Home › Meetkunde › Parametervoorstellingen

Parametervoorstellingen van een lijn en een cirkel

Een vergelijking vertelt je óf een punt op een figuur ligt. Een parametervoorstelling doet iets anders: die rekent de punten voor je uit. Je vult een getal in en er komt een punt uit.

Tot nu toe beschreef je een lijn met een vergelijking als y = 12x + 112 (zie Lijnen) en een cirkel met (x − a)² + (y − b)² = r² (zie De cirkel). Zo'n vergelijking is een eis: je vult de coördinaten van een punt in en kijkt of het klopt. Klopt het, dan ligt het punt op de figuur.

Er is een tweede manier om precies dezelfde lijn of cirkel te beschrijven: de parametervoorstelling. Die stelt geen eis, maar rekent de punten uit. Je krijgt er één extra getal bij, en dat getal heet de parameter. Meestal noemen we hem t. Voor elke waarde die je aan t geeft, komt er precies één punt uit. Neem je alle waarden van t bij elkaar, dan krijg je de hele lijn of cirkel.

Het verschil in één zin: met een vergelijking controleer je een punt dat je al hebt, met een parametervoorstelling maak je punten.

Zo ziet een parametervoorstelling van een lijn eruit

Een parametervoorstelling bestaat altijd uit twee regels: één voor de x en één voor de y. In allebei staat dezelfde t. Bijvoorbeeld:

x = 1 + 2t

y = 2 + t

Lees dat zo: kies een getal voor t, reken daarmee x uit, reken daarmee y uit, en je hebt een punt. Doe dat maar een paar keer:

Zet je die punten in een assenstelsel, dan zie je meteen wat er gebeurt: ze liggen keurig op één rechte lijn, met steeds even grote stappen ertussen.

De twee dingen die in een parametervoorstelling zitten

In die twee regels zitten precies twee stukjes informatie, en allebei kun je ze zó aflezen.

1. Het steunpunt: waar je begint. Vul t = 0 in en alle t-en vallen weg; je houdt de losse getallen over. Hier is dat het punt (1, 2). Dat punt heet het steunpunt van de parametervoorstelling: het punt waar je vandaan vertrekt. Je ziet het meteen aan de losse getallen vooraan de twee regels.

2. De richting: welke kant je op gaat. Dat zijn de getallen die bij de t staan: hier een 2 in de x-regel en een 1 in de y-regel. Ze betekenen samen: elke keer dat t met 1 omhoog gaat, ga je 2 naar rechts en 1 omhoog. Precies de stap die je in de figuur ziet. (Dat paar getallen krijgt op de volgende pagina een eigen naam: het heet een vector. Voor nu is "2 opzij en 1 omhoog" genoeg.)

Uit die richting volgt ook de richtingscoëfficiënt van de lijn: die is omhoog gedeeld door opzij, dus 12. Zie Lijnen als je dat wilt opfrissen.

Twee dingen die vaak vragen oproepen:

• t mag ook negatief zijn. Dan ga je vanaf het steunpunt de ándere kant op. Bij t = −1 kom je op (−1, 1), links van het steunpunt. De lijn begint dus niet bij t = 0, hij loopt gewoon door.
• t hoeft geen heel getal te zijn. Bij t = 0,5 krijg je (2; 2,5), precies halverwege tussen (1, 2) en (3, 3). Omdat t élk getal mag zijn, krijg je de hele doorlopende lijn en niet alleen die losse stippen.

De cirkel: hier is t een hoek

Bij een cirkel werkt hetzelfde idee, maar de twee regels zien er anders uit. Rechtdoor gaan levert namelijk nooit een cirkel op; je moet rónd.

Daarvoor gebruik je sinus en cosinus. Op de eenheidscirkel (de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 1) geldt: draai je vanaf de positieve x-as over een hoek t, dan is het punt waar je uitkomt (cos t, sin t). Oftewel: cos t is hoe ver het punt naar rechts ligt en sin t hoe hoog het staat. Zie De eenheidscirkel als dat nog wankel voelt. Die hoek t meet je in radialen: een heel rondje is 2π.

Wil je een cirkel met straal r in plaats van 1, dan maak je alles r keer zo groot: (r · cos t, r · sin t). En wil je het middelpunt in M(a, b) in plaats van in de oorsprong, dan schuif je alles op:

Neem als voorbeeld x = 2 + 3 · cos t en y = 1 + 3 · sin t. Daar lees je aan af: het middelpunt is M(2, 1) en de straal is 3. De vier punten van de kwartslagen reken je zo uit:

Bij t = 2π ben je weer terug bij het begin: het rondje is rond. Daarom hoef je t niet verder te laten lopen dan 2π.

Van vergelijking naar parametervoorstelling

Op het examen moet je beide kanten op kunnen. Eerst deze kant: je krijgt een vergelijking en moet er een parametervoorstelling bij maken.

Bij een lijn

Geef een parametervoorstelling van de lijn y = 12x + 112.

Je hebt twee dingen nodig: een steunpunt en een richting.

Een steunpunt vind je door een handige x te kiezen en de bijbehorende y uit te rekenen. Neem x = 1:

y = 12 · 1 + 112 = 2   →   het steunpunt (1, 2)

De richting haal je uit de richtingscoëfficiënt. Die is hier 12, dus: 1 naar rechts en 12 omhoog. Met breuken rekent niemand graag, dus maak je er hele getallen van door allebei keer 2 te doen: 2 naar rechts en 1 omhoog. Dat is dezelfde richting, alleen met een grotere stap.

Nu opschrijven, steunpunt vooraan en richting bij de t:

x = 1 + 2t

y = 2 + t

Controle. Neem t = 2: dat geeft (5, 4). Voldoet dat aan de vergelijking? 12 · 5 + 112 = 4 ✓

Staat de lijn in de vorm ax + by = c, bijvoorbeeld 3x + 2y = 12? Dan werkt het net zo. Steunpunt: vul x = 0 in, dat geeft (0, 6). Richting: de rc is −32, dus 2 naar rechts en 3 omlaag. Dat wordt x = 2t, y = 6 − 3t.

Bij een cirkel

Geef een parametervoorstelling van de cirkel (x + 1)² + (y − 2)² = 16.

Hier hoef je alleen maar het middelpunt en de straal af te lezen en in te vullen. Let op het plusteken bij de x: dat hoort bij a = −1. En rechts staat r², dus r = √16 = 4.

x = −1 + 4 · cos t

y = 2 + 4 · sin t     met 0 ≤ t < 2π

Controle. Neem t = 0: dat geeft (3, 2). Invullen: (3 + 1)² + (2 − 2)² = 16 + 0 = 16 ✓

Van parametervoorstelling naar vergelijking: t elimineren

De andere kant op is meestal de lastigste. Je hebt twee regels met een t erin, en je wilt één vergelijking met alleen x en y. De t moet dus weg, en dat heet t elimineren (elimineren = wegwerken).

Bij een lijn

Geef een vergelijking van de lijn met parametervoorstelling x = 1 + 2t en y = 2 + t.

Maak t vrij uit de makkelijkste regel. Kijk waar de t het minste gedoe geeft. In de onderste regel staat gewoon + t, zonder getal ervoor, dus daar is het één stap:

y = 2 + t   →   t = y − 2

Vul dat in in de ándere regel. Overal waar t staat, komt y − 2:

x = 1 + 2(y − 2) = 1 + 2y − 4 = 2y − 3

Werk uit en schrijf netjes op. Meestal wil je y links hebben:

x = 2y − 3   →   2y = x + 3   →   y = 12x + 112

Dat is precies de lijn waar we mee begonnen. ✓ Wil je hem zonder breuken, dan mag ook x − 2y = −3.

Bij een cirkel

Bij een cirkel kun je t niet vrijmaken, want t zit gevangen binnen een cosinus en een sinus. Daar is een andere aanpak voor, en die leunt op één regel die je moet kennen.

Geef een vergelijking van de cirkel met parametervoorstelling x = 2 + 3 · cos t en y = 1 + 3 · sin t.

Zet cos t en sin t alleen. Breng het losse getal naar links en deel door de straal:

x − 2 = 3 · cos t   →   cos t = x − 23

y − 1 = 3 · sin t   →   sin t = y − 13

Kwadrateer allebei en tel ze op. Rechts komt dan cos²t + sin²t te staan, en dat is 1:

(x − 23)² + (y − 13)² = cos²t + sin²t = 1

Werk uit. Een breuk kwadrateren doe je boven en onder, dus je krijgt overal een 9 in de noemer:

(x − 2)²9 + (y − 1)²9 = 1   →   (x − 2)² + (y − 1)² = 9 (alles keer 9)

En dat is inderdaad een cirkel met M(2, 1) en r = 3, precies wat we uit de parametervoorstelling al hadden afgelezen. ✓

Niet alleen lijnen en cirkels

Een parametervoorstelling zit niet vast aan lijnen en cirkels. Zodra je twee formules met een t erin opschrijft, hoort daar een figuur bij, en die hoeft niet recht of rond te zijn. Op het examen zijn lijnen en cirkels verreweg het gewoonst, maar je kunt bijvoorbeeld ook een t² tegenkomen. Het elimineren gaat dan precies zoals hierboven; alleen je eindantwoord ziet er anders uit.

Een t in het kwadraat: een parabool

Geef een vergelijking van de kromme met parametervoorstelling x = t + 2 en y = t² − 2.

Eerst weer even puntjes uitrekenen, dan zie je waar het heen gaat:

Bij t = 1 en t = −1 komt dezelfde y eruit, en bij t = 2 en t = −2 ook. Dat komt door het kwadraat, en het is precies wat een parabool doet: links en rechts even hoog.

Stap 1: staan er een sinus en een cosinus in? Nee, dus de linkerkolom van het stappenplan.

Stap 2: t vrijmaken uit de makkelijkste regel. Dat is hier de bovenste, want daar staat t zonder kwadraat. In de onderste regel staat t², en daar t uit vrijmaken zou een wortel opleveren (met twee gevallen, plus en min). Dus:

x = t + 2   →   t = x − 2

Stap 3: invullen in de ándere regel.

y = (x − 2)² − 2

Stap 4: uitwerken. Zo mag hij blijven staan; wil je de haakjes weg, dan wordt het:

y = x² − 4x + 4 − 2 = x² − 4x + 2

Stap 5: controleren. t = 1 gaf (3, −1). Invullen: (3 − 2)² − 2 = 1 − 2 = −1 ✓

Het antwoord is dus geen lijn maar een parabool, met zijn laagste punt in (2, −2). Dat is ook logisch: het kwadraat dat in de y-regel stond, staat nu in de vergelijking.

Twee verschillende getallen: een ellips

Geef een vergelijking van de kromme met parametervoorstelling x = 2 · cos t en y = 3 · sin t.

Stap 1: er staan wél een sinus en een cosinus, dus nu de rechterkolom.

Stap 2: cos t en sin t alleen zetten. Er staan geen losse getallen, dus je hoeft alleen te delen:

cos t = x2     sin t = y3

Stap 3: kwadrateren en optellen.

(x2)² + (y3)² = cos²t + sin²t = 1

Stap 4: de breuken wegwerken. En hier loopt het anders dan bij een cirkel:

x²4 + y²9 = 1

Onder de x staat 4 en onder de y staat 9. Die zijn verschillend, dus je kunt ze niet in één keer wegvermenigvuldigen; zo laat je de vergelijking staan. Bij een cirkel staat er twee keer hetzelfde getal voor de cosinus en de sinus, en dan zijn de noemers gelijk en lukt dat wél.

De figuur die hierbij hoort is dan ook geen cirkel maar een ellips: een uitgerekte cirkel. Vanuit het midden is hij 2 breed in de x-richting en 3 hoog in de y-richting, precies de twee getallen uit de parametervoorstelling.

Snijpunten berekenen met een parametervoorstelling

Soms krijg je een lijn als parametervoorstelling en een cirkel als vergelijking, en moet je de snijpunten uitrekenen. Je zou eerst de lijn kunnen omrekenen naar een vergelijking, maar dat hoeft niet. Sterker nog: rechtstreeks invullen is meestal minder werk.

Het idee: een snijpunt ligt op allebei de figuren. Dus het komt uit de parametervoorstelling (bij een bepaalde t) én het voldoet aan de vergelijking. Vul daarom de twee regels van de parametervoorstelling in in de vergelijking. Alle x-en en y's verdwijnen, en je houdt één vergelijking met alleen t over. Die los je op, en met elke gevonden t reken je het punt uit.

Bonus: je weet daarna niet alleen wáár de snijpunten liggen, maar ook bij welke waarde van de parameter je daar bent.

Speel met de parameter

Schuif t heen en weer en kijk waar het punt terechtkomt. Bij de lijn schuift het punt met gelijke stappen langs de lijn; bij de cirkel draait het rond, want daar is t een hoek. Het groene stuk is het deel dat het punt al heeft afgelegd.

Uitgewerkte examenopgave

Gegeven zijn de cirkel c met parametervoorstelling x = 3 + 5 · cos t, y = 1 + 5 · sin t (met 0 ≤ t < 2π), en de lijn l met parametervoorstelling x = −3 + 2s, y = 3 + s.

a. Geef een vergelijking van c.
b. Geef een vergelijking van l.
c. Bereken de coördinaten van de snijpunten van l en c.

Merk op dat de cirkel de parameter t heeft en de lijn de parameter s. Dat is met opzet: het zijn twee losse figuren met elk hun eigen parameter, en dezelfde letter zou suggereren dat die iets met elkaar te maken hebben.

a. Een vergelijking van c

We lopen het stappenplan "van parametervoorstelling naar vergelijking" af.

Stap 1: sinus en cosinus? Ja, dus de rechterkolom: het is een cirkel.

Stap 2: cos t en sin t alleen zetten. Het middelpunt is M(3, 1) en de straal is 5:

cos t = x − 35     sin t = y − 15

Stap 3: kwadrateren en optellen.

(x − 35)² + (y − 15)² = cos²t + sin²t = 1

Stap 4: de breuken wegwerken. Onder allebei staat 25, dus dat lukt in één keer:

(x − 3)²25 + (y − 1)²25 = 1   →   (x − 3)² + (y − 1)² = 25

Stap 5: controleren. Neem t = 0: dat geeft (8, 1). Invullen: (8 − 3)² + (1 − 1)² = 25 + 0 = 25 ✓

b. Een vergelijking van l

Hetzelfde stappenplan, nu de andere kolom.

Stap 1: sinus en cosinus? Nee, dus de linkerkolom: het is een lijn.

Stap 2: s vrijmaken uit de makkelijkste regel. In de onderste staat gewoon + s, zonder getal ervoor:

y = 3 + s   →   s = y − 3

Stap 3: invullen in de ándere regel.

x = −3 + 2(y − 3) = −3 + 2y − 6 = 2y − 9

Stap 4: uitwerken.

2y = x + 9   →   y = 12x + 412

Stap 5: controleren. Neem s = 1: dat geeft (−1, 4). Invullen: 12 · (−1) + 412 = 4 ✓

c. De snijpunten van l en c

Nu het stappenplan voor snijpunten. We hebben de lijn als parametervoorstelling en de cirkel als vergelijking (die vonden we bij a), dus we kunnen meteen invullen.

Stap 1: klaar, want l staat als parametervoorstelling en c als vergelijking.

Stap 2: invullen. In (x − 3)² + (y − 1)² = 25 komt op de plek van x de regel −3 + 2s en op de plek van y de regel 3 + s:

(−3 + 2s − 3)² + (3 + s − 1)² = 25

(2s − 6)² + (s + 2)² = 25

Stap 3: uitwerken en oplossen.

4s² − 24s + 36 + s² + 4s + 4 = 25

5s² − 20s + 40 = 25   →   5s² − 20s + 15 = 0

s² − 4s + 3 = 0 (alles door 5)

Welke twee getallen vermenigvuldigen tot 3 en tellen op tot 4? Dat zijn 1 en 3:

(s − 1)(s − 3) = 0   →   s = 1 of s = 3

Stap 4: terug invullen in de parametervoorstelling van l.

s = 1 → x = −3 + 2 = −1 en y = 3 + 1 = 4   →   (−1, 4)

s = 3 → x = −3 + 6 = 3 en y = 3 + 3 = 6   →   (3, 6)

Stap 5: controleren in de vergelijking van c:

(−1 − 3)² + (4 − 1)² = 16 + 9 = 25 ✓    (3 − 3)² + (6 − 1)² = 0 + 25 = 25 ✓

De snijpunten zijn dus (−1, 4) en (3, 6).

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Schrijf bij elke opgave eerst op welk stappenplan je nodig hebt, en welke kolom daarvan.

Opgave 3. In de figuur hieronder staat een lijn k. De twee gemarkeerde punten horen bij t = 0 en bij t = 1. Stel een parametervoorstelling van k op, en geef daarna ook een vergelijking van k.

Je kunt nu dezelfde lijn of cirkel in twee talen opschrijven en tussen die twee heen en weer vertalen. Op de volgende pagina's van deze hub krijgt het paar getallen dat de richting aangeeft een eigen naam en een eigen rekenmanier: zie Vectoren & het inproduct. Daarna laat je de parameter de tijd voorstellen, zodat je ook kunt uitrekenen hoe snel een punt over zijn baan beweegt.