Bijles

Home › Meetkunde › Vectoren & het inproduct

Vectoren en het inproduct

Een vector is geen plek in het assenstelsel, maar een verplaatsing: zoveel opzij en zoveel omhoog. Zodra je die twee getallen hebt, kun je er verrassend veel mee uitrekenen. Zelfs een hoek, met één optelsom.

Op de vorige pagina van deze hub, Parametervoorstellingen, kwam je bij een lijn steeds twee getallen tegen die de richting aangaven: "2 opzij en 1 omhoog". Dat paar getallen heeft een eigen naam, en daar gaat deze pagina over. Het heet een vector, en je kunt ermee rekenen alsof het één getal is: optellen, aftrekken, verdubbelen. Je hebt geen voorkennis nodig; we beginnen bij nul.

Wat is een vector?

Een vector is een pijl. Een pijl heeft twee dingen: een lengte (hoe lang hij is) en een richting (welke kant hij op wijst). Meer zit er niet in. Een vector zegt dus niet waar iets is, maar hoe je van de ene plek naar de andere komt.

Dat laatste heeft een gevolg dat in het begin gek voelt: het maakt niet uit wáár je de pijl neerlegt. Twee pijlen die even lang zijn en dezelfde kant op wijzen, zijn dezelfde vector, ook al staan ze op heel andere plekken in de figuur.

Drie pijlen, maar één vector. Elke pijl gaat 3 naar rechts en 2 omhoog, en dat is het enige wat telt. Waar de pijl begint, hoort niet bij de vector.

De notatie. Een vector schrijf je met een pijltje erboven: a. Zo zie je meteen dat het geen gewoon getal is. Loopt de pijl van punt A naar punt B, dan schrijf je hem als AB: eerst waar hij begint, dan waar hij eindigt.

In een figuur laat de getekende pijl zelf al zien welke kant het op gaat. Daar staat de naam er daarom schuin bij zonder pijltje, zoals a of AB in de figuren hieronder. Schuingedrukt is namelijk de tweede manier om te laten zien dat iets een vector is. In gewone tekst gebruiken we op deze pagina steeds het pijltje.

De kentallen: twee getallen die alles vastleggen

Om met een pijl te kunnen rékenen, moet je hem in getallen vangen. Dat gaat zo: je noteert hoe ver de pijl naar rechts gaat en hoe ver hij omhoog gaat. Die twee getallen heten de kentallen van de vector. Je schrijft ze onder elkaar tussen haakjes, met het opzij-getal boven en het omhoog-getal onder:

a = 32   betekent: 3 naar rechts en 2 omhoog

Het bovenste getal heet het x-kental en het onderste het y-kental. Zijn ze negatief, dan ga je de andere kant op: een x-kental van −4 betekent 4 naar links, en een y-kental van −1 betekent 1 naar beneden.

Je komt de kentallen soms ook op één regel tegen, als (3, 2). Dat is precies hetzelfde; onder elkaar is alleen handiger als je gaat optellen, want dan staan de x-en netjes boven elkaar en de y's eronder.

Van twee punten naar kentallen

Meestal krijg je geen pijl maar twee punten, bijvoorbeeld A(1, 2) en B(5, 4), en moet je zelf de vector AB uitrekenen. De vraag is dan: hoe kom ik van A bij B? Je kijkt hoeveel de x verandert en hoeveel de y verandert, en dat is steeds eindpunt min beginpunt:

AB = 5 − 14 − 2 = 42

Van A naar B ga je 4 naar rechts en 2 omhoog. Die twee stappen zijn de kentallen van de vector AB.

🎯 Let op de volgorde

AB en BA zijn niet hetzelfde. BA is de weg terug, dus alle kentallen krijgen het tegenovergestelde teken: BA = −4−2. Even lang, precies de andere kant op.

De plaatsvector: een vector die tóch een plek aanwijst

Er is één vector waarbij de kentallen wél gewoon de coördinaten van een punt zijn: de pijl die in de oorsprong O(0, 0) begint. Zo'n pijl heet de plaatsvector van het punt waar hij eindigt. Voor het punt B(5, 4) is dat

OB = 5 − 04 − 0 = 54

Precies de coördinaten van B, want vanuit de oorsprong is "5 naar rechts en 4 omhoog" hetzelfde als "sta op (5, 4)". Plaatsvectoren gebruiken we verderop bij het zwaartepunt.

De lengte van een vector

De lengte van een vector is gewoon de lengte van de pijl. Die reken je uit met de stelling van Pythagoras: de pijl is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden de twee kentallen zijn. Zie Rekenen in driehoeken als je Pythagoras wilt opfrissen.

📐 De lengte van een vector

Bij de vector met kentallen axay is de lengte:

|a| = √(ax² + ay²)

De rechte strepen om de vector heen betekenen "de lengte van". Een lengte is altijd positief, ook als de kentallen negatief zijn: door het kwadrateren vallen de mintekens weg.

Bijvoorbeeld voor a = 43:

|a| = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

Hier zit meteen iets handigs in: de afstand tussen twee punten is niets anders dan de lengte van de vector ertussen. Wil je de afstand van A naar B weten, reken dan AB uit en neem de lengte daarvan.

De richtingshoek: welke kant wijst hij op?

De lengte is één helft van het verhaal; de richting is de andere. Die richting leg je vast met een hoek: de richtingshoek is de hoek die de vector maakt met de positieve x-as, gemeten tegen de klok in. Een vector die recht naar rechts wijst heeft dus richtingshoek 0°, recht omhoog is 90°.

Die hoek vind je met de tangens, want in de rechthoekige driehoek onder de pijl is het y-kental de overstaande zijde en het x-kental de aanliggende zijde (de TOA uit SOS CAS TOA):

tan α = ayax   →   α = tan−1(ayax)

De vector met kentallen 4 en 3. Onder de pijl zit een rechthoekige driehoek met zijden 4 en 3, dus de pijl is 5 lang. De richtingshoek α is de hoek met de positieve x-as.

Voor deze vector geeft dat α = tan−1(34) ≈ 36,9°.

Dit is dezelfde berekening als de hoek die een lijn met de x-as maakt op Lijnen. Eén verschil: een lijn wijst geen kant op, dus daar is elke hoek boven de 180° hetzelfde als de hoek eronder. Een vector wijst wél een kant op, dus loopt zijn richtingshoek helemaal rond tot 360°. Vandaar het volgende punt.

🎯 De rekenmachine geeft niet altijd de goede hoek

Je rekenmachine geeft bij tan−1 altijd een antwoord tussen −90° en 90°, dus altijd een pijl die naar réchts wijst. Wijst jouw vector naar links (x-kental negatief), tel er dan 180° bij op. Voorbeeld: bij −4−3 zegt de rekenmachine 36,9°, maar die pijl wijst naar linksonder; de richtingshoek is 36,9° + 180° = 216,9°. Teken de vector dus altijd even grof, dan zie je meteen of het antwoord kan kloppen.

De andere kant op: ontbinden in componenten

Je kunt het ook omdraaien. Krijg je een vector met een gegeven lengte en richtingshoek (bij natuurkunde bijvoorbeeld een kracht van 8 newton onder 60°), dan reken je de kentallen terug met sinus en cosinus. In diezelfde rechthoekige driehoek geldt namelijk cos α = aanliggend/schuin en sin α = overstaand/schuin, dus:

ax = |a| · cos α     ay = |a| · sin α

Bij lengte 8 en richtingshoek 60° wordt dat ax = 8 · cos 60° = 8 · 12 = 4 en ay = 8 · sin 60° = 8 · 12√3 = 4√3 ≈ 6,93. (Die exacte waarden staan op De eenheidscirkel.)

Dit heet ontbinden in componenten: je splitst de schuine pijl op in een pijl die alleen opzij gaat en een pijl die alleen omhoog gaat. Die twee pijlen heten de componenten van de vector. Samen brengen ze je op precies dezelfde plek als de schuine pijl zelf.

De oranje vector heeft lengte 8 en richtingshoek 60°. Zijn twee componenten staan er in blauw en groen bij: eerst 8 · cos 60° = 4 naar rechts, dan 8 · sin 60° = 4√3 ≈ 6,93 omhoog. Loop je die twee achter elkaar af, dan kom je precies bij de punt van de oranje pijl uit.

Rekenen met vectoren

En nu het mooie: met die kentallen kun je gewoon rekenen. Drie bewerkingen moet je kennen.

1. Optellen

Twee vectoren optellen betekent: eerst de ene verplaatsing doen en dan de andere. Dat teken je door de tweede pijl te laten beginnen waar de eerste eindigt (kop aan staart). De pijl van het allereerste begin naar het allerlaatste eind is de som.

In kentallen is het nog makkelijker: x bij x, y bij y.

41 + 13 = 4 + 11 + 3 = 54

Links: kop aan staart. Je legt b met zijn staart tegen de kop van a en tekent de som van begin naar eind. Rechts: dezelfde som als diagonaal van een parallellogram. Het maakt niet uit welke van de twee je eerst doet, je komt op hetzelfde punt uit.

💡 Waarom mag je de kentallen zomaar los optellen?

Omdat opzij gaan en omhoog gaan elkaar niet in de weg zitten. Ga je eerst 4 naar rechts en daarna nog 1 naar rechts, dan ben je 5 naar rechts, wat je verder ook omhoog doet. En omgekeerd. Je kunt de twee richtingen dus apart bijhouden, en dat is precies wat de twee kentallen doen.

Dit is ook de reden dat je vectoren in de figuur in willekeurige volgorde achter elkaar mag plakken: het parallellogram in de figuur hierboven laat zien dat a + b en b + a op hetzelfde punt eindigen.

2. Aftrekken

Aftrekken is optellen met de omgekeerde pijl: a − b is hetzelfde als a + (−b). In kentallen dus weer: x min x, y min y.

Je gebruikt dit vooral in één vaste vorm, en die is het onthouden waard: de vector van A naar B is de plaatsvector van B min de plaatsvector van A.

AB = OB − OA

Dat is dezelfde regel als "eindpunt min beginpunt" van hierboven, alleen nu met vectoren opgeschreven.

Met A(1, 4) en B(6, 2): de oranje pijl AB is de blauwe plaatsvector OB min de grijze plaatsvector OA, dus 6 − 1 = 5 naar rechts en 2 − 4 = −2, oftewel 2 omlaag.

3. Vermenigvuldigen met een getal

Een vector keer een gewoon getal noem je scalair vermenigvuldigen ("scalair" is het deftige woord voor een gewoon getal, iets wat alleen een grootte heeft en geen richting). Je vermenigvuldigt allebei de kentallen met dat getal:

2 · 32 = 64

De pijl wordt dan twee keer zo lang en houdt dezelfde richting. Bij een getal tussen 0 en 1 wordt hij korter, en bij een negatief getal klapt hij om en wijst hij precies de andere kant op.

Alle vier de pijlen liggen op dezelfde lijn door de oorsprong: keer 2 is twee keer zo lang, keer 12 is de helft, en keer −1 draait hem om.

Dat laatste is ook een handige test: liggen twee vectoren in elkaars verlengde (evenwijdig), dan is de ene een getal keer de andere. Zo zijn 32 en 96 evenwijdig, want de tweede is 3 keer de eerste.

Het inproduct

Tot nu toe kon je vectoren optellen en met een getal vermenigvuldigen. Maar twee vectoren met elkáár vermenigvuldigen? Daar is een aparte bewerking voor bedacht, en die heet het inproduct (of inwendig product). Je schrijft hem met een puntje ertussen: a · b.

Het bijzondere eraan: er komt geen pijl uit, maar gewoon een getal. En dat getal blijkt precies de informatie te bevatten die je nodig hebt om een hoek uit te rekenen.

🧩 Het inproduct: twee formules voor hetzelfde getal

Het inproduct van a en b kun je op twee manieren uitrekenen, en er komt altijd hetzelfde uit:

a · b = ax · bx + ay · by (met de kentallen)

a · b = |a| · |b| · cos φ (met de lengtes en de hoek ertussen)

Daarbij is φ (de Griekse letter "phi") de hoek tussen de twee vectoren, gemeten als je ze allebei vanuit hetzelfde punt laat vertrekken.

Juist omdát het twee formules voor hetzelfde getal zijn, kun je ze aan elkaar gelijkstellen en zo de hoek uitrekenen. Dat is de hele truc van deze pagina.

Neem a = 62 en b = 13. Met de eerste formule:

a · b = 6 · 1 + 2 · 3 = 6 + 6 = 12

Dat is het antwoord: 12. Geen pijl, geen kentallen, gewoon het getal 12.

De twee vectoren vanuit dezelfde plek getekend. De hoek φ ertussen is de hoek die in de tweede formule staat. Straks rekenen we hem uit: hij blijkt ongeveer 53,1° te zijn.

Wat je eraan hebt: de hoek

Zet de twee formules aan elkaar gelijk en deel door de lengtes, en je hebt de cosinus van de hoek:

cos φ = a · b|a| · |b|

Voor de vectoren hierboven: |a| = √(36 + 4) = √40 en |b| = √(1 + 9) = √10. Die twee vermenigvuldigd is √40 · √10 = √400 = 20. Dus:

cos φ = 1220 = 0,6   →   φ = cos−1(0,6) ≈ 53,1°

Zonder iets te tekenen of op te meten weet je nu de hoek tussen twee pijlen. Dat is waar het inproduct voor bedoeld is.

Wat je eraan hebt: loodrecht of niet

Er is één waarde van het inproduct die je meteen iets vertelt. Staan twee vectoren loodrecht op elkaar, dan is φ = 90°, en cos 90° = 0. De hele formule |a| · |b| · cos φ wordt dan 0. En andersom net zo: is het inproduct 0, dan moet de hoek wel 90° zijn (want de lengtes zijn niet 0).

⊥ De loodrecht-test

Twee vectoren staan loodrecht op elkaar precies dan als hun inproduct 0 is:

a ⊥ b   ⟺   a · b = 0

Het teken ⊥ betekent "staat loodrecht op". Dit is de snelste loodrecht-test die er is: één keer vermenigvuldigen, één keer optellen, en kijken of er 0 uitkomt.

Het teken van het inproduct zegt trouwens altijd al iets over de hoek, ook als hij geen 90° is. De lengtes zijn immers altijd positief, dus het teken komt volledig van de cosinus:

Positief inproduct: de vectoren wijzen "dezelfde kant op", de hoek is scherp (kleiner dan 90°). Nul: precies loodrecht. Negatief: ze wijzen van elkaar weg, de hoek is stomp (groter dan 90°).

Wat je eraan hebt: de lengte

Doe je het inproduct van een vector met zichzelf, dan is de hoek 0° en is cos 0° = 1, dus blijft er |a| · |a| over. Met de andere formule krijg je ax² + ay². Samen:

a · a = |a|²   →   |a| = √(a · a)

Dat is dezelfde lengteformule als hierboven, nu in inproduct-taal. Handig om te weten, want in bewijzen wordt een lengte vaak zo geschreven.

⚠️ Waar het misgaat

1. Denken dat er een vector uit het inproduct komt. Het antwoord op a · b is één getal, geen pijl en geen kentallenpaar. Schrijf je als antwoord 66 in plaats van 12, dan ben je vergeten op te tellen. Ezelsbruggetje: bij een inproduct verdwijnen de pijlen.

2. Lengtes bij elkaar optellen. |a + b| is bijna nooit gelijk aan |a| + |b|. Neem a = 30 en b = 04: los zijn ze 3 en 4 lang, samen 7. Maar de som is 34, en die is 5 lang. Logisch ook: je loopt niet 7 meter als je een schuine weg neemt. Eerst optellen, dán de lengte uitrekenen.

3. De verkeerde pijlen pakken bij een hoek. Wil je de hoek in punt A van driehoek ABC, dan moeten allebei de vectoren vanuit A vertrekken: AB en AC. Pak je per ongeluk BA en AC, dan klapt er één pijl om en vind je de hoek die daar 180° vanaf ligt.

4. Een punt en een vector door elkaar halen. (5, 4) als punt is een plek; 54 als vector is een verplaatsing. Ze zien er hetzelfde uit en zijn alleen bij de plaatsvector ook echt hetzelfde. Vraagt een opgave om coördinaten, geef dan een punt; vraagt hij om een vector, geef dan kentallen.

📋 Stappenplan: de hoek tussen twee vectoren berekenen

  1. Zorg dat je twee stel kentallen hebt die vanuit hetzelfde punt vertrekken. Krijg je punten in plaats van vectoren, reken de vectoren dan uit met eindpunt min beginpunt. Voor de hoek in punt A zijn dat dus AB en AC, allebei vanuit A.
  2. Bereken het inproduct: ax · bx + ay · by. Eén getal.
  3. Bereken de twee lengtes met |a| = √(ax² + ay²), en idem voor b.
  4. Vul in en zoek de hoek op:

    cos φ = het inproduct|a| · |b|   →   φ = cos−1(...)

    Zet je rekenmachine op DEG als het antwoord in graden moet.
  5. Controleer met het teken. Was het inproduct positief, dan hoort er een hoek onder de 90° uit te komen; was het negatief, dan een hoek boven de 90°; was het 0, dan precies 90°. Klopt dat met je figuur?

Speel met twee vectoren

Sleep de twee bolletjes en kijk wat het inproduct doet. Let vooral op het moment dat de pijlen loodrecht komen te staan: dan springt het inproduct op 0. Wijzen ze van elkaar weg, dan wordt het negatief.

a = b = |a| = |b| = inproduct: hoek φ:

De vectoren klikken vast op hele hokjes. Het inproduct reken je na met de kentallen die erbij staan; de hoek volgt uit cos φ = inproduct gedeeld door de twee lengtes.

De vectorvoorstelling van een lijn

Op de vorige pagina beschreef je een lijn met twee losse regels: x = 1 + 2t en y = 2 + t. Met vectoren kun je die twee regels op één regel zetten, en dan wordt ook meteen zichtbaar wat er staat:

📏 De vectorvoorstelling van een lijn

xy = 12 + t · 21

Lees dat als een routebeschrijving: begin in het punt (1, 2) en loop t keer de stap "2 opzij, 1 omhoog".

Dat is precies dezelfde informatie als in een parametervoorstelling, alleen anders opgeschreven. Zie Parametervoorstellingen voor de losse-regels-versie.

De steunvector brengt je naar het punt bij t = 0. Vanaf daar zet je stappen met de richtingsvector: één stap voor t = 1, twee voor t = 2, en achteruit voor t = −1.

Twee dingen die je hierbij moet weten, en die allebei uit het scalair vermenigvuldigen volgen:

Uit de richtingsvector volgt trouwens ook de richtingscoëfficiënt van de lijn: die is het y-kental gedeeld door het x-kental, hier 12. Zie Lijnen.

📋 Stappenplan: een vectorvoorstelling van een lijn opstellen

Stap 1. Wat heb je gekregen? Twee punten die op de lijn liggen, of één punt plus een richting (een richtingscoëfficiënt, of "evenwijdig aan" of "loodrecht op" een andere lijn). Ga verder in de kolom die daarbij hoort.

📍 Twee punten P en Q

  1. Kies er één als steunpunt, bijvoorbeeld P. Zijn coördinaten worden de steunvector.
  2. Reken de richtingsvector uit met eindpunt min beginpunt: PQ. Deel daarna zo nodig door een gemeenschappelijke factor.
  3. Schrijf de regel op: steunvector, dan + t keer de richtingsvector.

🧭 Eén punt en een richting

  1. Neem het gegeven punt als steunvector.
  2. Maak de richtingsvector. Uit een richtingscoëfficiënt m: 1m, breuken wegwerken. Evenwijdig aan een lijn: dezelfde richtingsvector. Loodrecht erop: draai ab een kwartslag naar −ba.
  3. Schrijf de regel op: steunvector, dan + t keer de richtingsvector.

Stap 5. Controleer. Vul t = 0 en t = 1 in. Het eerste punt moet je steunpunt zijn, en allebei de punten moeten op de lijn liggen die je bedoelt.

Van vectorvoorstelling naar vergelijking: de normaalvector

Van een vectorvoorstelling naar een gewone vergelijking kun je altijd komen door t te elimineren, zoals op de vorige pagina. Maar met het inproduct gaat het sneller, en daar is één nieuw begrip voor nodig.

Een normaalvector van een lijn is een vector die loodrecht op die lijn staat. ("Normaal" betekent hier loodrecht; met gewoon of alledaags heeft het niets te maken.) Zo'n vector maak je door de richtingsvector een kwartslag te draaien: verwissel de twee kentallen en zet een minteken voor de nieuwe bovenste.

ab   wordt   −ba

Dat het klopt, controleer je met de loodrecht-test: a · (−b) + b · a = −ab + ab = 0 ✓

💡 De getallen vóór de x en de y zijn de normaalvector

Staat een lijn in de vorm ax + by = c, dan is ab een normaalvector van die lijn. Bij 3x + 4y = 12 staat de vector 34 dus loodrecht op de lijn.

Dat werkt ook andersom, en dát is de snelle route: ken je een normaalvector, dan weet je meteen de linkerkant van de vergelijking. Je hoeft alleen het getal c nog te vinden, en dat doe je door één punt van de lijn in te vullen.

📋 Stappenplan: van vectorvoorstelling naar vergelijking

  1. Lees de richtingsvector af (de vector achter de t) en het steunpunt (de vector ervoor).
  2. Draai de richtingsvector een kwartslag tot een normaalvector: ab wordt −ba. Controleer met de loodrecht-test dat het inproduct 0 is.
  3. Zet de kentallen van de normaalvector voor de x en de y: de vergelijking wordt nx · x + ny · y = c, met c nog onbekend.
  4. Vul het steunpunt in om c uit te rekenen.
  5. Controleer met een ander punt van de lijn (bijvoorbeeld dat bij t = 1): dat moet dezelfde c opleveren.

Voor de lijn uit de figuur hierboven, xy = 12 + t · 21, gaat dat zo:

Stap 1: richtingsvector 21, steunpunt (1, 2).

Stap 2: een kwartslag draaien geeft −12. Test: 2 · (−1) + 1 · 2 = 0 ✓

Stap 3: de vergelijking wordt −x + 2y = c.

Stap 4: steunpunt (1, 2) invullen: −1 + 2 · 2 = 3, dus −x + 2y = 3.

Stap 5: bij t = 1 hoort het punt (3, 3). Invullen: −3 + 2 · 3 = 3 ✓

Een vergelijking mag je aan beide kanten met hetzelfde getal vermenigvuldigen, dus x − 2y = −3 (alles keer −1) is net zo goed. Meestal schrijf je hem met een positief getal vooraan.

Het zwaartepunt

Nog één toepassing van vectoren, en die is verrassend simpel. Het zwaartepunt van een aantal punten is het punt waar het geheel in balans is: leg je een driehoek van karton op je vingertop precies in het zwaartepunt, dan valt hij er niet af.

Je vindt het door de plaatsvectoren van alle punten te middelen: optellen en delen door het aantal. In gewone taal komt dat neer op: neem het gemiddelde van alle x-coördinaten en het gemiddelde van alle y-coördinaten.

⚖️ Het zwaartepunt van een aantal punten

Voor drie punten A, B en C ligt het zwaartepunt Z op:

OZ = 13 · (OA + OB + OC)

Zijn de punten niet even zwaar, dan gebruik je een gewogen gemiddelde: vermenigvuldig elke plaatsvector met zijn gewicht, tel op, en deel door de som van de gewichten.

Een voorbeeld met A(1, 1), B(7, 2) en C(4, 6):

OZ = 13 · (11 + 72 + 46) = 13 · 129 = 43

Het zwaartepunt is dus Z(4, 3).

Het zwaartepunt Z van driehoek ABC. De stippellijnen lopen van elk hoekpunt naar het midden van de overstaande zijde; ze gaan alle drie door Z. Dat is een handige controle: ligt jouw Z daar niet, dan heb je je verrekend.

Een voorbeeld met gewichten: hangt in A(0, 0) een blokje van 1 kg en in B(6, 0) een blokje van 3 kg, dan ligt het zwaartepunt op 1 · 0 + 3 · 61 + 3 = 412 voor de x, en op 0 voor de y. Dus in (412, 0): dicht bij het zware blokje, precies zoals je verwacht.

Uitgewerkte examenopgave

Gegeven zijn de punten A(1, 3), B(4, 7) en C(4, −1).

a. Bereken de lengte van AB.
b. Bereken ∠BAC in graden nauwkeurig.
c. Stel een vectorvoorstelling op van lijn AC en geef daarna een vergelijking van AC.
d. Bereken de coördinaten van het zwaartepunt Z van driehoek ABC.

De schrijfwijze ∠BAC betekent: de hoek in hoekpunt A. De middelste letter is altijd het hoekpunt, de twee buitenste geven de benen aan. Zie ook Stellingen & bewijzen.

Wat je krijgt: drie punten. Alle lengtes, hoeken en de rest moet je zelf uitrekenen.

a. De lengte van AB

Eerst de kentallen, met eindpunt min beginpunt:

AB = 4 − 17 − 3 = 34

En dan de lengte met Pythagoras:

|AB| = √(3² + 4²) = √25 = 5

b. De hoek in A

We lopen het stappenplan voor de hoek tussen twee vectoren af.

Stap 1: twee vectoren vanuit hetzelfde punt. De hoek zit in A, dus we nemen AB en AC, allebei vanuit A:

AB = 34     AC = 4 − 1−1 − 3 = 3−4

Stap 2: het inproduct.

AB · AC = 3 · 3 + 4 · (−4) = 9 − 16 = −7

Stap 3: de twee lengtes. Die van AB hadden we al: 5. En:

|AC| = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Stap 4: invullen en de hoek opzoeken.

cos ∠BAC = −75 · 5 = −0,28   →   ∠BAC = cos−1(−0,28) ≈ 106,3°

Stap 5: controleren met het teken. Het inproduct was negatief, dus de hoek moet groter zijn dan 90°. Dat klopt: 106,3°. En in de figuur zie je inderdaad een stompe hoek in A.

Extra controle met de cosinusregel (zie Rekenen in driehoeken): BC = 0−8, dus BC = 8. De cosinusregel geeft 8² = 5² + 5² − 2 · 5 · 5 · cos A, oftewel 64 = 50 − 50 · cos A, dus cos A = −0,28 ✓ Precies hetzelfde antwoord, met veel meer rekenwerk.

c. Lijn AC: vectorvoorstelling en vergelijking

Eerst de vectorvoorstelling, met dat stappenplan.

Stap 1: wat heb ik? Twee punten (A en C), dus de linkerkolom.

Stap 2: steunpunt kiezen. Neem A(1, 3); de steunvector wordt 13.

Stap 3: de richtingsvector. Die hadden we bij b al uitgerekend: AC = 3−4. Er zit geen gemeenschappelijke factor in, dus zo laten staan.

Stap 4: opschrijven.

xy = 13 + t · 3−4

Stap 5: controleren. t = 0 geeft (1, 3) = A ✓ en t = 1 geeft (1 + 3, 3 − 4) = (4, −1) = C ✓

Nu de vergelijking, met het normaalvector-stappenplan.

Stap 1: aflezen. Richtingsvector 3−4, steunpunt (1, 3).

Stap 2: een kwartslag draaien. Verwisselen en het nieuwe bovenste getal van teken wisselen: 3−4 wordt 43. Test: 3 · 4 + (−4) · 3 = 12 − 12 = 0 ✓

Stap 3: de kentallen voor x en y zetten.

4x + 3y = c

Stap 4: het steunpunt invullen. A(1, 3) geeft 4 · 1 + 3 · 3 = 13, dus de vergelijking is 4x + 3y = 13.

Stap 5: controleren met C(4, −1): 4 · 4 + 3 · (−1) = 16 − 3 = 13 ✓

d. Het zwaartepunt

Middel de drie plaatsvectoren:

OZ = 13 · (13 + 47 + 4−1) = 13 · 99 = 33

Het zwaartepunt is dus Z(3, 3).

De uitwerking. De twee oranje pijlen vanuit A zijn AB en AC; de stompe hoek ertussen is 106,3°. De blauwe lijn is AC met vergelijking 4x + 3y = 13, en Z(3, 3) is het zwaartepunt.

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Schrijf er telkens bij welk stappenplan je gebruikt.

Opgave 1. Gegeven zijn de vectoren a met kentallen 4 en 3, en b met kentallen 1 en 7. Bereken de hoek tussen deze twee vectoren.

We lopen het stappenplan voor de hoek tussen twee vectoren af.

Stap 1: de kentallen. Die zijn al gegeven: a = 43 en b = 17. Ze vertrekken allebei vanuit de oorsprong, dus dat zit goed.

Stap 2: het inproduct.

a · b = 4 · 1 + 3 · 7 = 4 + 21 = 25

Stap 3: de lengtes.

|a| = √(16 + 9) = √25 = 5     |b| = √(1 + 49) = √50 = 5√2

√50 vereenvoudigen doe je door het grootste kwadraat eruit te halen: 50 = 25 · 2, dus √50 = √25 · √2 = 5√2. Zie Machts- & wortelfuncties.

Stap 4: invullen.

cos φ = 255 · 5√2 = 2525√2 = 1√2 = 12√2

En cos φ = 12√2 is een exacte waarde die je kent: φ = 45°.

Stap 5: controleren. Het inproduct was positief (25), dus de hoek moet onder de 90° liggen. 45° klopt daarmee, en in de figuur zie je inderdaad een scherpe hoek.

De twee vectoren met de hoek van precies 45° ertussen. Toevallig mooi: meestal komt er een afgerond antwoord uit.

Opgave 2. Gegeven zijn de punten P(−2, 1) en Q(4, 5). Stel een vectorvoorstelling op van lijn PQ, geef een vergelijking van PQ, en onderzoek of R(1, 3) op de lijn ligt.

Eerst de vectorvoorstelling, met dat stappenplan.

Stap 1: wat heb ik? Twee punten, dus de linkerkolom.

Stap 2: steunpunt kiezen. Neem P(−2, 1); de steunvector is −21.

Stap 3: de richtingsvector, eindpunt min beginpunt:

PQ = 4 − (−2)5 − 1 = 64 = 2 · 32

Er zit een factor 2 in, dus we gebruiken de kortere 32. Dezelfde richting, kleinere stap.

Stap 4: opschrijven.

xy = −21 + t · 32

Stap 5: controleren. t = 0 geeft (−2, 1) = P ✓ en t = 2 geeft (−2 + 6, 1 + 4) = (4, 5) = Q ✓

Nu de vergelijking, met het normaalvector-stappenplan.

Stap 1: aflezen. Richtingsvector 32, steunpunt (−2, 1).

Stap 2: kwartslag. 32 wordt −23. Test: 3 · (−2) + 2 · 3 = −6 + 6 = 0 ✓

Stap 3: de vergelijking opzetten.

−2x + 3y = c

Stap 4: steunpunt invullen. −2 · (−2) + 3 · 1 = 4 + 3 = 7, dus −2x + 3y = 7, oftewel 2x − 3y = −7.

Stap 5: controleren met Q(4, 5): −2 · 4 + 3 · 5 = −8 + 15 = 7 ✓

Ligt R(1, 3) op de lijn? Vul R in de vergelijking in:

−2 · 1 + 3 · 3 = −2 + 9 = 7 ✓

Dat is precies 7, dus R ligt op lijn PQ. Met de vectorvoorstelling kun je het ook zien: t = 1 geeft (−2 + 3, 1 + 2) = (1, 3), dus R is het punt bij t = 1.

Lijn PQ met de punten bij t = 0, 1 en 2. R is het punt bij t = 1 en ligt dus precies tussen P en Q in.

Opgave 3. In de figuur hieronder staan twee vectoren u en v, allebei vanuit de oorsprong. Lees hun kentallen af. Bereken daarna de hoek tussen u en v, en reken ook de kentallen en de lengte van u + v uit.

Lees per vector af hoeveel hokjes hij opzij gaat en hoeveel omhoog.

Uitwerking van opgave 3

De kentallen aflezen. u gaat 4 naar rechts en 2 omhoog, v gaat 2 naar links en 4 omhoog:

u = 42     v = −24

Nu de hoek, met het stappenplan voor de hoek tussen twee vectoren.

Stap 1: klaar, want ze vertrekken allebei uit de oorsprong.

Stap 2: het inproduct.

u · v = 4 · (−2) + 2 · 4 = −8 + 8 = 0

Stap 3 en 4: hier hoef je niet eens verder te rekenen. Het inproduct is 0, en dan is de hoek volgens de loodrecht-test precies 90°. (Wil je het toch invullen: cos φ = 0 / (√20 · √20) = 0, en cos−1(0) = 90°.)

Stap 5: controleren. Inproduct 0 hoort bij precies 90°, en in de figuur zie je inderdaad een rechte hoek.

De som. Kentallen los optellen:

u + v = 4 + (−2)2 + 4 = 26

En de lengte daarvan:

|u + v| = √(2² + 6²) = √40 = 2√10 ≈ 6,32

Even checken tegen misvatting 2: |u| = |v| = √20 ≈ 4,47, dus |u| + |v| ≈ 8,94. De som-vector is met 6,32 duidelijk korter. Lengtes optellen mag dus echt niet.

De som is de diagonaal van het parallellogram (hier zelfs een rechthoek, want u en v staan loodrecht op elkaar). Het vierkantje bij de oorsprong is de standaardmarkering voor een rechte hoek.

Je kunt nu met pijlen rekenen alsof het getallen zijn, en met één inproduct een hoek uit het niets tevoorschijn halen. Op de volgende pagina van deze hub laten we de parameter de tijd voorstellen: dan wordt de vectorvoorstelling de baan van een bewegend punt, en levert de afgeleide ervan de snelheid op.

Blijven vectoren abstract voelen?

Vectoren zijn eigenlijk heel concreet: het zijn gewoon stappen. Zodra je ze als "zoveel opzij, zoveel omhoog" leest, wordt het inproduct een invuloefening. Eén-op-één krijgen we dat snel te pakken. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking