Home › Examen › De formulelijst

De formulelijst: wat krijg je wél?

Bij het examen ligt er een formulelijst klaar. Die is een stuk korter dan de meeste mensen denken: zes regels goniometrie, en daarmee houdt het op. Alles wat je verder nodig hebt, moet uit je eigen hoofd komen.

Op bladzijde 2 van je examen staat een lijstje met formules. Je mag er de hele zitting in kijken, dus die formules hoef je niet te leren. Maar precies daar zit de valkuil: veel mensen gaan ervan uit dat de belangrijkste formules er wel op zullen staan, en komen daar pas in het examenlokaal achter.

Deze pagina zet de twee kanten naast elkaar. Eerst de volledige lijst die je krijgt, daarna een checklist van alles wat je zélf moet kennen, met bij elk punt een link naar de uitleg. Zo weet je precies wat je nog moet leren, en ook: hoeveel dat is.

Dit is de hele lijst

De formulelijst bevat alleen goniometrie. Er staan zes regels op, en ze gaan allemaal over hoe je een sinus of cosinus van een samengestelde hoek uit elkaar haalt.

📄 De formulelijst bij het examen

Som- en verschilformules:

sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)

sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)

cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)

cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)

Verdubbelingsformules:

sin(2t) = 2 sin(t)cos(t)

cos(2t) = cos²(t) − sin²(t) = 2cos²(t) − 1 = 1 − 2sin²(t)

Twee dingen om te weten bij het lezen van die lijst.

1. t en u zijn zomaar namen. Er staat niet dat je hoeken t en u moeten heten. Het zijn plaatshouders: je mag er invullen wat je wilt. Kom je sin(x + 3) tegen, dan lees je de eerste regel met t = x en u = 3. Kom je cos(2a − b) tegen, dan is t = 2a en u = b.

2. De laatste regel geeft je drie versies van cos(2t). Die zijn alle drie hetzelfde waard; je kiest telkens de versie die de rest van je som het handigst wegwerkt. Heb je alleen cosinussen nodig, pak dan 2cos²(t) − 1; wil je juist naar sinussen toe, pak 1 − 2sin²(t).

Hoe je deze formules gebruikt, met uitgewerkte voorbeelden en oefenopgaven, staat op Formules herleiden. Uit je hoofd leren hoeft dus niet, maar je moet ze wel vlot kunnen toepassen: op het examen is er geen tijd om uit te zoeken welke regel je nodig hebt.

⚠️ Wat er níét op staat

Dit zijn de formules waarvan de meeste mensen aannemen dat ze op de lijst staan. Ze staan er geen van alle op.

1. De symmetrieformules. sin(π − x) = sin(x), cos(−x) = cos(x), sin(x + 2π) = sin(x) en de rest van die familie: allemaal zelf kennen. Verwar ze niet met de somformules. Je kunt sin(π − x) wél met de verschilformule uitrekenen, maar dat is drie regels werk voor iets wat je zo van de eenheidscirkel afleest.

2. sin²(x) + cos²(x) = 1. Misschien wel de meest gebruikte gonio-regel die er is, en hij staat er niet op.

3. De abc-formule. Ook de discriminant niet. Kwadratische vergelijkingen oplossen wordt gewoon van je verwacht.

4. De sinus- en de cosinusregel. Deze verrast bijna iedereen. Je krijgt ze niet, dus vooral de cosinusregel a² = b² + c² − 2bc·cos(A) is er één om echt in je hoofd te hebben.

5. Alle afgeleiden en primitieven. Geen enkele. Niet die van sin(x), niet die van e^x, niet de kettingregel.

De checklist: dit moet je zelf kennen

Hieronder staat per onderwerp wat je paraat moet hebben. Loop de lijst langs en vink af wat al zit; klik door bij alles waar je twijfelt. Het is minder dan het lijkt, want veel punten volgen uit elkaar zodra je het idee erachter snapt.

Goniometrie

De eenheidscirkel en de exacte waarden van sin en cos bij 0, 16π, 14π, 13π en 12π, plus radialen omrekenen naar graden en terug. Ook tan(x) = sin(x)cos(x). → De eenheidscirkel & exacte waarden
De symmetrieformules: wat er met sin en cos gebeurt bij −x, π − x, π + x en x + 2π. → Formules herleiden
De twee oplossingsfamilies: uit sin(A) = sin(B) volgt A = B + k·2π óf A = π − B + k·2π, en uit cos(A) = cos(B) volgt A = B + k·2π óf A = −B + k·2π. → Vergelijkingen oplossen
De vorm y = a·sin(b(x − c)) + d en wat amplitude, evenwichtslijn en periode zijn, met periode = 2πb. → Sinusoïde: voorschrift opstellen
sin²(t) + cos²(t) = 1. → Parametervoorstellingen (daar wordt hij afgeleid uit Pythagoras op de eenheidscirkel)

Differentiëren

De standaardafgeleiden van xⁿ, √x, e^x, ln(x), sin(x) en cos(x), én de product-, quotiënt- en kettingregel om ze te combineren. → Product-, quotiënt- & kettingregel
De raaklijn in een punt: hij gaat door (a, f(a)) en heeft richtingscoëfficiënt f'(a). → De afgeleide: helling & raaklijn
Extremen vind je met f'(x) = 0 en een tekenschema, buigpunten met f''(x) = 0 plus tekenwissel. → Extremen, buigpunten & optimaliseren

Integreren

Primitiveren als omgekeerd differentiëren (met de + C), en de bepaalde integraal ∫ba f(x) dx = F(b) − F(a). → Primitiveren & de bepaalde integraal
Oppervlakte tussen twee grafieken (integreer boven min onder) en de inhoud van een omwentelingslichaam (∫ π·(f(x))² dx). → Oppervlakte & inhoud met integralen

Functies en vergelijkingen

De abc-formule en de discriminant, en verder alle manieren om exact op te lossen. → Vergelijkingen exact oplossen
De rekenregels voor machten en wortels. → Machts- & wortelfuncties
De rekenregels voor logaritmen, inclusief ^glog(a) = log(a)log(g). → Exponentiële & logaritmische functies
De transformaties in g(x) = a·f(b(x − c)) + d. → Grafieken transformeren
De inverse f⁻¹ en hoe je die opstelt. → Samengestelde & inverse functies
Asymptoten vinden en met een limiet onderbouwen. → Asymptoten & limieten

Meetkunde met coördinaten

Pythagoras, de afstand tussen twee punten en SOS CAS TOA, plus de sinusregel en de cosinusregel. → Rekenen in driehoeken
De richtingscoëfficiënt, de twee vormen van een lijnvergelijking, en m₁ · m₂ = −1 voor loodrecht. → Lijnen
De cirkelvergelijking (x − a)² + (y − b)² = r², en kwadraat afsplitsen. → De cirkel
De parametervoorstelling van een lijn en van een cirkel. → Parametervoorstellingen
Het inproduct: a · b = a_xb_x + a_yb_y = |a|·|b|·cos φ. → Vectoren & het inproduct
De snelheidsvector en de baansnelheid van een bewegend punt. → Bewegende punten

💡 Zes regels is minder erg dan het klinkt

Dat de lijst zo kort is, voelt als slecht nieuws. Dat valt mee, om twee redenen.

Ten eerste: juist de formules die je krijgt, zijn de formules die niemand onthoudt. Vier bijna identieke regels met plussen en minnen door elkaar, waarbij één teken het verschil maakt. Precies dáár doet zo'n lijst zijn werk.

Ten tweede: de rest hoef je niet te stampen, want je gebruikt hem elke week. De afgeleide van sin(x) leer je niet uit je hoofd door hem tien keer over te schrijven, maar door tien opgaven te maken waarin hij voorkomt. Alles op de checklist hierboven zit vanzelf in je hoofd als je genoeg opgaven maakt; dat is meteen het beste argument om te oefenen in plaats van te lezen.

Oefen je oog: krijg je 'm, of moet je 'm kennen?

Hieronder komen formules langs die je op het examen tegen kunt komen. Beslis telkens: staat hij op de lijst die je krijgt, of moet je hem zelf kennen?

⚠️ Waar het misgaat

1. Rekenen op de lijst. "Dat krijg ik toch wel" is de duurste aanname van het hele examen. Als je twijfelt of iets erop staat: het staat er waarschijnlijk niet, want er staan maar zes regels op.

2. De lijst pas in het examenlokaal voor het eerst zien. Dan kost het je minuten om te vinden wat je zoekt. Pak hem er bij het oefenen gewoon bij, dan weet je op het examen blindelings waar wat staat.

3. Denken dat je de lijst uit je hoofd moet leren. Dat hoeft niet. Wat wél moet, is dat je ziet wanneer je hem nodig hebt. Dat oefen je op Formules herleiden.

4. Een formule van de lijst pakken terwijl het makkelijker kan. sin(π − x) kun je met de verschilformule uitschrijven, maar op de eenheidscirkel zie je in één blik dat het gewoon sin(x) is. De lijst is een hulpmiddel, geen verplichting.

Zelf oefenen

Bij elke vraag: bedenk eerst welke formule je nodig hebt, en of je die krijgt of niet.

Opgave 1. Je moet sin(3x) herschrijven naar iets met alleen sin(x) en cos(x). Welke formules gebruik je, en krijg je die?

Schrijf 3x eerst als een som die je wél kunt splitsen: 3x = 2x + x. Dan gebruik je de somformule voor de sinus:

sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x)

Nu staan er nog een sin(2x) en een cos(2x) in, en daar zijn de verdubbelingsformules voor:

= 2sin(x)cos(x) · cos(x) + (1 − 2sin²(x)) · sin(x)

= 2sin(x)cos²(x) + sin(x) − 2sin³(x)

Krijg je die formules? Ja, alle drie. De somformule voor sin, en de verdubbelingsformules voor sin(2x) en cos(2x) staan alle drie op de lijst. Dit is precies het soort opgave waarvoor die lijst er is.

Bij cos(2x) had je ook cos²(x) − sin²(x) of 2cos²(x) − 1 mogen pakken. Ik koos 1 − 2sin²(x) omdat de sinus dan blijft staan en je één soort functie overhoudt.

Opgave 2. In een driehoek zijn twee zijden 7 en 9 met een hoek van 40° ertussen. Je moet de derde zijde berekenen. Welke formule heb je nodig, en staat die op de lijst?

Twee zijden met de hoek ertússen: dat is precies het geval voor de cosinusregel.

a² = 7² + 9² − 2 · 7 · 9 · cos(40°) = 49 + 81 − 126 · cos(40°) ≈ 130 − 96,5 = 33,5

a = √33,5 ≈ 5,8

Staat die op de lijst? Nee. De cosinusregel krijg je niet. Dit is de formule die het vaakst wordt gemist, juist omdat hij er ingewikkeld genoeg uitziet om op een formulelijst te horen. Leer hem uit je hoofd; zie Rekenen in driehoeken.

Vuistregel om te kiezen: een zijde met de hoek ertegenover erbij gegeven → sinusregel. Twee zijden met de hoek ertussen, of alle drie de zijden → cosinusregel.

Opgave 3. Los op: cos(2x) = cos(x) op het interval [0, 2π]. Welke formules heb je nodig, en welke daarvan krijg je?

Links staat een dubbele hoek en rechts een enkele. Die moet je gelijk maken, en daarvoor gebruik je de verdubbelingsformule. Kies de versie met alleen cosinussen erin, want rechts staat ook een cosinus:

2cos²(x) − 1 = cos(x)

Alles naar één kant en dan ontbinden. Noem cos(x) even c:

2c² − c − 1 = 0 → (2c + 1)(c − 1) = 0 → c = −12 of c = 1

Dus cos(x) = −12 of cos(x) = 1. Op [0, 2π] geeft dat:

x = 23π x = 113π x = 0 x = 2π

Wat krijg je? Alleen de verdubbelingsformule. De rest komt uit je eigen hoofd: het ontbinden, de exacte waarde cos(23π) = −12, en de twee oplossingsfamilies bij een cosinusvergelijking. Zie Vergelijkingen oplossen.

Controle: vul x = 23π in. Dan is cos(2x) = cos(113π) = −12 en cos(x) = −12 ✓

Neem de checklist hierboven er nog eens bij vlak voordat je gaat oefenen, en markeer wat nog niet zit. Dat is een preciezere leerlijst dan "het hele boek nog een keer doorlezen", en hij is korter dan je denkt.

Weet je niet waar je moet beginnen?

Een checklist is één ding; weten wat je er als eerste mee doet is een tweede. In een kennismaking kijken we samen waar je nu staat en wat het meeste oplevert in de tijd die je nog hebt. Ik geef bijles in wiskunde B: online, of in overleg bij jou thuis. De eerste kennismaking is gratis.

Plan een gratis kennismaking