Bijles

Home › Meetkunde › Bewegende punten

Bewegende punten: baan, snelheid en versnelling

Laat de parameter de tijd voorstellen, en er staat opeens geen stilstaande figuur meer op papier maar een punt dat beweegt. Met differentiëren reken je dan uit hoe hard het gaat en of het versnelt of afremt.

Op de vorige pagina's van deze hub beschreef je een lijn of een cirkel met een parameter t (zie Parametervoorstellingen) en gaf je die twee regels een vectornaam (zie Vectoren & het inproduct). Daar was t gewoon "een getal dat je invult". Op deze pagina geven we t een betekenis: t is de tijd, meestal in seconden.

Dat verandert alles. Als t de tijd is, dan is het punt dat eruit komt niet zomaar een punt op een kromme, maar de plek waar iets zich op dát moment bevindt: een bal, een boot, een drone. En dan kun je meer vragen dan alleen "waar ligt het". Je kunt vragen: hoe hard gaat het, welke kant op, en gaat het steeds harder?

Alles wat je daarvoor nodig hebt, ken je al. De twee regels zijn functies van t, en differentiëren is precies de bewerking die "hoe snel verandert dit" uitrekent (zie De afgeleide als je dat wilt opfrissen). Meer dan de afgeleide van twee losse formules is het niet.

De bewegingsvergelijkingen en de baan

De twee regels die de beweging beschrijven heten de bewegingsvergelijkingen. Ze zien er hetzelfde uit als een parametervoorstelling, alleen schrijven we er nu x(t) en y(t) bij, om te laten zien dat het functies van de tijd zijn:

x(t) = 3t

y(t) = 2t²

Neem hierbij x en y in meters en t in seconden. Dat is de meest voorkomende combinatie, dus we houden die op de rest van deze pagina aan als voorbeeld; verderop lees je hoe je de eenheid uit een opgave haalt als er iets anders staat.

Vul een tijdstip in en je weet waar het punt op dat moment is:

t (seconden)x(t) = 3ty(t) = 2t²waar is het punt?
000(0, 0)
0,51,50,5(1,5 ; 0,5)
132(3, 2)
1,54,54,5(4,5 ; 4,5)
268(6, 8)

De kromme waar het punt overheen loopt heet de baan. Een vergelijking van die baan vind je door t weg te werken, precies zoals op de vorige pagina: maak t vrij uit de makkelijkste regel en vul dat in de andere in.

x = 3t   →   t = x3   →   y = 2 · (x3)² = 2x²9

De baan is dus een parabool. Controle: bij t = 2 hoort (6, 8), en 2 · 369 = 8 ✓

🎯 De baan vertelt niet het hele verhaal

In de vergelijking van de baan is de t verdwenen. Daarmee ben je iets kwijt: de baan zegt alleen waar het punt langskomt, niet wanneer het daar is en hoe hard het dan gaat. Twee punten kunnen dezelfde baan hebben terwijl de één sprint en de ander slentert.

Voor alles wat met snelheid te maken heeft, gebruik je daarom nooit de vergelijking van de baan, maar altijd de twee bewegingsvergelijkingen.

De baan met de stippen uit de tabel. Tussen twee stippen zit steeds een halve seconde, maar de afstanden worden groter: het punt gaat dus steeds sneller. Dat zie je aan de baan alleen niet, alleen aan de tijdstippen die erbij staan.

De snelheidsvector

Hoe hard gaat dat punt? Kijk eerst apart naar de twee richtingen. x(t) zegt hoe ver het punt naar rechts is; de afgeleide x'(t) zegt dus hoeveel meter per seconde het naar rechts opschuift. Precies zo zegt y'(t) hoeveel meter per seconde het omhoog gaat.

Die twee getallen samen vormen een vector: zoveel opzij per seconde, zoveel omhoog per seconde. Dat is de snelheidsvector.

🏃 De snelheidsvector

Bij de bewegingsvergelijkingen x(t) en y(t) hoort op tijdstip t de snelheidsvector

v(t) = x'(t)y'(t)

Je differentieert de twee regels dus gewoon apart naar t. Verder verandert er niets: alle regels die je kent (machtsregel, kettingregel, afgeleide van sin en cos) gelden hier onveranderd.

Voor ons voorbeeld x(t) = 3t en y(t) = 2t²:

x'(t) = 3     y'(t) = 4t     dus   v(t) = 34t

Op tijdstip t = 1 is dat v(1) = 34: op dat moment schuift het punt 3 meter per seconde naar rechts en 4 meter per seconde omhoog.

💡 De snelheidsvector raakt de baan

Teken je de snelheidsvector vanaf het punt zelf, dan wijst hij precies langs de baan, de kant op waar het punt naartoe gaat. Dat is ook logisch: als je op dit moment 3 opzij en 4 omhoog gaat, dan is dát de richting waarin je vertrekt.

Daar volgt meteen iets handigs uit. De raaklijn aan de baan is de lijn door het punt met de snelheidsvector als richtingsvector. Je hoeft de vergelijking van de baan dus niet eens te kennen om de raaklijn te vinden.

De snelheidsvector op drie tijdstippen, telkens getekend vanaf het punt waar de beweging op dat moment is. Hij ligt steeds tegen de baan aan, en hij wordt langer naarmate het punt harder gaat. Bij t = 0 wijst hij nog recht naar rechts, want dan is y'(0) = 0.

De baansnelheid: hoe hard ga je écht?

De snelheidsvector bestaat uit twee getallen, maar op je snelheidsmeter staat één getal. Dat ene getal is de baansnelheid: de lengte van de snelheidsvector. En een lengte reken je uit met Pythagoras, net als op de vorige pagina.

📐 De baansnelheid

De baansnelheid op tijdstip t is de lengte van de snelheidsvector:

|v(t)| = √(x'(t)² + y'(t)²)

Een baansnelheid is nooit negatief; het is een lengte.

Bij ons voorbeeld is de snelheidsvector 34t, dus:

|v(t)| = √(3² + (4t)²) = √(9 + 16t²)

Op t = 1 geeft dat √(9 + 16) = √25 = 5. Het punt gaat op dat moment dus 5 meter per seconde, ook al schuift het "maar" 3 naar rechts en 4 omhoog.

🎯 De eenheid staat in de opgave, niet vast

Meter per seconde is niet automatisch de goede eenheid. Wat het wordt, hangt af van wat er in de opgave staat, en dat kan van alles zijn: kilometers en uren, centimeters en minuten, graden en dagen. Lees dus altijd even welke eenheden er bij x, y en t worden genoemd.

Uitrekenen hoef je het niet, want de regel volgt uit wat je doet. Je deelt een afstand door een tijd, dus:

Op deze pagina houden we meters en seconden aan, omdat je dat het vaakst tegenkomt. Vraagt een opgave om iets anders, dan verandert alleen het label achter je antwoord; het rekenwerk blijft precies hetzelfde.

📋 Stappenplan: de snelheidsvector en de baansnelheid

  1. Zet de twee bewegingsvergelijkingen onder elkaar, x(t) bovenaan en y(t) eronder.
  2. Differentieer allebei apart naar t. Die twee afgeleiden samen zijn de snelheidsvector v(t). Laat de t erin staan.
  3. Voor de baansnelheid: neem de lengte daarvan, |v(t)| = √(x'(t)² + y'(t)²). Heb je die formule straks nog nodig voor de baanversnelling, laat de t er dan in staan; is alleen één tijdstip gevraagd, dan mag je t ook eerst invullen en daarna pas de lengte nemen.
  4. Vul nu pas het gevraagde tijdstip in. Niet eerder, anders differentieer je een getal.
  5. Controleer aan de figuur (de snelheidsvector moet langs de baan wijzen, de kant op waar het punt heen gaat) en zet de goede eenheid achter je antwoord, die je uit de opgave haalt.

De versnellingsvector en de baanversnelling

Nog een keer differentiëren en je weet hoe de snelheid zelf verandert. Hier moet je goed opletten, want er zijn twee dingen die allebei met versnelling te maken hebben en die niet hetzelfde zijn.

1. De versnellingsvector

De versnellingsvector is de afgeleide van de snelheidsvector: je differentieert de twee regels nog een keer.

a(t) = x''(t)y''(t)

Voor ons voorbeeld: x''(t) = 0 en y''(t) = 4, dus a(t) = 04. Die is hier niet eens van t afhankelijk: op elk moment wordt het punt even hard recht omhoog "getrokken".

2. De baanversnelling

De baanversnelling is iets anders: dat is hoe snel het getal op je snelheidsmeter verandert. Dus de afgeleide van de baansnelheid.

🚀 Twee soorten versnelling

Positieve baanversnelling betekent dat je sneller gaat, negatieve dat je afremt, en 0 dat je snelheid op dat moment niet verandert.

Voor ons voorbeeld hadden we |v(t)| = √(9 + 16t²). Die differentieer je met de kettingregel (zie Product-, quotiënt- & kettingregel): de buitenste functie is de wortel, de binnenste is 9 + 16t² met afgeleide 32t.

de baanversnelling = 32t2√(9 + 16t²) = 16t√(9 + 16t²)

Op t = 1 is dat 165 = 3,2: op dat moment neemt de snelheid met 3,2 m/s per seconde toe.

💡 Het inproduct verklapt of je versnelt of afremt

Je hoeft niet altijd te rekenen. Kijk naar de hoek tussen de snelheidsvector en de versnellingsvector, en gebruik het inproduct van de vorige pagina:

Er is zelfs een kant-en-klare formule, waarmee je de baanversnelling kunt uitrekenen zonder de wortel te differentiëren:

de baanversnelling = v(t) · a(t)|v(t)|

Controleer maar bij ons voorbeeld op t = 1: v = 34 en a = 04, dus het inproduct is 3 · 0 + 4 · 4 = 16, en gedeeld door de baansnelheid 5 geeft dat 3,2 ✓ Precies hetzelfde antwoord.

Het verschil tussen die twee zie je het scherpst bij een punt dat rondjes draait met een vaste snelheid, bijvoorbeeld x(t) = cos t en y(t) = sin t. De baansnelheid is daar altijd 1 en verandert dus nooit: de baanversnelling is 0. Toch is de versnellingsvector niet de nulvector; hij heeft lengte 1 en wijst steeds naar het middelpunt. Die versnelling verandert alleen je richting, niet je snelheid.

Een punt dat met vaste snelheid rondjes draait. De groene snelheidsvector raakt de cirkel en is overal even lang; de rode versnellingsvector wijst steeds naar het middelpunt en staat er loodrecht op. Baansnelheid 1, baanversnelling 0, en toch een versnellingsvector van lengte 1.

📋 Stappenplan: de versnellingsvector en de baanversnelling

  1. Begin bij de snelheidsvector v(t) uit stap 1 en 2 hierboven, met de t er nog in.
  2. Voor de versnellingsvector: differentieer die twee regels nog een keer naar t. Dat geeft a(t).
  3. Voor de baanversnelling: differentieer de formule voor de baansnelheid naar t. Daar staat een wortel omheen, dus dat gaat met de kettingregel.
  4. Vul nu pas het gevraagde tijdstip in.
  5. Controleer met het inproduct: v · a moet hetzelfde teken hebben als je baanversnelling (positief = sneller, negatief = afremmen, 0 = even snel).

De raaklijn aan de baan

Hierboven zag je al dat de snelheidsvector tegen de baan aan ligt. Daar kun je meteen iets mee: wil je de raaklijn aan de baan in een bepaald punt, dan hoef je de vergelijking van de baan niet eens te kennen. De snelheidsvector op dat tijdstip is namelijk precies de richtingsvector van die raaklijn.

Verder is het gewoon een lijn opstellen door een punt met een gegeven richting, zoals op Lijnen.

📋 Stappenplan: de raaklijn aan de baan

  1. Reken de positie op dat tijdstip uit door t in te vullen in x(t) en y(t). Daar gaat de raaklijn doorheen.
  2. Reken de snelheidsvector op dat tijdstip uit. Dat is de richtingsvector van de raaklijn.
  3. Bepaal de richtingscoëfficiënt: m = y'(t)x'(t), dus het onderste kental gedeeld door het bovenste.
  4. Vul het punt in y = mx + n om n te vinden, en schrijf de vergelijking op.
  5. Controleer door het punt in je vergelijking in te vullen.

Is x'(t) = 0, dan bestaat de richtingscoëfficiënt niet: het punt beweegt op dat moment recht omhoog of omlaag, dus de raaklijn is verticaal. De vergelijking is dan x = (de x-coördinaat van het punt). Zie ook Lijnen.

Je hebt nu alle begrippen gehad en van elk ook het recept. Voordat je gaat oefenen nog één ding: dit zijn de vier plekken waar het bij dit onderwerp het vaakst misgaat.

⚠️ Waar het misgaat

1. De twee kentallen bij elkaar optellen voor de baansnelheid. Bij v = 34 is de baansnelheid niet 3 + 4 = 7, maar √(3² + 4²) = 5. Je legt geen 7 meter af als je schuin gaat; dat is dezelfde valkuil als bij het optellen van lengtes op de vectoren-pagina.

2. De baanversnelling verwarren met de lengte van de versnellingsvector. Dat zijn echt twee verschillende getallen. Bij de cirkelbeweging hierboven is de baanversnelling 0 terwijl |a| = 1. Vraagt een opgave om de baanversnelling, differentieer dan de baansnelheid; vraagt hij om de versnellingsvector, differentieer dan de twee regels twee keer.

3. Eerst t invullen en dan pas differentiëren. Als je t = 1 al invult, staat er een gewoon getal en is de afgeleide 0. Differentieer altijd eerst met t erin, en vul het tijdstip pas op het allerlaatst in.

4. De snelheidsvector voor een plek aanzien. v(1) = 34 betekent níét dat het punt in (3, 4) is. Het is een verplaatsing per seconde; je tekent hem vanaf de plek waar het punt op dat moment is.

Zet het punt zelf in beweging

Schuif met de tijd en kijk wat de twee pijlen doen. De groene snelheidsvector ligt altijd tegen de baan aan; de rode versnellingsvector wijst hier steeds naar binnen. Let op de momenten waarop ze loodrecht op elkaar staan: daar verandert de snelheid even helemaal niet.

positie: v: baansnelheid: v · a:

De baan is de ellips x(t) = 3 · cos t, y(t) = 2 · sin t. Het groene stuk is al afgelegd. Onderin zie je het inproduct van de twee pijlen: positief betekent dat het punt sneller gaat worden, negatief dat het afremt.

Uitgewerkte examenopgave

Een boot vaart over een meer. Op tijdstip t (in seconden) is zijn positie gegeven door

x(t) = t²     y(t) = 3t

met x en y in meters. In de figuur staat de baan van de boot getekend.

a. Geef een vergelijking van de baan.
b. Bereken de snelheidsvector en de baansnelheid op t = 2.
c. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de baan op t = 2.
d. Bereken de versnellingsvector en de baanversnelling op t = 2.

Wat je krijgt: de baan van de boot, met de plek bij t = 0. De rest moet je zelf uitrekenen.

a. Een vergelijking van de baan

Werk t weg. Uit de tweede regel gaat dat het makkelijkst, want daar staat geen kwadraat:

y = 3t   →   t = y3

Dat vullen we in de andere regel in:

x = (y3)² = y²9

De baan is dus x = y²9, oftewel y² = 9x. Dat is een parabool die op zijn kant ligt.

Controle. Bij t = 3 hoort (9, 9), en 9² = 81 = 9 · 9 ✓

b. De snelheidsvector en de baansnelheid op t = 2

We lopen het stappenplan voor de snelheidsvector en de baansnelheid af.

Stap 1: de twee regels onder elkaar. x(t) = t² en y(t) = 3t.

Stap 2: allebei differentiëren.

x'(t) = 2t     y'(t) = 3     dus   v(t) = 2t3

Stap 3: de formule voor de baansnelheid. Bij d hebben we hem nog nodig, dus we laten de t erin staan:

|v(t)| = √((2t)² + 3²) = √(4t² + 9)

Stap 4: het tijdstip invullen.

v(2) = 2 · 23 = 43     |v(2)| = √(16 + 9) = √25 = 5

Stap 5: controleren en de eenheid erbij. In de figuur ligt de snelheidsvector inderdaad tegen de baan aan, de kant op waar de boot vaart. De opgave zegt dat x en y in meters zijn en t in seconden, dus de baansnelheid is in m/s: de boot vaart op t = 2 met 5 m/s.

c. De raaklijn aan de baan op t = 2

Nu het stappenplan voor de raaklijn.

Stap 1: de positie. x(2) = 2² = 4 en y(2) = 3 · 2 = 6, dus het punt (4, 6).

Stap 2: de snelheidsvector. Die hadden we al: 43. Dat is de richtingsvector.

Stap 3: de richtingscoëfficiënt.

m = 34

Stap 4: het punt invullen in y = mx + n.

6 = 34 · 4 + n   →   6 = 3 + n   →   n = 3

De raaklijn is dus y = 34x + 3.

Stap 5: controleren. Vul (4, 6) in: 34 · 4 + 3 = 6 ✓

d. De versnellingsvector en de baanversnelling op t = 2

Nu het stappenplan voor de versnelling.

Stap 1: de snelheidsvector. Die hadden we bij b al: v(t) = 2t3.

Stap 2: nog een keer differentiëren.

x''(t) = 2     y''(t) = 0     dus   a(t) = 20

Die hangt niet van t af, dus ook op t = 2 is de versnellingsvector 20: de boot wordt steeds even hard naar rechts geduwd.

Stap 3: de baansnelheid differentiëren. Bij b vonden we |v(t)| = √(4t² + 9). Met de kettingregel (binnenste 4t² + 9, afgeleide 8t):

de baanversnelling = 8t2√(4t² + 9) = 4t√(4t² + 9)

Stap 4: t = 2 invullen, met √(4 · 4 + 9) = 5:

4 · 25 = 85 = 1,6

De eenheid volgt weer uit de opgave: meters en seconden, dus de baanversnelling is 1,6 m/s². De boot gaat op dat moment 1,6 m/s per seconde harder varen.

Stap 5: controleren met het inproduct. v(2) · a(2) = 4 · 2 + 3 · 0 = 8, en gedeeld door de baansnelheid 5 geeft dat 1,6 ✓ Positief, dus de boot gaat inderdaad sneller.

De uitwerking. Op t = 2 is de boot in (4, 6); de groene snelheidsvector v = (4, 3) ligt tegen de baan aan en bepaalt de blauwe raaklijn y = 34x + 3. De rode versnellingsvector (2, 0) wijst recht naar rechts.

Zelf oefenen

Eerst zelf proberen, dan pas uitklappen. Schrijf er telkens bij welk stappenplan je gebruikt.

Opgave 1. Een punt beweegt volgens x(t) = 2 + 3 · cos t en y(t) = 1 + 3 · sin t. Bereken de snelheidsvector en de versnellingsvector op t = 12π. Bereken ook de baansnelheid en de baanversnelling, en verklaar je antwoord.

Stap 1: de twee regels. Dit is een cirkel met middelpunt M(2, 1) en straal 3 (zie Parametervoorstellingen).

Stap 2: differentiëren. De afgeleide van cos is −sin en die van sin is cos; de losse getallen 2 en 1 vallen weg:

x'(t) = −3 · sin t     y'(t) = 3 · cos t     dus   v(t) = −3 · sin t3 · cos t

Stap 3: de formule voor de baansnelheid.

|v(t)| = √((−3 · sin t)² + (3 · cos t)²) = √(9 · sin²t + 9 · cos²t)

= √(9 · (sin²t + cos²t)) = √(9 · 1) = 3

Hier gebruiken we sin²t + cos²t = 1, de regel uit Parametervoorstellingen.

De baansnelheid is dus altijd 3, op elk tijdstip hetzelfde. Er staan hier geen eenheden bij de opgave, dus laten we het antwoord een kaal getal.

Stap 4: t = 12π invullen. Daar is sin = 1 en cos = 0:

v = −30

Stap 5: controleren. In de figuur onderaan deze uitwerking wijst de snelheidsvector inderdaad langs de cirkel, de kant op waar het punt draait ✓

Nu de versnelling, met het stappenplan daarvoor.

Stap 2: nog een keer differentiëren.

x''(t) = −3 · cos t     y''(t) = −3 · sin t     dus   a(t) = −3 · cos t−3 · sin t

Stap 3: de baanversnelling is de afgeleide van de baansnelheid. Die baansnelheid was het getal 3, en de afgeleide van een getal is 0, dus de baanversnelling is 0.

Stap 4: t = 12π invullen in de versnellingsvector:

a = 0−3

Verklaring. Het punt draait met een vaste snelheid rondjes over de cirkel, dus zijn snelheid verandert nooit: baanversnelling 0. De versnellingsvector is toch niet de nulvector, want de richting verandert wel de hele tijd. Op t = 12π is het punt in (2, 4) en wijst a = 0−3 recht naar beneden: precies naar het middelpunt M(2, 1).

Stap 5: controleren met het inproduct. v · a = −3 · 0 + 0 · (−3) = 0. Ze staan loodrecht op elkaar, en dat past precies bij een baanversnelling van 0 ✓

Op t = 12π staat het punt bovenaan de cirkel. De groene snelheidsvector wijst naar links (langs de cirkel), de rode versnellingsvector recht naar het middelpunt. Ze staan loodrecht op elkaar, dus verandert alleen de richting.

Opgave 2. Een punt beweegt volgens x(t) = t² + 1 en y(t) = 4t. In de figuur staat de baan, met het punt op t = 1 gemarkeerd. Bereken de baansnelheid op t = 1 en stel een vergelijking op van de raaklijn aan de baan in dat punt.

De baan van het punt, met de plek op t = 1.

Uitwerking van opgave 2

Eerst de baansnelheid, met het stappenplan voor de snelheidsvector en de baansnelheid.

Stap 1 en 2: de twee regels differentiëren.

x'(t) = 2t     y'(t) = 4     dus   v(t) = 2t4

Stap 3 en 4. Hier is de baanversnelling niet gevraagd, dus we hebben de formule met t erin niet nodig: we vullen eerst t = 1 in en nemen daarna pas de lengte.

v(1) = 24     |v(1)| = √(2² + 4²) = √20 = 2√5 ≈ 4,47

√20 vereenvoudig je door het grootste kwadraat eruit te halen: 20 = 4 · 5, dus √20 = 2√5. Zie Machts- & wortelfuncties.

Nu de raaklijn, met het stappenplan daarvoor.

Stap 1: de positie. x(1) = 1 + 1 = 2 en y(1) = 4, dus het punt (2, 4). Dat is inderdaad het gemarkeerde punt in de figuur ✓

Stap 2: de richtingsvector is de snelheidsvector 24.

Stap 3: de richtingscoëfficiënt.

m = 42 = 2

Stap 4: het punt invullen.

4 = 2 · 2 + n   →   n = 0

De raaklijn is dus y = 2x, een lijn door de oorsprong.

Stap 5: controleren. Vul (2, 4) in: 2 · 2 = 4 ✓

De snelheidsvector (2, 4) in het punt (2, 4), en de raaklijn y = 2x die daar dezelfde richting heeft. Let op: dat de vector en het punt hier toevallig dezelfde getallen hebben, is puur toeval en betekent niets.

Opgave 3. Iemand gooit een bal weg. Op tijdstip t (in seconden) is de bal in x(t) = 6t, y(t) = 8t − 5t², met x en y in meters. a. Bereken de baansnelheid op t = 0. b. Wanneer is de bal op zijn hoogste punt, en hoe hoog komt hij? c. Geef de versnellingsvector en leg uit waarom de baanversnelling in het hoogste punt 0 is.

a. De baansnelheid op t = 0. Met het stappenplan voor de snelheidsvector en de baansnelheid.

Stap 1 en 2: de twee regels differentiëren.

x'(t) = 6     y'(t) = 8 − 10t     dus   v(t) = 68 − 10t

Stap 3 en 4. Alleen t = 0 is gevraagd, dus eerst invullen en dan de lengte nemen:

v(0) = 68     |v(0)| = √(36 + 64) = √100 = 10

Stap 5. De opgave zegt: x en y in meters, t in seconden. De bal vertrekt dus met 10 m/s.

b. Het hoogste punt. Daar gaat de bal even niet meer omhoog en nog niet omlaag, dus daar is het omhoog-kental van de snelheid 0:

y'(t) = 0   →   8 − 10t = 0   →   t = 0,8

Op t = 0,8 s dus. De hoogte op dat moment:

y(0,8) = 8 · 0,8 − 5 · 0,8² = 6,4 − 3,2 = 3,2

De bal komt dus 3,2 meter hoog. Hij is dan x(0,8) = 4,8 meter ver.

Dit is precies het zoeken van een maximum met de afgeleide, zoals op Extremen, buigpunten & optimaliseren. Alleen kijk je hier naar de afgeleide van y(t), want het gaat om de hoogte.

c. De versnellingsvector. Nu het stappenplan voor de versnelling. Stap 2: nog een keer differentiëren.

x''(t) = 0     y''(t) = −10     dus   a(t) = 0−10

Die is op elk moment hetzelfde en wijst recht naar beneden. Dat is de zwaartekracht: die trekt de bal met ongeveer 10 m/s² omlaag, en verder werkt er niets op hem.

Waarom is de baanversnelling in het hoogste punt 0? Dat zie je met stap 5, de controle met het inproduct. Op t = 0,8 is de snelheidsvector 60: de bal beweegt daar puur horizontaal. De versnellingsvector wijst recht naar beneden. Die twee staan dus loodrecht op elkaar, en het inproduct is

v · a = 6 · 0 + 0 · (−10) = 0

De zwaartekracht duwt op dat moment alleen maar dwars op de beweging, en verandert daarom wel de richting van de bal maar niet zijn snelheid. Vandaar baanversnelling 0.

Merk op dat de baansnelheid daar juist het kleinst is: |v(0,8)| = 6, tegen 10 aan het begin. Dat past bij een baanversnelling van 0: op het laagste punt van de snelheid is de afgeleide van die snelheid nul, precies zoals bij een gewoon minimum.

De baan van de bal. De groene snelheidsvectoren kantelen van schuin omhoog naar horizontaal naar schuin omlaag, terwijl de rode versnellingsvector overal even lang is en recht naar beneden wijst. In het hoogste punt staan ze loodrecht op elkaar.

Hiermee is de meetkunde-hub rond. Je kunt een figuur beschrijven met een vergelijking, met een parametervoorstelling en met vectoren, en je kunt er nu ook een punt overheen laten bewegen en uitrekenen hoe hard dat gaat. Alles wat je op deze pagina deed, was differentiëren, en alles wat je daarna deed met de uitkomst, was rekenen met vectoren.

Loopt het vast bij snelheid en versnelling?

Bij dit onderwerp komen twee dingen samen die los al lastig zijn: differentiëren en vectoren. Zodra je ziet dat het gewoon twee afgeleiden zijn, valt het uit elkaar in stukjes die je allang kunt. Eén-op-één krijgen we dat snel helder. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking