Home › Functies › Ongelijkheden oplossen
Ongelijkheden oplossen
Een ongelijkheid los je bijna net zo op als een vergelijking. Er zijn maar twee dingen die anders zijn, en precies dáár verliezen de meeste mensen hun punten. Als je die twee kent, is de rest bekend terrein.
Wat is een ongelijkheid?
Bij een vergelijking staat er een isgelijkteken: je zoekt de x waarvoor links en rechts precies gelijk zijn, bijvoorbeeld x² = 4 met oplossingen x = 2 en x = −2. Bij een ongelijkheid staat er in plaats daarvan een van deze tekens:
- < kleiner dan · > groter dan
- ≤ kleiner dan of gelijk aan · ≥ groter dan of gelijk aan
Je zoekt nu niet de x waarvoor iets gelijk is, maar alle x waarvoor de ene kant kleiner (of groter) is dan de andere. Bij x² < 4 vraag je: voor welke x is x² kleiner dan 4? Dat is niet één getal, maar een heel stuk van de getallenlijn: alle x tussen −2 en 2. Het antwoord op een ongelijkheid is daarom bijna nooit een los getal, maar een interval: een aaneengesloten stuk x-waarden.
💡 Het antwoord is een gebied, geen punt
Denk aan de grafieken. De vergelijking f(x) = g(x) vraagt naar de snijpunten: waar liggen de twee grafieken op gelijke hoogte? De ongelijkheid f(x) < g(x) vraagt iets ruimers: waar ligt de grafiek van f onder die van g? Dat is niet een punt, maar een heel stuk langs de x-as.
De snijpunten zijn precies de grenzen van dat stuk. Daarom begin je een ongelijkheid altijd door eerst de bijbehorende gelijkheid op te lossen: die geeft je de grenspunten. Daarna hoef je alleen nog te bepalen wélke stukken tussen die grenzen goed zijn.
Interval-notatie kort
Een interval schrijf je met de twee grenzen tussen haakjes. Het soort haakje vertelt of de grens zelf meedoet:
- Een recht haakje [ of ] betekent: de grens hoort erbij (dicht). Dat past bij ≤ en ≥.
- Een rond haakje ⟨ of ⟩ betekent: de grens hoort er net niet bij (open). Dat past bij < en >.
Zo is −1 ≤ x ≤ 3 hetzelfde als het interval [−1, 3], en −2 < x < 2 hetzelfde als ⟨−2, 2⟩. Loopt het door tot oneindig, dan gebruik je een pijl: x ≥ 4 is [4, →⟩ en x < −2 is ⟨←, −2⟩. Je mag het antwoord altijd óók gewoon met x en een ongelijkheidsteken opschrijven; beide zijn goed. (Deze notatie kwam ook langs bij Machts- & wortelfuncties, waar je er domein en bereik mee opschreef.)
Het eerste verschil: het teken kan omklappen
Een ongelijkheid mag je bijna precies zo behandelen als een vergelijking: aan beide kanten hetzelfde optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen. Op één ding na, en dat is meteen de belangrijkste regel van deze hele pagina.
💡 Vermenigvuldigen of delen door een negatief getal? Klap het teken om.
Kijk naar een waar feit: 3 < 5. Vermenigvuldig nu beide kanten met −1. Links wordt −3, rechts wordt −5. Maar −3 < −5 is onwaar: −3 is juist groter dan −5 (het ligt rechts ervan op de getallenlijn). Om het weer waar te maken moet het teken omklappen: −3 > −5.
Dat geldt altijd: zodra je beide kanten met een negatief getal vermenigvuldigt of erdoor deelt, draait < om naar > (en ≤ naar ≥, en andersom). Bij een positief getal verandert er niets.
−2x < 6 → x > −3 (door −2 gedeeld, dus het teken klapt om)
Het tweede verschil: open of dichte grenzen
De grenzen die je vindt, doen soms wél en soms niet mee. Dat hangt af van het teken in de opgave:
- Bij < en > doen de grenzen zelf niet mee (open, ronde haakjes). Op de grens zijn de twee kanten immers precies gelijk, en "gelijk" telt hier niet.
- Bij ≤ en ≥ doen de grenzen wél mee (dicht, rechte haakjes), want "of gelijk aan" hoort er dan uitdrukkelijk bij.
Grafisch: welke grafiek ligt onder?
De duidelijkste manier om te zien wat het antwoord is, is een plaatje. Om x² < c op te lossen teken je y = x² (blauw) en de lijn y = c (oranje). Het antwoord is het stuk van de x-as waar de blauwe grafiek onder de oranje lijn ligt. Sleep de lijn omhoog en omlaag, en wissel het teken, om te zien hoe het oplossingsgebied meebeweegt.
⚠️ Waar het misgaat
1. Het teken vergeten om te klappen. De grootste puntendief bij ongelijkheden. Wie −2x < 6 "oplost" tot x < −3 heeft precies de verkeerde helft van de getallenlijn. Vraag jezelf bij elke deling af: deel ik door een negatief getal? Zo ja, draai het teken.
2. Stoppen na de gelijkheid. De grenspunten die je met de gelijkheid vindt, zijn nog niet het antwoord. Een ongelijkheid vraagt om een interval, niet om losse getallen. Na de grenzen komt altijd nog de vraag: welk stuk ertussen (of erbuiten) klopt?
3. Delen door x. Net als bij vergelijkingen: deel nooit links en rechts door x, want je weet niet of x positief, negatief of nul is (en dat bepaalt juist of het teken omklapt). Breng alles naar één kant en ontbind. Meer daarover bij Vergelijkingen exact oplossen.
4. Het verkeerde haakje. Bij < en > zijn de grenzen open, bij ≤ en ≥ dicht. Een rond haakje waar een recht hoort (of andersom) is een klassieke slordigheidsfout.
📋 Het stappenplan
- Los eerst de gelijkheid op. Vervang het ongelijkheidsteken even door een =, breng alles naar één kant en los f(x) = g(x) op met de aanpak van Vergelijkingen exact oplossen. De oplossingen zijn de grenspunten.
- Bepaal per stuk of het klopt. De grenspunten verdelen de getallenlijn in stukken. Kies in elk stuk één makkelijk proefgetal en vul dat in de ongelijkheid in: klopt het, dan hoort dat hele stuk bij het antwoord. (Of lees het af uit een grafiek: waar ligt de ene grafiek onder de andere?)
- Schrijf het interval op. Voeg de goede stukken samen tot je antwoord. Let op de grenzen: open (⟨ ⟩) bij < en >, dicht ([ ]) bij ≤ en ≥.
- Controleer. Vul een getal uit je antwoord in: klopt de ongelijkheid? En let terug op de omklap-regel bij elke deling die je onderweg deed.
🔎 Tekenschema of proefgetal?
"Per stuk of het klopt bepalen" heet ook wel een tekenschema maken: je brengt alles naar één kant zodat er h(x) < 0 (of > 0) staat, en bepaalt van die ene functie h het teken (+ of −) in elk stuk. Datzelfde tekenschema gebruikte je bij stijgen en dalen met de afgeleide. Een proefgetal invullen is precies de snelle manier om dat teken te vinden.
Uitgewerkte examenopgave
Los op: x² ≤ 2x + 3.
Stap 1: los de gelijkheid op. Zet even = en breng alles naar één kant:
x² = 2x + 3 → x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0
x = 3 of x = −1 (de twee grenspunten)
Stap 2: bepaal per stuk of het klopt. De grenzen −1 en 3 verdelen de getallenlijn in drie stukken. Kies in elk stuk een proefgetal en vul het in de oorspronkelijke ongelijkheid x² ≤ 2x + 3 in:
x = −2 (links): 4 ≤ −1? nee ✗
x = 0 (midden): 0 ≤ 3? ja ✓
x = 4 (rechts): 16 ≤ 11? nee ✗
Alleen het middenstuk klopt. Dat zie je ook meteen in de figuur: daar ligt de parabool onder (of op) de lijn.
Stap 3: schrijf het interval op. Het goede stuk loopt van −1 tot 3, en omdat er ≤ staat doen de grenzen zelf mee:
−1 ≤ x ≤ 3 (of als interval: [−1, 3])
🔎 Controle (stap 4)
Pak een getal uit het antwoord, bijvoorbeeld x = 0: 0² = 0 en 2·0 + 3 = 3, en inderdaad 0 ≤ 3 ✓. En een getal erbuiten, x = 4: 16 ≤ 11 is onwaar, dus die hoort er terecht niet bij. ✓
Ongelijkheden met sinus of cosinus
Bij een ongelijkheid met sinus of cosinus, zoals sin(x) > 12, werkt het idee precies hetzelfde: eerst de gelijkheid oplossen voor de grenzen, dan het interval bepalen. Alleen zijn er bij gonio twee oplossingsfamilies om rekening mee te houden. De volledige aanpak, met een gearceerd oplossingsinterval in de figuur, staat bij Goniometrische vergelijkingen oplossen.
Zelf oefenen
Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Denk bij elke opgave: eerst de gelijkheid, dan welke stukken kloppen, en tot slot open of dichte grenzen.
Opgave 1 (lineair, met omklappen). Los op: 3 − 2x ≥ 7.
Dit is lineair, dus je kunt het in één rechte lijn oplossen. Haal eerst de 3 naar rechts:
−2x ≥ 4
Nu deel je beide kanten door −2. Dat is een negatief getal, dus het teken klapt om van ≥ naar ≤:
x ≤ −2 (of als interval: ⟨←, −2])
Controle: x = −3 geeft 3 − 2·(−3) = 3 + 6 = 9 ≥ 7 ✓. En x = 0 geeft 3 ≥ 7, onwaar, dus die hoort er terecht niet bij. De grens −2 doet mee (dicht), want er staat ≥.
Opgave 2 (kwadratisch, twee stukken). Los exact op: x² > 5.
Eerst de gelijkheid: x² = 5 geeft x = √5 of x = −√5 (de ± bij een even macht). Dat zijn de grenzen; laat de wortel exact staan.
Nu de stukken. Je zoekt waar x² groter is dan 5, dus waar de parabool boven de lijn y = 5 ligt: dat zijn de twee buitenste stukken, niet het midden. Een proefgetal bevestigt het:
x = 0 (midden): 0 > 5? nee ✗
x = 3 (rechts): 9 > 5? ja ✓
Het antwoord bestaat dus uit twee losse stukken. De grenzen doen niet mee (er staat >):
x < −√5 of x > √5
Opgave 3 (van grafiek naar oplossing). Hieronder staan de parabool y = −x² + 4 (blauw) en de lijn y = x + 2 (oranje). Los met behulp van de figuur op: −x² + 4 > x + 2. Waar ligt de blauwe grafiek boven de oranje?
Klik hier voor de uitwerking van opgave 3.
Uit de figuur: de grafieken snijden elkaar in twee punten, bij x = −2 en x = 1. Tussen die twee ligt de blauwe parabool boven de oranje lijn. Daar is −x² + 4 > x + 2 dus waar.
De berekening erbij (om de grenzen exact te vinden). Los de gelijkheid op door alles naar één kant te brengen:
−x² + 4 = x + 2 → 0 = x² + x − 2 → (x + 2)(x − 1) = 0
x = −2 of x = 1 (precies de snijpunten uit de figuur)
De grafiek laat zien dat het middenstuk het goede is. Omdat er > staat, doen de grenzen niet mee:
−2 < x < 1 (of als interval: ⟨−2, 1⟩)
Controle met een proefgetal uit het midden, x = 0: links −0 + 4 = 4, rechts 0 + 2 = 2, en 4 > 2 ✓. De blauwe grafiek ligt daar inderdaad boven de oranje.
Weet je bij het eerste stukje niet meer hoe je de gelijkheid oplost (kwadratisch, met een wortel, of met een logaritme)? Fris het op bij Vergelijkingen exact oplossen.
Kom je er niet uit?
Het teken op tijd omklappen en de grenzen goed noteren: bij ongelijkheden zit het venijn in de details. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.
Plan een gratis kennismaking