer verwisselen, verwisselen ook het domein (de getallen die je erin mag stoppen) en het bereik (de getallen die eruit komen). Het bereik van f wordt het domein van f⁻¹, en andersom. Weet je van de wortelfunctie nog niet zeker wat domein en bereik ook alweer waren? Kijk dan op Machts- & wortelfuncties. Dit omwisselen komt zo terug in de uitgewerkte opgave.

Wanneer heeft een functie een inverse?

Terugrekenen kan alleen als elke uitkomst maar bij één invoer hoort. Anders weet je niet waar je vandaan kwam. Neem f(x) = x² over alle getallen: zowel x = 3 als x = −3 geeft 9. Krijg je "9" terug, dan kun je niet zeggen of je met 3 of met −3 begon. Zo'n functie heeft geen inverse.

De oplossing die je op het examen tegenkomt: het domein inperken. Spreek je af dat je alleen naar x ≥ 0 kijkt, dan hoort bij elke uitkomst weer precies één x, en bestaat de inverse wél: dat is de wortel. Een functie die overal stijgt (of overal daalt) heeft altijd een inverse, want dan komt elke waarde maar één keer voor.

⚠️ Waar het misgaat

1. Denken dat f⁻¹(x) hetzelfde is als 1f(x). Dat is de grootste valkuil. Het kleine −1 is hier gewoon een naam ("de inverse"), geen macht. Bij f(x) = x + 2 is de inverse f⁻¹(x) = x − 2 (twee eraf haalt twee erbij weg), en absoluut niet 1x + 2. Reken bij twijfel na: doe f en je antwoord achter elkaar en kijk of je je begingetal terugkrijgt.

2. De volgorde bij samenstellen omdraaien. f(g(x)) en g(f(x)) zijn in het algemeen niet gelijk. Kijk altijd welke functie binnen de haakjes staat: die gaat als eerste.

📋 Stappenplannen

Een samengestelde functie opstellen (bijvoorbeeld f(g(x))):

Bepaal de binnenste functie (die het dichtst bij de x staat, hier g) en de buitenste (hier f).
Vervang in de buitenste functie elke x door de hele formule van de binnenste. Zet die tussen haakjes, zodat je niets vergeet.
Werk uit en vereenvoudig waar het kan.

De inverse opstellen (het terugreken-recept vinden):

Schrijf y = f(x).
Verwissel x en y in de vergelijking. (Bij de inverse zijn invoer en uitvoer immers omgedraaid.)
Los op naar y. Werk stap voor stap naar "y = …" toe; wat je overhoudt is f⁻¹(x).
Bepaal het domein van f⁻¹: dat is het bereik van f.

Uitgewerkte examenopgave

Gegeven is de functie f(x) = 2√(x − 1) + 3 met x ≥ 1.

a) Leg uit waarom f een inverse heeft.
b) Stel het voorschrift van f⁻¹ op en geef het domein.

Onderdeel a. Onder de wortel neemt x − 1 toe als x toeneemt, dus de wortel neemt toe, en dus stijgt f overal op zijn domein. Een functie die overal stijgt, geeft elke waarde maar één keer: bij elke uitkomst hoort precies één x. Daarom kun je terugrekenen en heeft f een inverse.

Onderdeel b. We volgen het stappenplan.

y = 2√(x − 1) + 3 (stap 1: schrijf y = f(x))

x = 2√(y − 1) + 3 (stap 2: verwissel x en y)

Nu stap 3: los op naar y. Eerst de 3 naar links, dan delen door 2:

x − 3 = 2√(y − 1)

x − 32 = √(y − 1)

Om de wortel weg te werken kwadrateer je beide kanten. Daarna nog de −1 naar de andere kant:

(x − 32)² = y − 1

y = (x − 32)² + 1

Dat is de inverse:

f⁻¹(x) = (x − 32)² + 1

Het domein. Het domein van f⁻¹ is het bereik van f. Bij x = 1 is f(1) = 2·0 + 3 = 3, en omdat f stijgt is dat de laagste waarde; f loopt vanaf daar omhoog. Het bereik van f is dus y ≥ 3, en daarmee:

domein van f⁻¹: x ≥ 3

🔎 Controle met een punt

Neem x = 2 in f: f(2) = 2√1 + 3 = 5, het blauwe punt (2, 5). Stop die 5 in de inverse: f⁻¹(5) = (5 − 32)² + 1 = 1² + 1 = 2. Je bent terug bij 2. ✓ En inderdaad: (2, 5) op f wordt (5, 2) op de inverse, het groene punt. Let op dat het domein x ≥ 3 nodig is: zonder die grens zou (x − 32)² + 1 ook een linkerhelft hebben, en die hoort niet bij f.

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Bij de inverse: reken je antwoord na door f en je uitkomst achter elkaar te doen; kom je op je begingetal uit, dan klopt het.

Opgave 1 (volgorde). Gegeven f(x) = x² − 1 en g(x) = 2x + 1. Bepaal f(g(x)) én g(f(x)).

Voor f(g(x)) is g de binnenste. Vervang in f(x) = x² − 1 de x door 2x + 1:

f(g(x)) = (2x + 1)² − 1 = 4x² + 4x + 1 − 1 = 4x² + 4x

Voor g(f(x)) is f de binnenste. Vervang in g(x) = 2x + 1 de x door x² − 1:

g(f(x)) = 2(x² − 1) + 1 = 2x² − 1

Verschillende antwoorden: de volgorde maakt dus echt uit.

Opgave 2 (inverse van een exponentiële functie). Bepaal de inverse van f(x) = 3·2^x en geef het domein.

y = 3·2^x (stap 1)

x = 3·2^y (stap 2: verwissel x en y)

Nu y uit de exponent halen. Eerst delen door 3, dan de logaritme nemen (de inverse van de macht):

x3 = 2^y

y = ²log(x3)

f⁻¹(x) = ²log(x3)

Het bereik van f(x) = 3·2^x is y > 0 (een exponentiële functie blijft altijd boven de x-as). Dus het domein van de inverse is x > 0.

Controle: f(1) = 3·2 = 6, en f⁻¹(6) = ²log(2) = 1. ✓ Meer over deze logaritme-stap staat bij Exponentiële & logaritmische functies.

Opgave 3 (van grafiek naar voorschrift). Hieronder zie je de grafiek van een lineaire functie f. Lees f af, stel het voorschrift van f⁻¹ op, en beschrijf hoe je zijn grafiek uit die van f krijgt.

Klik hier voor de uitwerking van opgave 3.

f aflezen. De lijn gaat door (0, 1) en door (2, 2). Vanaf (0, 1) ga je 2 naar rechts en 1 omhoog, dus de richtingscoëfficiënt is 12 en het snijpunt met de y-as is 1:

f(x) = 12x + 1

De inverse. Verwissel x en y en los op:

x = 12y + 1

x − 1 = 12y

y = 2(x − 1) = 2x − 2

f⁻¹(x) = 2x − 2

De grafiek van f⁻¹ krijg je door die van f te spiegelen in de lijn y = x. Zo ziet dat eruit:

Merk op: f had richtingscoëfficiënt 12 en de inverse heeft er 2. Spiegelen in y = x verwisselt "2 naar rechts, 1 omhoog" tot "1 naar rechts, 2 omhoog".

Kun je de inverse opstellen, dan kun je ook vergelijkingen als f(x) = c oplossen: de inverse doet het terugrekenen. Dat gereedschap gebruik je volop bij Vergelijkingen exact oplossen, de volgende stap in deze hub.

Kom je er niet uit?

Samenstellen en de inverse voelen abstract tot je ze een paar keer zelf uitschrijft. Eén keer samen goed op een rij zetten en het klikt. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking