Bijles

Home › Meetkunde › De cirkel

De cirkel: vergelijking, snijpunten en raaklijnen

Een cirkel is precies zo makkelijk in een formule te vangen als een lijn. Zodra je die formule hebt, hoef je niet meer te meten: snijpunten en raaklijnen worden gewoon sommen.

Een cirkel is de verzameling van alle punten die even ver van één vast punt liggen. Dat vaste punt heet het middelpunt (meestal M genoemd), en die vaste afstand heet de straal (meestal r, van radius). Die woorden komen ook langs bij Stellingen en bewijzen.

Net als bij een lijn is de vergelijking van een cirkel de eis waaraan de coördinaten van een punt moeten voldoen om erop te liggen. Alleen is die eis hier niet "hoe schuin", maar: je afstand tot M moet precies r zijn.

Waar de vergelijking vandaan komt

Noem het middelpunt M(a, b) en een punt op de cirkel P(x, y). De afstand van P tot M moet r zijn. Die afstand ken je al: teken de rechthoekige driehoek met een horizontale en een verticale zijde, en gebruik Pythagoras (zie Rekenen in driehoeken).

De horizontale zijde is het verschil van de x-en (x − a), de verticale het verschil van de y's (y − b), en de schuine zijde is de straal r. Hier: 3 opzij, 4 omhoog, dus r = 5.

De afstandsformule geeft dan:

√((x − a)² + (y − b)²) = r

Die wortel is lastig rekenen. Kwadrateer daarom beide kanten; dat mag, want links en rechts staat hetzelfde (en allebei de kanten zijn positief). Zo blijft de vergelijking over die je uit je hoofd moet kennen:

⭕ De vergelijking van een cirkel

Een cirkel met middelpunt M(a, b) en straal r heeft als vergelijking:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Let goed op: rechts staat r², niet r. Staat er dus 25, dan is de straal 5.

Middelpunt en straal aflezen

Staat een cirkel in die vorm, dan lees je alles zo af. Neem de cirkel uit de figuur hieronder:

De cirkel (x − 3)² + (y − 1)² = 4: middelpunt M(3, 1) en straal 2. Vanuit M is het in elke richting precies 2 tot de rand.

In (x − 3)² + (y − 1)² = 4 lees je af:

Twee dingen om op te letten bij het aflezen:

Andersom werkt het net zo: krijg je M(−1, 4) en r = 3, dan schrijf je meteen op: (x + 1)² + (y − 4)² = 9.

De andere vorm: alles uitgewerkt

Op het examen krijg je een cirkel net zo vaak in de uitgewerkte vorm, bijvoorbeeld:

x² + y² + 6x − 4y − 12 = 0

Dat is dezelfde soort vergelijking, alleen zijn de haakjes weggewerkt. Je herkent hem hieraan: er staat een x² én een y² met hetzelfde getal ervoor, plus losse x- en y-termen. Om het middelpunt en de straal te vinden, draai je het uitwerken terug. Die stap heet kwadraat afsplitsen.

🧩 Kwadraat afsplitsen

Bij x² + 6x zoek je het haakje dat daarmee begint. Halveer het getal voor de x (6 wordt 3) en zet dat in het haakje:

(x + 3)² = x² + 6x + 9

Er komt dus 9 te veel bij. Die trek je er meteen weer af, en dan verandert er niets aan de waarde:

x² + 6x = (x + 3)² − 9

In het kort: halveer het getal voor de x, zet het in het haakje, en trek het kwadraat daarvan er weer af. Bij een min gaat het net zo: y² − 4y = (y − 2)² − 4.

Nu de hele vergelijking. Behandel de x-termen en de y-termen apart:

x² + 6x + y² − 4y − 12 = 0 (eerst de x-en en de y's bij elkaar zetten)

(x + 3)² − 9 + (y − 2)² − 4 − 12 = 0

(x + 3)² + (y − 2)² = 9 + 4 + 12 = 25

Klaar: M(−3, 2) en r = √25 = 5.

⚠️ Waar het misgaat

1. r en r² door elkaar halen. In (x − 3)² + (y − 1)² = 16 is de straal niet 16 maar 4. Rechts staat altijd het kwadraat van de straal. Andersom net zo: bij r = 3 schrijf je rechts 9, niet 3.

2. Het teken van het middelpunt omdraaien. (x + 2)² hoort bij a = −2, niet bij a = 2. Vertaal het altijd eerst naar de min-vorm: (x + 2)² = (x − (−2))². Twijfel je? Vul het middelpunt in: er moet dan links 0 uitkomen.

3. Bij afsplitsen vergeten het kwadraat weer af te trekken. x² + 6x is niet (x + 3)², want dat is 9 te veel. Zonder die −9 klopt je straal niet meer.

📋 Stappenplan: middelpunt en straal bepalen

  1. Kijk in welke vorm de vergelijking staat. Zie je twee haakjes met kwadraten, ga dan meteen naar stap 4.
  2. Zet de x-termen en de y-termen bij elkaar en breng het losse getal naar rechts.
  3. Splits twee keer het kwadraat af: één keer voor de x-termen en één keer voor de y-termen. Wat je erbij haalt, tel je rechts op.
  4. Lees af: M(a, b) uit de haakjes (let op de tekens) en r = √(het getal rechts).
  5. Controleer. Het getal rechts hoort positief te zijn. Komt er 0 uit, dan is het geen cirkel maar één punt; komt er iets negatiefs uit, dan bestaat de figuur niet.

Snijpunten van een lijn en een cirkel

Een lijn kan een cirkel op drie manieren tegenkomen: er dwars doorheen (twee snijpunten), er precies langs (één punt: de lijn raakt de cirkel) of er helemaal langs zonder hem te raken (geen punten).

Dezelfde cirkel, drie lijnen. Links snijdt de lijn de cirkel in twee punten, in het midden raakt hij hem in precies één punt, rechts komt hij er niet bij.

Welk van de drie het is, hoef je niet te tekenen: je kunt het uitrekenen. Het snijpunt ligt namelijk op de lijn én op de cirkel, dus het voldoet aan allebei de vergelijkingen. Je vult de lijn in de cirkel in: overal waar y staat, zet je neer wat de lijn zegt dat y is. Dan houd je een vergelijking met alleen x over. Dat klinkt abstract, dus eerst een voorbeeld.

Een voorbeeld: invullen en oplossen

Bereken de snijpunten van de cirkel x² + y² = 25 en de lijn y = x + 1.

De lijn y = x + 1 gaat dwars door de cirkel x² + y² = 25. Aan de figuur zie je al dat er twee snijpunten zijn; met de som vind je precies wélke.

Op de lijn geldt y = x + 1. Elk punt van die lijn heeft dus als y-waarde x + 1. Zet dat in de cirkelvergelijking neer op de plek van y:

x² + (x + 1)² = 25

De y is weg, er staat alleen nog x. Nu gewoon uitwerken en oplossen:

x² + x² + 2x + 1 = 25

2x² + 2x − 24 = 0   →   x² + x − 12 = 0 (alles door 2)

(x + 4)(x − 3) = 0   →   x = −4 of x = 3

Dat zijn de x-en van de twee snijpunten. De bijbehorende y's haal je uit de lijn, want daar liggen ze ook op:

x = −4 → y = −4 + 1 = −3     x = 3 → y = 3 + 1 = 4

De snijpunten zijn dus (−4, −3) en (3, 4). Controle in de cirkel: 16 + 9 = 25 ✓ en 9 + 16 = 25 ✓. In de figuur hierboven liggen ze precies waar de lijn de cirkel kruist.

En hoeveel snijpunten zijn het er?

Kijk nog eens naar wat er gebeurde: door het invullen werd de vraag "waar snijden ze elkaar" een gewone kwadratische vergelijking. En dat is altijd zo. Daarmee is ook de vraag "hoeveel gemeenschappelijke punten zijn er" beantwoord, want dat is precies het aantal oplossingen van die vergelijking.

Dat aantal lees je af aan de discriminant D = b² − 4ac (uit de abc-formule, zie Vergelijkingen exact oplossen). In het voorbeeld hierboven was D = 1² − 4 · 1 · (−12) = 49, dus groter dan 0, en inderdaad vonden we twee punten.

🔢 Het aantal gemeenschappelijke punten

Dat middelste geval is goud waard: "de lijn raakt de cirkel" mag je altijd vertalen naar de som D = 0. Daar komen we bij de raaklijnen op terug.

💡 Je kunt het ook meten in plaats van uitrekenen

Er is een tweede manier om te zien hoeveel punten een lijn en een cirkel delen: vergelijk de afstand van het middelpunt tot de lijn met de straal. Die afstand meet je loodrecht, zoals op de pagina Lijnen.

Is die afstand kleiner dan r, dan duikt de lijn de cirkel in: twee punten. Is hij precies gelijk aan r, dan schampt de lijn de rand: één punt, de lijn raakt. Is hij groter dan r, dan blijft de lijn er buiten: geen punten. Handig als controle op je discriminant, en je ziet er meteen aan waarom een raaklijn loodrecht op de straal staat: die kortste afstand ís de straal naar het raakpunt.

📋 Stappenplan: snijpunten van een lijn en een cirkel

  1. Schrijf de lijn als y = … (of, bij een verticale lijn, als x = een getal).
  2. Vul die uitdrukking in de cirkelvergelijking in op de plek van y. Nu staat er alleen nog x in.
  3. Werk uit tot de vorm ax² + bx + c = 0: haakjes wegwerken, alles naar één kant, gelijksoortige termen samennemen.
  4. Bereken de discriminant D = b² − 4ac en zeg hoeveel gemeenschappelijke punten er zijn (2, 1 of 0). Is het er 0, dan ben je klaar.
  5. Los x op (ontbinden of de abc-formule) en vul elke x in in de vergelijking van de lijn om de bijbehorende y te vinden. Schrijf de antwoorden op als punten.
  6. Controleer door elk gevonden punt in de cirkelvergelijking in te vullen: links moet r² uitkomen.

Dit is precies wat we in het voorbeeld hierboven deden, alleen stap voor stap opgeschreven.

Raaklijnen

Een raaklijn is een lijn die de cirkel in precies één punt aanraakt; dat punt heet het raakpunt. Op het examen kom je drie soorten vragen tegen, en ze gebruiken alle drie iets wat je al kent.

1. De raaklijn in een punt op de cirkel

Dit is de makkelijkste, want je hoeft niets op te lossen. De stelling van Stellingen en bewijzen zegt: een raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. En loodrecht betekent voor de richtingscoëfficiënten: het product is −1 (zie Lijnen).

De cirkel x² + y² = 25 met het raakpunt P(3, 4). De straal MP heeft rc 43, dus de raaklijn heeft rc −34. In P staat een rechte hoek.

📋 Stappenplan: de raaklijn in een punt op de cirkel

  1. Zorg dat je M kent (zo nodig eerst met het stappenplan hierboven) en controleer dat P echt op de cirkel ligt door P in te vullen.
  2. Bereken de rc van de straal MP: het verschil in y gedeeld door het verschil in x.
  3. Draai die om met een minteken ervoor: dat is de rc van de raaklijn, want de raaklijn staat loodrecht op MP.
  4. Stel de vergelijking op met die rc en het punt P: vul P in in y = mx + n en reken n uit.
  5. Controleer: ligt P op je lijn, en is het product van de twee rc's precies −1?

Voorbeeld. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan x² + y² = 25 in het punt P(3, 4). Dat is precies de cirkel uit de figuur hierboven, dus je kunt je antwoord straks naast het plaatje leggen.

Stap 1: M kennen en P controleren. Er staat geen haakje bij de x en de y, dus a = 0 en b = 0: het middelpunt is M(0, 0) en r = √25 = 5. Ligt P erop?

3² + 4² = 9 + 16 = 25 ✓

Stap 2: de rc van de straal MP. Van M(0, 0) naar P(3, 4) ga je 3 naar rechts en 4 omhoog:

mMP = 4 − 03 − 0 = 43

Stap 3: omdraaien met een minteken.

mraaklijn = −34

Stap 4: de vergelijking opstellen met P(3, 4):

4 = −34 · 3 + n = −214 + n   →   n = 614

de raaklijn: y = −34x + 614

Liever zonder breuken? Vermenigvuldig alles met 4 en breng x naar links: 3x + 4y = 25.

Stap 5: controleren. Vul P in: 3 · 3 + 4 · 4 = 9 + 16 = 25 ✓. En het product van de rc's: 43 · −34 = −1 ✓, dus de raaklijn staat inderdaad loodrecht op de straal. In de figuur hierboven zie je die rechte hoek ook staan.

🎯 Als de straal precies horizontaal of verticaal ligt

Ligt het raakpunt recht links of rechts van M (dezelfde y), dan is de straal horizontaal en staat de raaklijn verticaal. Die heeft geen rc, dus stap 2 en 3 vallen weg; je schrijft meteen x = (de x van P). Ligt P recht boven of onder M, dan is het andersom: de raaklijn is horizontaal, dus y = (de y van P).

2 en 3: als je het raakpunt níét weet

Bij de twee andere soorten vragen krijg je het raakpunt niet. Dan werkt de aanpak hierboven niet, en pak je het van de andere kant aan: je schrijft de lijn op met één onbekende erin, en eist dat hij raakt. Raken betekent precies één gemeenschappelijk punt, en dat is precies D = 0. Zo wordt "raken" een gewone vergelijking die je kunt oplossen.

📋 Stappenplan: een raaklijn opstellen met D = 0

  1. Schrijf de lijn op met één onbekende erin. Is de richting gegeven, dan is dat y = mx + n met de gegeven m en een onbekende n. Moet de lijn door een gegeven punt, vul dat punt dan in; er blijft een onbekende rc m over.
  2. Vul die lijn in de cirkelvergelijking in en werk uit tot ax² + bx + c = 0. Je onbekende zit nu in a, b of c.
  3. Eis dat de lijn raakt: bereken D = b² − 4ac en stel D = 0. Los die vergelijking op. Meestal vind je twee waarden, en dus twee raaklijnen.
  4. Schrijf beide raaklijnen op en controleer: kloppen ze met de figuur (liggen ze aan weerskanten, gaan ze door het gegeven punt)?

Geval 2: de raaklijn met een gegeven richting

Stel de vergelijkingen op van de raaklijnen aan x² + y² = 20 met richtingscoëfficiënt 12.

De cirkel x² + y² = 20 (straal √20 = 2√5 ≈ 4,5) met de twee raaklijnen die rc 12 hebben; in de figuur staat die rc als 0,5 geschreven. Ze liggen aan weerskanten en zijn evenwijdig aan elkaar.

Aan de figuur zie je al dat er twee zijn. Nu de som, volgens het stappenplan.

Stap 1: de lijn met één onbekende. De rc is gegeven, de hoogte niet:

y = 12x + n (n is nog onbekend)

Stap 2: invullen en uitwerken.

x² + (12x + n)² = 20

x² + 14x² + n·x + n² = 20   →   114x² + n·x + n² − 20 = 0

Stap 3: eisen dat D = 0. Hier is a = 114, b = n en c = n² − 20:

D = n² − 4 · 114 · (n² − 20) = n² − 5n² + 100 = −4n² + 100

−4n² + 100 = 0   →   n² = 25   →   n = 5 of n = −5

Stap 4: opschrijven en controleren. Er zijn dus twee raaklijnen met die richting:

y = 12x + 5     en     y = 12x − 5

Twee evenwijdige lijnen aan weerskanten van de cirkel, precies zoals in de figuur. ✓

De straal is hier √20. Zo'n wortel schrijf je zo eenvoudig mogelijk: √20 = √(4 · 5) = 2√5. Zie Machts- & wortelfuncties.

Geval 3: de raaklijnen vanuit een punt buiten de cirkel

Ligt er een punt P buiten de cirkel, dan kun je van daaruit precies twee raaklijnen tekenen. Nu is het andersom: de lijn moet door P (dus n ligt vast) en de rc is onbekend.

Stel de vergelijkingen op van de raaklijnen vanuit P(0, 4) aan de cirkel x² + y² = 4.

Vanuit P(0, 4) raken twee lijnen de cirkel x² + y² = 4, in de raakpunten (−√3, 1) en (√3, 1). De twee raaklijnstukken vanuit P zijn even lang, precies zoals de stelling zegt.

Stap 1: de lijn met één onbekende. Elke lijn door P(0, 4) snijdt de y-as op hoogte 4, dus n = 4. Over blijft de rc:

y = m·x + 4 (m is nog onbekend)

Stap 2: invullen en uitwerken.

x² + (m·x + 4)² = 4   →   x² + m²x² + 8m·x + 16 = 4

(1 + m²)x² + 8m·x + 12 = 0

Stap 3: eisen dat D = 0. Hier is a = 1 + m², b = 8m en c = 12:

D = (8m)² − 4 · (1 + m²) · 12 = 64m² − 48 − 48m² = 16m² − 48

16m² − 48 = 0   →   m² = 3   →   m = √3 of m = −√3

Stap 4: opschrijven en controleren.

y = √3·x + 4     en     y = −√3·x + 4

Allebei gaan ze door P (vul x = 0 in: y = 4 ✓) en ze liggen symmetrisch, wat klopt omdat P recht boven het middelpunt ligt. ✓

🎯 Vergeet de verticale lijn niet

Met y = mx + n vang je alle lijnen door P behalve één: de verticale, want die heeft geen rc. Vind je maar één waarde voor m terwijl je er twee verwacht, kijk dan apart of de verticale lijn door P de cirkel raakt. Dat is precies het geval als de x van P een hele straal verschilt van de x van het middelpunt.

Twee cirkels die elkaar snijden

Ook twee cirkels kunnen elkaar snijden, en dan kun je die snijpunten uitrekenen. Invullen gaat hier niet, maar er is een trucje: zet beide cirkels in de uitgewerkte vorm en trek de vergelijkingen van elkaar af. De x² en de y² vallen dan tegen elkaar weg, en je houdt een gewone lijn over. Die lijn gaat door allebei de snijpunten, dus daarna is het weer een lijn snijden met een cirkel.

Bereken de snijpunten van x² + y² = 25 en (x − 1)² + (y − 3)² = 5.

De cirkels c₁ (x² + y² = 25) en c₂ ((x − 1)² + (y − 3)² = 5) snijden elkaar in twee punten. De gestippelde lijn x + 3y = 15 is wat er overblijft als je de vergelijkingen van elkaar aftrekt; hij gaat precies door beide snijpunten.

Eerst allebei in de uitgewerkte vorm, zodat je ze kunt aftrekken:

c₁: x² + y² − 25 = 0

c₂: x² − 2x + 1 + y² − 6y + 9 − 5 = 0   →   x² + y² − 2x − 6y + 5 = 0

Nu aftrekken. De x² en de y² vallen weg, en er blijft een lijn over:

c₁ − c₂: −25 − (−2x − 6y + 5) = 0   →   2x + 6y − 30 = 0   →   x + 3y = 15

Vanaf hier is het gewoon een lijn snijden met een cirkel, dus loop je het stappenplan van hierboven af.

Stap 1 en 2: de lijn vrijmaken en invullen. Hier is het handiger om x vrij te maken in plaats van y, want dan hoef je niet met breuken te werken: uit x + 3y = 15 volgt x = 15 − 3y. Dat vul je in in c₁, op de plek van x:

(15 − 3y)² + y² = 25

Stap 3: uitwerken.

225 − 90y + 9y² + y² = 25   →   10y² − 90y + 200 = 0

y² − 9y + 20 = 0 (alles door 10)

Stap 4: de discriminant. D = 81 − 80 = 1, groter dan 0, dus twee snijpunten.

Stap 5: oplossen. Welke twee getallen vermenigvuldigen tot 20 en tellen op tot 9? Dat zijn 4 en 5:

(y − 4)(y − 5) = 0   →   y = 4 of y = 5

y = 4 → x = 15 − 12 = 3     y = 5 → x = 15 − 15 = 0

Stap 6: controleren in de cirkelvergelijking: 3² + 4² = 25 ✓ en 0² + 5² = 25 ✓.

De snijpunten zijn dus (3, 4) en (0, 5), precies de twee punten waar de cirkels elkaar kruisen in de figuur.

Speel met een cirkel en een lijn

Sleep het middelpunt, rek de cirkel groter of kleiner met het oranje punt op de rand, en schuif de groene lijn erdoorheen. Onderaan zie je de vergelijking van de cirkel meelopen en hoeveel gemeenschappelijke punten er zijn. Probeer de lijn zo te leggen dat hij de cirkel precies raakt.

middelpunt straal vergelijking: gemeenschappelijke punten:

Het blauwe punt is het middelpunt, het oranje punt op de rand bepaalt de straal, en met de twee groene punten schuif en draai je de lijn. De rode punten zijn de gemeenschappelijke punten.

Uitgewerkte examenopgave

Gegeven zijn de cirkel c met vergelijking x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 en de lijn k met vergelijking y = x − 4.

a. Bereken het middelpunt en de straal van c.
b. Bereken de coördinaten van de snijpunten van k en c.
c. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan c in het snijpunt met de grootste x-coördinaat.

Wat je krijgt: de cirkel c en de lijn k. Het middelpunt, de straal en de snijpunten moet je zelf uitrekenen.

a. Middelpunt en straal

We lopen het stappenplan voor middelpunt en straal af.

Stap 1: welke vorm? Er staan losse x- en y-termen en geen haakjes, dus dit is de uitgewerkte vorm. Afsplitsen dus.

Stap 2: sorteren. Zet de x-en bij elkaar en de y's bij elkaar, en het getal naar rechts:

x² − 4x + y² + 2y = 20

Stap 3: twee keer afsplitsen. Halveer −4 tot −2, en 2 tot 1:

x² − 4x = (x − 2)² − 4     y² + 2y = (y + 1)² − 1

(x − 2)² − 4 + (y + 1)² − 1 = 20

(x − 2)² + (y + 1)² = 20 + 4 + 1 = 25

Stap 4: aflezen. M(2, −1) en r = √25 = 5.

Stap 5: controleren. Rechts staat 25, dus positief: het is een echte cirkel. ✓

b. De snijpunten

Nu het stappenplan voor snijpunten.

Stap 1: de lijn staat al goed: y = x − 4.

Stap 2: invullen in de cirkel die we net gevonden hebben. Overal waar y staat, komt x − 4:

(x − 2)² + (x − 4 + 1)² = 25   →   (x − 2)² + (x − 3)² = 25

Stap 3: uitwerken tot de standaardvorm:

x² − 4x + 4 + x² − 6x + 9 = 25

2x² − 10x + 13 = 25   →   2x² − 10x − 12 = 0   →   x² − 5x − 6 = 0 (alles door 2)

Stap 4: de discriminant.

D = (−5)² − 4 · 1 · (−6) = 25 + 24 = 49

D is groter dan 0, dus er zijn twee snijpunten.

Stap 5: oplossen. Ontbinden kan hier: welke twee getallen vermenigvuldigen tot −6 en tellen op tot −5? Dat zijn −6 en 1.

(x − 6)(x + 1) = 0   →   x = 6 of x = −1

De bijbehorende y vind je met de lijn y = x − 4:

x = 6 → y = 2     x = −1 → y = −5

De snijpunten zijn A(6, 2) en B(−1, −5).

Stap 6: controleren in de cirkelvergelijking:

A: (6 − 2)² + (2 + 1)² = 16 + 9 = 25 ✓    B: (−1 − 2)² + (−5 + 1)² = 9 + 16 = 25 ✓

c. De raaklijn in A(6, 2)

Van de twee snijpunten heeft A de grootste x, dus daar gaat het om. Nu het stappenplan voor de raaklijn.

Stap 1: M kennen en P controleren. M(2, −1) hebben we, en bij stap 6 hierboven bleek A al op de cirkel te liggen. ✓

Stap 2: de rc van de straal MA.

mMA = 2 − (−1)6 − 2 = 34

Stap 3: omdraaien met een minteken.

mraaklijn = −43

Stap 4: de vergelijking opstellen met A(6, 2):

2 = −43 · 6 + n = −8 + n   →   n = 10

de raaklijn: y = −43x + 10

Wil je hem zonder breuk, vermenigvuldig dan alles met 3 en breng x naar links: 4x + 3y = 30.

Stap 5: controleren. Vul A in: 4 · 6 + 3 · 2 = 30 ✓. En het product van de rc's: 34 · −43 = −1 ✓, dus de raaklijn staat inderdaad loodrecht op de straal.

De uitwerking: middelpunt M(2, −1) met straal 5, de snijpunten A(6, 2) en B(−1, −5), en in A de raaklijn die loodrecht op de straal MA staat.

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Schrijf bij elke opgave eerst op welk stappenplan je nodig hebt.

Opgave 1. Bepaal het middelpunt en de straal van de cirkel x² + y² + 6x − 8y = 0.

Stap 1: welke vorm? Uitgewerkt, dus afsplitsen. Merk op dat er geen los getal staat; dat is gewoon 0.

Stap 2: sorteren. De x-en en de y's staan al bij elkaar, rechts staat 0.

Stap 3: twee keer afsplitsen. Halveer 6 tot 3, en −8 tot −4:

x² + 6x = (x + 3)² − 9     y² − 8y = (y − 4)² − 16

(x + 3)² − 9 + (y − 4)² − 16 = 0

(x + 3)² + (y − 4)² = 25

Stap 4: aflezen. Let op het plusteken bij de x: M(−3, 4). En r = √25 = 5.

Stap 5: controleren. 25 is positief ✓. Extra controle: er stond geen los getal in de vergelijking, en dat betekent dat (0, 0) eraan voldoet. Klopt dat? (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25 ✓ De cirkel gaat dus precies door de oorsprong, en dat zie je in de figuur ook.

De cirkel met middelpunt M(−3, 4) en straal 5. Hij gaat door de oorsprong, want de afstand van M tot (0, 0) is precies 5.

Opgave 2. Onderzoek hoeveel gemeenschappelijke punten de lijn y = x + 4 heeft met de cirkel x² + y² = 8, en bereken ze.

Stap 1: de lijn staat al als y = …

Stap 2: invullen. Overal waar y staat, komt x + 4:

x² + (x + 4)² = 8

Stap 3: uitwerken.

x² + x² + 8x + 16 = 8   →   2x² + 8x + 8 = 0   →   x² + 4x + 4 = 0

Stap 4: de discriminant.

D = 4² − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0

D = 0, dus er is precies één gemeenschappelijk punt: de lijn raakt de cirkel.

Stap 5: oplossen. Met D = 0 is er één oplossing:

x² + 4x + 4 = 0   →   (x + 2)² = 0   →   x = −2

y = x + 4 = −2 + 4 = 2

Het raakpunt is (−2, 2).

Stap 6: controleren. (−2)² + 2² = 4 + 4 = 8 ✓

Extra controle met het inzicht: de straal is √8 = 2√2 ≈ 2,83. De afstand van M(0, 0) tot het raakpunt (−2, 2) is √(4 + 4) = √8, precies de straal, zoals het hoort bij een raaklijn.

De lijn y = x + 4 schampt de cirkel x² + y² = 8 in precies één punt: het raakpunt (−2, 2).

Opgave 3. Lees uit de figuur hieronder het middelpunt en de straal van de cirkel af, en geef de vergelijking in beide vormen. Stel daarna een vergelijking op van de raaklijn in het punt P.

Een cirkel met daarop het punt P. Lees af waar het middelpunt ligt en hoe groot de straal is.

Uitwerking van opgave 3

Aflezen. Het middelpunt ligt op M(−2, 1). Vanaf M is het 3 hokjes naar de rand, dus r = 3.

De vergelijking. Vul in in (x − a)² + (y − b)² = r², met a = −2, b = 1 en r = 3. Let op het teken: bij a = −2 hoort (x + 2)².

(x + 2)² + (y − 1)² = 9

Voor de uitgewerkte vorm werk je de haakjes weg en breng je alles naar links:

x² + 4x + 4 + y² − 2y + 1 = 9

x² + y² + 4x − 2y − 4 = 0

De raaklijn in P(1, 1). Nu het stappenplan voor de raaklijn.

Stap 1: M(−2, 1) kennen we. Ligt P op de cirkel? (1 + 2)² + (1 − 1)² = 9 + 0 = 9 ✓

Stap 2 en 3: hier gaat het net anders, en dat is precies de bedoeling. P(1, 1) en M(−2, 1) hebben dezelfde y, dus de straal MP ligt horizontaal. De raaklijn staat daar loodrecht op en is dus verticaal. Een verticale lijn heeft geen rc, dus je kunt hier niet met "omdraaien met een minteken" werken.

Stap 4: een verticale lijn schrijf je als x = een getal, en die moet door P(1, 1) gaan:

de raaklijn: x = 1

Stap 5: controleren. P ligt op de lijn x = 1 ✓. En snijdt die lijn de cirkel echt maar in één punt? Vul x = 1 in in de cirkel: (1 + 2)² + (y − 1)² = 9, dus (y − 1)² = 0, dus alleen y = 1. Eén punt ✓, dus het is inderdaad een raaklijn.

De cirkel (x + 2)² + (y − 1)² = 9 met de horizontale straal MP en daar loodrecht op de verticale raaklijn x = 1.

Met de cirkelvergelijking, de snijpunten en de raaklijnen heb je het gereedschap voor bijna elke coördinatenmeetkunde-opgave op het examen. In Parametervoorstellingen beschrijf je diezelfde lijnen en cirkels op een tweede manier, met een parameter, en daarna ga je met vectoren rekenen.

Loopt het vast bij de cirkel?

Kwadraat afsplitsen en dan ook nog de discriminant erbij: het zijn losse stappen die je moet zien samenkomen. Eén-op-één is dat zo doorgeprikt. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking